Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий стереометрии | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: , ,

Рубрика: Педагогика

Опубликовано в Молодой учёный №24 (158) июнь 2017 г.

Дата публикации: 15.06.2017

Статья просмотрена: 48 раз

Библиографическое описание:

Муминов У., Инатов А. И., Останов К. Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий стереометрии // Молодой ученый. — 2017. — №24. — С. 363-366. — URL https://moluch.ru/archive/158/43998/ (дата обращения: 16.10.2018).



В этой статье излагаются некоторые способы развития творческого мышления учащихся при изучении понятий стереометрии, даны рекомендации их применения на уроках с целью развития творческой самостоятельности учащихся.

Ключевые слова: стереометрия, обучение, способ, мышление, активизация, групповые формы работ, индивидуализация и дифференциация обучения, познавательная деятельность, творческие задания, решения задач, мотивация, интерес.

На уроках математики, в том числе при изучении стереометрии, учащиеся овладевают мыслительными умениями. Условиями успешного усвоения учебного материала являются понимание материала и овладение учащимися активными формами мыслительных умений, так как все учебные действия сводятся к тому, что на основе активной умственной работы можно глубоко и прочно понять материал.

При изучении стереометрии необходимо обратить особое внимание на вопрос об изучении свойств тел вращения и пересечения многогранников с плоскостями. Поэтому с учащимися есть возможность обсудить вопросы:

  1. Что происходит, если пересечь многогранник плоскостью?
  2. Что получится в сечении?
  3. Какая линия образуется при пересечении поверхности многогранника с плоскостью?
  4. Будет ли она замкнутой плоской ломаной линией?
  5. Как называется эта ломаная линия?

При изучении цилиндра, обсуждая представленные вопросы, выводятся следующие его свойства:

  1. Почему основания цилиндра равны? (Так как параллельный перенос ‑ движение)
  2. В каких плоскостях лежат основания цилиндра? (В параллельных плоскостях, так как при параллельном переносе плоскость перейдет тоже в параллельную)
  3. Какие свойства имеют образующие цилиндра? (Образующие цилиндра параллельны и равны, так как при параллельном переносе точки сдвигаются на одно и то же расстояние)

При изучении шара рассматриваются следующие вопросы:

  1. Что образуется в пересечении шара с плоскостью? (Любое пересечение шара с плоскостью является кругом)
  2. Где находится центр этого круга? (Центр круга является основанием перпендикуляра, проведенного из центра в шар к секущей плоскости)
  3. Каким свойством обладает симметрия шара? (Любая диаметральная плоскость является его симметрической плоскостью)
  4. Где расположен центр симметрии шара? (Центр шара является его центром симметрии)
  5. Какое свойство имеет касательная плоскости шара? (Касательная плоскость с шаром имеют одну общую точку ‑ точку касания)
  6. Что образуется при пересечении двух сфер и какие варианты их пересечения? (Пересечение двух сфер состоит из окружности)

При изучении конуса после уточнения элементов конуса обсуждается такой вопрос:

  1. Как пересекается конус с плоскостями, параллельными основанию? (Конус пересекается параллельной основанию плоскости по кругу)
  2. Что образуется при пересечении этой плоскости с его боковой поверхностью? (Пересекает по окружности, центр которого находится на оси конуса)

При изучении пересечения цилиндра с плоскостью ставится проблема:

  1. Как плоскость, параллельная основанию цилиндра, пересечет его боковую поверхность? (Плоскость, параллельная основанию цилиндра, пересечет его боковую поверхность по окружности, равной основанию).

Кроме того, полезно коллективное обсуждение формулы Эйлера: если количество вершин многогранника обозначить через В, количество граней через Г и количество ребер Р, то на конкретных примерах можно проверить и вывести следующее соотношение между этими элементами многогранника В+Г-Р=2. Они убеждаются в правильности, проверяя ее на примере треугольной, четырехугольной и -угольной призмах и пирамидах. При этом составляется таблица, включающая столбцы с названиями тела, количество вершин, количество граней, количество ребер, сумма вершин и рёбер, а также разность суммы и количество рёбер. В последнем столбце во всех строках получается 2. Значит, существует такая закономерность.

В процессе развития творческого мышления, а также формирования пространственных представлений учащихся, большую роль играет изучение комбинации пространственных тел. При этом можно рассмотреть 9 вариантов комбинированных тел:

1) шар и пирамида;

2) шар и призма;

3) шар и конус;

4) шар и цилиндр;

5) конус и пирамида;

6) конус и призма;

7) конус и цилиндр;

8) цилиндр и пирамида;

9) цилиндр и призма.

При этом можно предложить анализировать следующие теоретические сведения:

1) Комбинированные тела, состоящие из шара и призмы. Если шар вписан в призму, то:

а. высота призмы равна диаметру шара;

б. боковые грани шара своими точками касания лежат на секущей плоскости, которая проходит через середину высоты призмы и перпендикулярна боковым ребрам призмы;

в. для построения описанного шара, призме необходимо и достаточно:

− быть прямой;

− должна быть возможность вписать в его основание окружность;

− если призма описана шаром, то центр шара является серединой высоты призмы, проходящей через центр, описанной основанию окружности.

2) Комбинированные тела, состоящие из шара и пирамиды.

Теорема 1. Если шар вписан в пирамиду, то его центр является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех боковых двухгранных углов.

Теорема 2. Если шар описан пирамиде, то его центр является точкой пересечения плоскостей, перпендикулярной ребрам и проходящей через середину ребер.

Теорема 3. Для того чтобы построить описанный шар пирамиде, необходимо и достаточно построение описанной окружности основанию пирамиды.

После этого обсуждаются следующие вопросы:

а. Какое минимальное количество граней может иметь призма? При этом у призмы сколько будет вершин, ребер и боковых граней?

б. Существует ли призма, имеющая 10, 12, 15 и 17 ребер?

Учащиеся придут к выводу, что п-угольные призмы имеют 3 ребер.

в. Как называется многогранник, имеющий наименьшее количество граней? Сколько у него ребер и вершин?

г. Может ли гранями пятигранника быть четырехугольник, пятиугольник? (Ответ: может, не может).

д. Один из граней многогранника шестиугольник. Сколько этот многогранник может иметь наименьшее количество ребер? (Ответ: 12).

При изучени многогранников большую пользу приносит классификация многогранников. При этом многогранник определяется как часть пространства ограниченными плоскими многоугольниками — гранями. Стороны и вершины многоугольника являются сответственно ребрами и вершинами многогранника. Поверхность многранника назывется многранной поверхностью. К этому понятию наложены определеннные ограничения:

1) каждое ребро должно быть общей стороной двух граней, называемых соседными гранями;

2) каждые две грани можно соединять последовательно соседними гранями;

3) каждая вершина должна ограничивать некоторый многогранный угол, соприкасающийся к нему углов граней.

При осуществлении классификации учащиеся должны выделять следующие виды многогранников: параллелепипед, прямоугольный параллелепипед, куб, призма, прямая призма, правильная призма, пирамида, правильная пирамида, усеченная пирамида.

Показ учащимся соотношений между видами многогранников позволяет наглядно демонстрировать возникновение геометрических понятий и их динамику. Например, это можно объяснить в примере куба со следующей логической цепочкой: куб — прямоугольный параллелепипед — призма — многогранник — геометрическое тело – множество точек пространства.

При изложении многогранников также подчеркнуть, что есть такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, грани — правильные, но состоит из различных многоугольников. Такие многогранники называются полуправильными многогранниками или телами Архимеда. Эти тела образуют четыре группы. В первую группу входят тела, образующиеся пресечением пяти платоновых (правильных) многогранников: усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный додекаэдр. Во вторую группу принадлежат квазиправильные многогранники, граны которых состоят из двух типов многоугольников, но каждая грань одного типа обведена с гранями другого типа ‑ кубооктаэдр, икосододекаэдр. Третья группа состоит из ромбооктаэдра, ромбоусеченного кубооктаэдра, ромбоусеченного икосододекаэдра.

К четвертой группе относятся два тела ‑ курносый куб и курносый додекаэдр.

Есть правильные звездчатые многогранники, они называются телами Кеплера-Пуансо. Кеплер нашел маленький звездчатый додекаэр, и он также называется ёжиком, большой додекадр. Пуансо открыл два тела ‑ большой звездчатый додекаэдр и больщой икосаэдр.

Решение многих стереометрических задач целесообразно свести к решению задачи планиметрических. Поэтому в процессе решения задачи они либо расчленяются на ряд планиметрических задач, либо путем соответствующих преобразований может быть сведено к ним.

Кроме того, большую пользу приносят задачи устного характера для вычисления объемов многогранников. Например, при изучении объема куба можно предложить следующие устные задания:

1) Найдите объем куба:

а. если ребро куба равно 2;

б. диагональ грани куба равно 2;

в. диагональ куба равна 6.

В начале изучения стереометрии обратить особое внимание на развитие у учащихся пространственных представлений, при этом больше уделять внимание формированию умений построить трехмерные изображения на плоскости, а также умениям переводу непространственного образа в геометрическую фигуру на плоскости. Для этого должны использоваться анимационные и учебные возможности мультимедийных средств на уроках.

При изучении стереометрии с точки зрения творческого мышления учащихся большое внимание должно быть обращено на следующие моменты:

− формирование у учащихся умения видеть геометрические формы в окружающих телах;

− акцентировать внимание учащихся на аналогии изучения планиметрии и стереометрии;

− добиться наглядного и правильного выполнения изображения пространственных фигур;

− работа с геометрическими образами должна опираться на четкое осознание учителем того, какой тип заданий он предлагает ученику;

− использование заданий, требующих построения чертежа в соответствии с условиями задачи.

Целесообразно рассмотреть задачи теоретического характера:

1) Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной? Рассматривая случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Отсюда вытекает вывод, что задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.

Литература:

  1. Абдуллаев, А.; Инатов, А.; Остонов, К. Роль и место использования современных педагогических технологий на уроках математики. Международный научный журнал «Символ науки» № 2/2016, часть 1. ‑ с. 49–50.
  2. Границкая, А. С. Научить думать и действовать. — М.: Просвещение, 1991.
  3. Кларин, М. В. Развитие критического и творческого мышления. // Школьные технологии, № 4. ‑ 2004.
  4. Крутецкий, В. А. Психология математических способностей школьников. — М.: Педагогика. ‑ 2001.
  5. Семенов, Е. М.; Горбунова, Е. Д. Развитие мышления на уроках математики. — Свердловск, 1966.
Основные термины (генерируются автоматически): плоскость, шар, грань, тело, многогранник, основание цилиндра, призма, параллельный перенос, изучение стереометрии, боковая поверхность.


Похожие статьи

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Для решения задач по стереометрии, GeoGebra обладает некоторым инструментарием, позволяющим не только строить пространственные тела

Начнем построение с основания пирамиды (построение основания удобно выполнять на полотне 2D, связанном с полотном 3D).

Обучение стереометрии студентов ССУЗов с использованием...

В начале изучения курса стереометрии перед учителем возникает проблема переноса пространственного тела в плоскость. Часто приходится строить чертежи многогранников.

Основные методы изучения объемов многогранников

Изучение темы «Объемы многогранников» дает возможность учащимся

Тогда сечения этих цилиндров плоскостями, параллельными этой плоскости, дадут фигуры

где - площадь основания, - высота цилиндра. Пусть - фигура на плоскости π, и - точка вне этой плоскости.

О геометрических преобразованиях и его приложениях...

У них основание общее

Эта ось пересекает наш многогранник в вершине или во внутренней точке ребра или грани.

Все правильные многогранники имеют плоскости симметрии (тетраэдра их — 6, у куба и октаэдра — по 9, у икосаэдра и додекаэдра — по 15).

Развитие познавательного интереса учащихся | Статья в журнале...

При изучении геометрии нужно научить детей видеть красоту фигур.

Можно устроить конкурс красоты, участниками которого являются геометрические фигуры — пирамида, призма, конус, цилиндр, шар.

Вполне экономична. Основание у нее одно. С боковыми гранями соединено.

Наглядная геометрия | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Нахождение площади поверхности призмы. Конструирование разных видов призм.

Почему люки круглые? Окружности и круг в архитектуре. Шар, сфера и их элементы.

Типы правильных многогранников. Тела вращения — 2 ч. Цилиндр, конус.

Обоснование прикладного характера науки геометрии в научном...

...части, плоскости, многогранники, круглые тела, шар и его части, задачи на геометрические построения, измерения длин, площадей и объёмов

В шестой главе «Об измерении круглых поверхностей, как поверхностей цилиндров, конусов, шара» учёный даёт определения...

К вопросу построения различных геометрических фигур на одной...

На рисунке 1 приводится цилиндр и призмы с выпуклой I и вогнутой II поверхностью.

Рис. 1. Фигуры, имеющие выпуклую I и вогнутую II поверхность тела. Для любого многогранника справедлива формула Эйлера, устанавливающая связь между числом вершин , ребер и граней

Роль учёных Центральной Азии в достижении открытий по...

Последние две книги были посвящены геометрии и алгебре. Аль-Каши в геометрии рассмотрел измерения многоугольников, кругов и частей кругов, призм, пирамид, цилиндров, конусов, шара и правильных многогранников.

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Для решения задач по стереометрии, GeoGebra обладает некоторым инструментарием, позволяющим не только строить пространственные тела

Начнем построение с основания пирамиды (построение основания удобно выполнять на полотне 2D, связанном с полотном 3D).

Обучение стереометрии студентов ССУЗов с использованием...

В начале изучения курса стереометрии перед учителем возникает проблема переноса пространственного тела в плоскость. Часто приходится строить чертежи многогранников.

Основные методы изучения объемов многогранников

Изучение темы «Объемы многогранников» дает возможность учащимся

Тогда сечения этих цилиндров плоскостями, параллельными этой плоскости, дадут фигуры

где - площадь основания, - высота цилиндра. Пусть - фигура на плоскости π, и - точка вне этой плоскости.

О геометрических преобразованиях и его приложениях...

У них основание общее

Эта ось пересекает наш многогранник в вершине или во внутренней точке ребра или грани.

Все правильные многогранники имеют плоскости симметрии (тетраэдра их — 6, у куба и октаэдра — по 9, у икосаэдра и додекаэдра — по 15).

Развитие познавательного интереса учащихся | Статья в журнале...

При изучении геометрии нужно научить детей видеть красоту фигур.

Можно устроить конкурс красоты, участниками которого являются геометрические фигуры — пирамида, призма, конус, цилиндр, шар.

Вполне экономична. Основание у нее одно. С боковыми гранями соединено.

Наглядная геометрия | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Нахождение площади поверхности призмы. Конструирование разных видов призм.

Почему люки круглые? Окружности и круг в архитектуре. Шар, сфера и их элементы.

Типы правильных многогранников. Тела вращения — 2 ч. Цилиндр, конус.

Обоснование прикладного характера науки геометрии в научном...

...части, плоскости, многогранники, круглые тела, шар и его части, задачи на геометрические построения, измерения длин, площадей и объёмов

В шестой главе «Об измерении круглых поверхностей, как поверхностей цилиндров, конусов, шара» учёный даёт определения...

К вопросу построения различных геометрических фигур на одной...

На рисунке 1 приводится цилиндр и призмы с выпуклой I и вогнутой II поверхностью.

Рис. 1. Фигуры, имеющие выпуклую I и вогнутую II поверхность тела. Для любого многогранника справедлива формула Эйлера, устанавливающая связь между числом вершин , ребер и граней

Роль учёных Центральной Азии в достижении открытий по...

Последние две книги были посвящены геометрии и алгебре. Аль-Каши в геометрии рассмотрел измерения многоугольников, кругов и частей кругов, призм, пирамид, цилиндров, конусов, шара и правильных многогранников.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Для решения задач по стереометрии, GeoGebra обладает некоторым инструментарием, позволяющим не только строить пространственные тела

Начнем построение с основания пирамиды (построение основания удобно выполнять на полотне 2D, связанном с полотном 3D).

Обучение стереометрии студентов ССУЗов с использованием...

В начале изучения курса стереометрии перед учителем возникает проблема переноса пространственного тела в плоскость. Часто приходится строить чертежи многогранников.

Основные методы изучения объемов многогранников

Изучение темы «Объемы многогранников» дает возможность учащимся

Тогда сечения этих цилиндров плоскостями, параллельными этой плоскости, дадут фигуры

где - площадь основания, - высота цилиндра. Пусть - фигура на плоскости π, и - точка вне этой плоскости.

О геометрических преобразованиях и его приложениях...

У них основание общее

Эта ось пересекает наш многогранник в вершине или во внутренней точке ребра или грани.

Все правильные многогранники имеют плоскости симметрии (тетраэдра их — 6, у куба и октаэдра — по 9, у икосаэдра и додекаэдра — по 15).

Развитие познавательного интереса учащихся | Статья в журнале...

При изучении геометрии нужно научить детей видеть красоту фигур.

Можно устроить конкурс красоты, участниками которого являются геометрические фигуры — пирамида, призма, конус, цилиндр, шар.

Вполне экономична. Основание у нее одно. С боковыми гранями соединено.

Наглядная геометрия | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Нахождение площади поверхности призмы. Конструирование разных видов призм.

Почему люки круглые? Окружности и круг в архитектуре. Шар, сфера и их элементы.

Типы правильных многогранников. Тела вращения — 2 ч. Цилиндр, конус.

Обоснование прикладного характера науки геометрии в научном...

...части, плоскости, многогранники, круглые тела, шар и его части, задачи на геометрические построения, измерения длин, площадей и объёмов

В шестой главе «Об измерении круглых поверхностей, как поверхностей цилиндров, конусов, шара» учёный даёт определения...

К вопросу построения различных геометрических фигур на одной...

На рисунке 1 приводится цилиндр и призмы с выпуклой I и вогнутой II поверхностью.

Рис. 1. Фигуры, имеющие выпуклую I и вогнутую II поверхность тела. Для любого многогранника справедлива формула Эйлера, устанавливающая связь между числом вершин , ребер и граней

Роль учёных Центральной Азии в достижении открытий по...

Последние две книги были посвящены геометрии и алгебре. Аль-Каши в геометрии рассмотрел измерения многоугольников, кругов и частей кругов, призм, пирамид, цилиндров, конусов, шара и правильных многогранников.

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Для решения задач по стереометрии, GeoGebra обладает некоторым инструментарием, позволяющим не только строить пространственные тела

Начнем построение с основания пирамиды (построение основания удобно выполнять на полотне 2D, связанном с полотном 3D).

Обучение стереометрии студентов ССУЗов с использованием...

В начале изучения курса стереометрии перед учителем возникает проблема переноса пространственного тела в плоскость. Часто приходится строить чертежи многогранников.

Основные методы изучения объемов многогранников

Изучение темы «Объемы многогранников» дает возможность учащимся

Тогда сечения этих цилиндров плоскостями, параллельными этой плоскости, дадут фигуры

где - площадь основания, - высота цилиндра. Пусть - фигура на плоскости π, и - точка вне этой плоскости.

О геометрических преобразованиях и его приложениях...

У них основание общее

Эта ось пересекает наш многогранник в вершине или во внутренней точке ребра или грани.

Все правильные многогранники имеют плоскости симметрии (тетраэдра их — 6, у куба и октаэдра — по 9, у икосаэдра и додекаэдра — по 15).

Развитие познавательного интереса учащихся | Статья в журнале...

При изучении геометрии нужно научить детей видеть красоту фигур.

Можно устроить конкурс красоты, участниками которого являются геометрические фигуры — пирамида, призма, конус, цилиндр, шар.

Вполне экономична. Основание у нее одно. С боковыми гранями соединено.

Наглядная геометрия | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Нахождение площади поверхности призмы. Конструирование разных видов призм.

Почему люки круглые? Окружности и круг в архитектуре. Шар, сфера и их элементы.

Типы правильных многогранников. Тела вращения — 2 ч. Цилиндр, конус.

Обоснование прикладного характера науки геометрии в научном...

...части, плоскости, многогранники, круглые тела, шар и его части, задачи на геометрические построения, измерения длин, площадей и объёмов

В шестой главе «Об измерении круглых поверхностей, как поверхностей цилиндров, конусов, шара» учёный даёт определения...

К вопросу построения различных геометрических фигур на одной...

На рисунке 1 приводится цилиндр и призмы с выпуклой I и вогнутой II поверхностью.

Рис. 1. Фигуры, имеющие выпуклую I и вогнутую II поверхность тела. Для любого многогранника справедлива формула Эйлера, устанавливающая связь между числом вершин , ребер и граней

Роль учёных Центральной Азии в достижении открытий по...

Последние две книги были посвящены геометрии и алгебре. Аль-Каши в геометрии рассмотрел измерения многоугольников, кругов и частей кругов, призм, пирамид, цилиндров, конусов, шара и правильных многогранников.

Задать вопрос