Интерполяция сплайнами 7-го порядка с дефектом 4 | Статья в сборнике международной научной конференции

Библиографическое описание:

Маринин В. И., Князев Д. Н., Субботина Е. А. Интерполяция сплайнами 7-го порядка с дефектом 4 [Текст] // Технические науки в России и за рубежом: материалы IV Междунар. науч. конф. (г. Москва, январь 2015 г.). — М.: Буки-Веди, 2015. — С. 125-131. — URL https://moluch.ru/conf/tech/archive/124/7027/ (дата обращения: 21.08.2018).

Пусть на плоскости OXY даны n опорных точек , , интерполирующая функция  удовлетворяет следующей системе уравнений

                                                                                          (1)

Начальные условия для интегрирования имеют вид

При этом  является описанием интерполирующей функции, ,, - соответственно описаниями первой, второй и третьей производных функции; - коэффициенты сплайна, которые необходимо определить. Решая систему (1), получаем окончательное описание функции и первых трех производных:

                 (2)

Рассмотрим интерполирующую функцию на отрезке  (рис. 1).

Обозначим  значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на левом конце элементарного отрезка интерполяции, а ,  — соответствующие значения в средней точке и на правом конце этого отрезка. Обозначим также ; , .

Описание: C:\Users\Катя\Desktop\Безымянный.png

Рис. 1. Разбиение исходных точек на отрезки

 

Тогда для описанных условий система (2) для второй точки примет вид:

А для третьей точки вид:

Система (2) в матричной форме ,

где ; ;

;      ;     .

Решение системы имеет вид:

.

Получим

Выразим коэффициенты  (i=1,2,3,4; j=1,2) через значения сплайна и его первых двух производных в граничных точках участков

При этом , .

    (3)

 

     (4)

В качестве минимизируемой целевой функции будем использовать суммарный квадрат третьей производной, т. е. формально задача оптимизации имеет вид:

где  — количество элементарных отрезков интерполяции;

- значение целевой функции (оценка кручения) на элементарном интервале интерполяции, определяемое по формуле:

,

С учетом системы (2), получим:

                                                           (5)

Запишем выражение (5) в функциональной форме:

.

Для определения, возьмем частные производные от L по переменным  и приравняем их к нулю:

Решая данную систему, получим:

Подставляя полученные выражения в формулы (3) и (4) получим коэффициенты сплайна на отрезках .

Результаты интерполяции исходных точек (образующая баллона наматывания) сплайнами 5 и 7 порядка представлены на рисунках 2 и 3. Из графиков видно, что сплайны 7-го порядка обеспечивают непрерывность третьей производной. Кроме того, сплайны 7-го порядка позволяют задавать значения как первых и вторых, так и третьих производных.

a)                  график функции

б) график первой производной

в) график второй производной

г) график третьей производной

Рис. 2. Графики для баллона, построенного сплайном 5-го порядка

 

а) график функции

б) график первой производной

в) график второй производной

г) график третьей производной

Рис. 3. Графики для баллона, построенного сплайном 7-го порядка

 

Литература:

 

1.                  Маринин В. И., Князев Д. Н. Интерполяция с использованием сплайнов пятого порядка. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. Спецвыпуск,– 2002.

2.                  Маринин В. И., Князев Д. Н. Использование сплайнов пятого порядка при построении образующих поверхностей вращения // Материалы Междунар. науч.-практ. конф. «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». Ч. 4. Новочеркасск, 2001.

Основные термины (генерируются автоматически): интерполирующая функция, производная, элементарный отрезок интерполяции, OXY, график третьей производной, график функции, график второй, вид, график.

Похожие статьи

Явные формулы многомерной интерполяции | Статья в журнале...

интерполирующая функция, многомерная интерполяция, сеточная функция, сеточная вектор-функция, число переменных

Рассмотрим интерполирующую функцию на отрезке (рис. 1). Обозначим значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на.

Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции

Рассмотрим интерполирующую функцию на отрезке (рис. 1). Обозначим значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на левом конце элементарного отрезка интерполяции, а...

Оценки явных формул многомерной интерполяции в зависимости...

интерполирующая функция, многомерная интерполяция, сеточная функция, сеточная вектор-функция, число переменных

Обозначим значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на левом конце элементарного отрезка интерполяции, а.

Некоторые пути изучения понятия производной в школьном курсе...

Производная — это скорость, это скорость изменения функции. В учебнике производная функции в точке х определяется как предел разностного отношения.

График этой функции плавная, непрерывная кривая линия. Определение производной функции.

О представлении функции многочленом, имеющим заданные...

двухточечный многочлен, формула, интеграл, заданная функция, коэффициент, производная, вид, значение функции, значение интеграла, численное интегрирование. Оценки явных формул многомерной интерполяции в зависимости...

О построении формул аппроксимации периодических функций...

Рис. 2. Полученный график, аппроксимированной функции.

Вместе с тем для многих традиционных задач построения полиномов высоких степеней m, интерполирующих одной «глобальной» формулой заданные функции в узлах отрезка конечной длины, характерны...

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале...

2. Касательной к графику функции у = f(x) в точке A0(x0; f(x0)) называется прямая, проходящая через точку A0, угловой коэффициент которой равен значению производной функции у =f(x) в точке с абсциссой x0.

Применение ИКТ в геометрических и физических приложениях...

Если заменить график функции y= f(x) на каждом отрезке [xi-1, xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и средних прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу вычисления интеграла .

Решение задачи для нормы функционала погрешности...

...высоких степеней m, интерполирующих одной «глобальной» формулой заданные функции в узлах отрезка.

О квадратурных формулах, использующих значения производных... Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Явные формулы многомерной интерполяции | Статья в журнале...

интерполирующая функция, многомерная интерполяция, сеточная функция, сеточная вектор-функция, число переменных

Рассмотрим интерполирующую функцию на отрезке (рис. 1). Обозначим значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на.

Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции

Рассмотрим интерполирующую функцию на отрезке (рис. 1). Обозначим значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на левом конце элементарного отрезка интерполяции, а...

Оценки явных формул многомерной интерполяции в зависимости...

интерполирующая функция, многомерная интерполяция, сеточная функция, сеточная вектор-функция, число переменных

Обозначим значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на левом конце элементарного отрезка интерполяции, а.

Некоторые пути изучения понятия производной в школьном курсе...

Производная — это скорость, это скорость изменения функции. В учебнике производная функции в точке х определяется как предел разностного отношения.

График этой функции плавная, непрерывная кривая линия. Определение производной функции.

О представлении функции многочленом, имеющим заданные...

двухточечный многочлен, формула, интеграл, заданная функция, коэффициент, производная, вид, значение функции, значение интеграла, численное интегрирование. Оценки явных формул многомерной интерполяции в зависимости...

О построении формул аппроксимации периодических функций...

Рис. 2. Полученный график, аппроксимированной функции.

Вместе с тем для многих традиционных задач построения полиномов высоких степеней m, интерполирующих одной «глобальной» формулой заданные функции в узлах отрезка конечной длины, характерны...

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале...

2. Касательной к графику функции у = f(x) в точке A0(x0; f(x0)) называется прямая, проходящая через точку A0, угловой коэффициент которой равен значению производной функции у =f(x) в точке с абсциссой x0.

Применение ИКТ в геометрических и физических приложениях...

Если заменить график функции y= f(x) на каждом отрезке [xi-1, xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и средних прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу вычисления интеграла .

Решение задачи для нормы функционала погрешности...

...высоких степеней m, интерполирующих одной «глобальной» формулой заданные функции в узлах отрезка.

О квадратурных формулах, использующих значения производных... Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее...

Задать вопрос