Авторы: Фетисова Мария Александровна, Володин Сергей Сергеевич

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №5 (28) май 2011 г.

Статья просмотрена: 1774 раза

Библиографическое описание:

Фетисова М. А., Володин С. С. Коэффициент формы как геометрическая характеристика // Молодой ученый. — 2011. — №5. Т.1. — С. 105-107.

The article in propose form different, which can be applied at comparison the form geometry.

В статье идет речь о коэффициенте формы, который может применяться при сравнении геометрических фигур.

Проектирование современных зданий и сооружений связано с всесторонними исследованиями прочности и жесткости конструкций, находящихся под воздействием статистических и динамических нагрузок.

Проблема сравнения разнообразных геометрических фигур широко представлена в различных отраслях науки и может возникнуть в задачах, в которых объектом исследования является замкнутая односвязная область. К этой проблеме приводит и изопериметрическая задача, широко распространенная в математике, механике сплошных сред, математической физике, строительной механике мембран, пластинок и оболочек [1].

При сравнении геометрических фигур выбирается критерий сравнения. Иногда для этого достаточно воспользоваться площадью и периметром фигур. При сравнении правильных многоугольников в качестве критерия используется число сторон; при сравнении ромбов – угол между смежными сторонами и т.д. При сравнении же фигур различных классов, например, равносторонний треугольник и прямоугольник, выбор критерия сравнения затруднен. Как показали исследования Д. Пойа и Г. Сеге [2] во многих прикладных задачах математической физики, в качестве такого критерия может успешно использоваться интегральная характеристика формы фигур (коэффициент формы Kf).

Коэффициент формы плоской области является количественной характеристикой формы области и выражается через контурный интеграл

, (1)

где ds – линейный элемент контура области (рисунок 1); h – высота опущенная из полюса, взятого внутри области, на касательную к переменной точке контура; L – периметр области. Для фигур с криволинейным контуром выражение (1) можно преобразовать к следующему виду:

, (2)

Рисунок 1

Рисунок 2

где r = r(&#;) - полярное уравнение контура области с полюсом в точке «а». Из выражения (2) следует теорема 1: из всех плоских фигур наименьшее значение Kf = 2π имеет круг, так как для него r′ = 0.

Для областей с полигональным контуром выражение (1) примет вид:

, (3)

где li, hi длина i-ой стороны многоугольника и высота, опущенная из полюса на i-ю сторону (рисунок 2); и – углы прилежащие к i-той стороне и ограниченные отрезками прямых, проведенными из полюса в углы полигона; n – количество сторон многоугольника.

Если контур заданной области составлен из криволинейных и прямолинейных участков, то с учетом выражений (2) и (3) получим:

, (4)

где k – число криволинейных участков области, описываемых одной аналитической зависимостью; - полярное уравнение j-го участка криволинейной части контура, ограничивающий радиусами-векторами j-ый участок криволинейного контура области.

Из элементарной геометрии известно, что из всех n-угольников равной площади А правильный n-угольник имеет наименьший периметр. Таким образом, из всего множества угольников, все стороны которых касаются вписанной окружности наименьшее значение Kf имеет правильный n-угольник. Как видим и в этом случае для фигур, имеющих центр симметрии, min Kfa, достигается тогда, когда точка "а" совпадает с ним.

Обобщая две предыдущие теоремы, можно сформулировать более общую теорему для n-угольников: из всего множества n-угольников наименьшее значение Kf имеет правильный n-угольник.

Таблица

Коэффициенты формы для различных геометрических фигур

Наименование и рисунок фигуры

Формула

Треугольники

Для равнобедренных треугольников:

где α, γ – углы при вершинах.
Для прямоугольных треугольников (β = 90°):

Параллелограммы


Для параллелограмма

где a, b – стороны параллелограмма; α – угол при основании.

Для прямоугольников:

,

где a, b – стороны прямоугольника; k = a/b.

Для ромба:

,

где α – угол при основании

Трапеции

Для равнобочной трапеции (&#;1 = &#;2 = &#;):

,

где k = a1/a2 - отношение оснований равнобочной трапеции; &#; - угол у основания; K = h1/H – параметр минимизации.

Для прямоугольной трапеции (&#;1 = 90о, &#;2 = &#;):

.

Эллипсы

Для эллипсов:

,

где a и b – полуоси эллипса.

Изопериметрические свойства коэффициента формы:

1. Kf – величина безразмерная и не зависит от масштаба фигур;

2. Kf дает количественную оценку формы геометрических фигур с выпуклым контуром и может служить критерием для оценки их «правильности» («симметричности»);

3. Любая фигура с выпуклым контуром имеет внутри области единственную точку "а" (центр полярной системы координат), которая обеспечивает минимальное значение коэффициенту формы для заданной фигуры (для фигур, имеющих две и более осей симметрии, точка "а" соответствует их точке пересечения; для фигур, имеющих одну ось симметрии, точка "а" лежит на этой оси);

4. Из всех плоских областей наименьшее значение Кf имеет круг (Кf = 2π);

5. Из всех n-угольников наименьшее значение Кf имеет правильный n – угольник;

Рисунок 3

6. Значения Кf для всего множества плоских областей с выпуклым контуром, представленных в координатных осях КfR(где R - максимальный радиус вписанной в заданную область окружности, ρ - минимальный радиус окружности, описанной вокруг нее) ограничены с двух сторон: нижнюю границу значений Кf образуют эллипсы, а верхнюю многоугольники, все

стороны которых касаются вписанной окружности, в том числе: правильные многоугольники, ромбы и треугольники; нижнюю границу значений Кf для всего множества четырехугольников образуют прямоугольники (рисунок 3).

Последнее свойство коэффициента формы является наиболее важным, оно имеет большое прикладное значение в методе интерполяции по коэффициенту формы.

Таким образом, коэффициент формы области является геометрическим аналогом интегральных характеристик и его использование в качестве единственного независимого аргумента при построении аппроксимирующих функций позволяет свести решение сложных физических задач к решению элементарной геометрической задачи.


Литература:

  1. Коробко, А.В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости &#;Текст&#; / А.В. Коробко. – М.: Изд-во АСВ, 1999. – 320 с.

  2. Фетисова, М.А. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба пластинок с комбинированными граничными условиями: диссертация ... кандидата технических наук: 05.23.17 / Фетисова Мария Александровна; [Место защиты: Орлов. гос. техн. ун-т].- Орел, 2010.- 162 с.: ил.

Основные термины (генерируются автоматически): наименьшее значение, геометрических фигур, коэффициенту формы, сравнении геометрических фигур, наименьшее значение Кf, контура области, Коэффициент формы, выпуклым контуром, метода интерполяции, фигур наименьшее значение, Применение метода интерполяции, характеристика формы фигур, формы геометрических фигур, формы области, коэффициент формы, упругопластическом изгибе листа, контуром выражение, задач строительной механики, разнообразных геометрических фигур, границу значений Кf.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос