Авторы: Маматова Нилуфар Хусеновна, Норова Мунира

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №12 (116) июнь-2 2016 г.

Дата публикации: 16.06.2016

Статья просмотрена: 5 раз

Библиографическое описание:

Маматова Н. Х., Норова М. Решение задачи для нормы функционала погрешности интерполяционной формулы в пространстве // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 31-32.



Предположим, что во множестве действительных чисел функция имеет локально суммируемые производные порядка , а также для интервала интеграл ограничен. Положим, что функция является периодической.

В пространстве рассмотрим интерполяционную формулу вида

.(1)

Здесь и параметры соответственно называются узлами и коэффициентами интерполяционной формулы (1).

Разность называется погрешностью интерполяционной формулы (1). Значение этой погрешности в некоторой точке является линейным функционалом на функциях , т. е.

(2)

где — дельта-функция Дирака, ; здесь принимает все целые значения и

(3)

является функционалом погрешности интерполяционной формулы (1) и принадлежит пространству .

Пространство состоит из всех периодических функционалов (3), которые ортогональны к единице. На основании неравенства Коши-Шварца погрешность (2) формулы (1) оценивается с помощью нормы функционала погрешности (3). Следовательно, оценка погрешности интерполяционной формулы (1) на функциях пространства приводится к нахождению нормы функционала погрешности в сопряженном пространстве .

Таким образом, отсюда мы получаем первую задачу.

Лабиринт Задача 1. Найти норму функционала погрешности интерполяционной формулы (1) в пространстве .

В этой задаче для экстремальной функции имеет место следующая

Теорема 1. Явное выражение для экстремальной функции функционала погрешности (3) определяется формулой

(4)

где является полиномом Бернулли, – константа.

Доказательство. Используем формулы преобразования Фурье, данный в [17]

Свертка двух функций определяется формулой

Применяя к обеим частям равенства (4) преобразование Фурье и используя известные формулы (см. [17])

получаем

(5)

Лабиринт Равенства (5) равна нулю в начале координат. Следовательно, обе части уравнения (5) делятся на .

Функция определяется из (5) до выражения

Таким образом, из (5) имеем

Отсюда, с учетом

и

получаем

Отсюда, используя определение полинома Бернулли , получим (4).

Теорема 1 доказана.

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. -М.: Наука, 1974. -808 с.
  2. Соболев С. Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. — 484 с.
Основные термины (генерируются автоматически): функционала погрешности, интерполяционной формулы, погрешности интерполяционной формулы, нормы функционала погрешности, функционала погрешности интерполяционной, норму функционала погрешности, функции функционала погрешности, коэффициентами интерполяционной формулы, погрешностью интерполяционной формулы, оценка погрешности интерполяционной, формулы преобразования Фурье, экстремальной функции, нахождению нормы функционала, помощью нормы функционала, известные формулы, Кубатурные формулы, действительных чисел функция, неравенства Коши-Шварца погрешность, интерполяционную формулу вида, суммируемые производные порядка.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос