Решение задачи для нормы функционала погрешности интерполяционной формулы в пространстве | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №12 (116) июнь-2 2016 г.

Дата публикации: 16.06.2016

Статья просмотрена: 12 раз

Библиографическое описание:

Маматова Н. Х., Норова М. Решение задачи для нормы функционала погрешности интерполяционной формулы в пространстве // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 31-32. — URL https://moluch.ru/archive/116/31319/ (дата обращения: 19.12.2018).



Предположим, что во множестве действительных чисел функция имеет локально суммируемые производные порядка , а также для интервала интеграл ограничен. Положим, что функция является периодической.

В пространстве рассмотрим интерполяционную формулу вида

.(1)

Здесь и параметры соответственно называются узлами и коэффициентами интерполяционной формулы (1).

Разность называется погрешностью интерполяционной формулы (1). Значение этой погрешности в некоторой точке является линейным функционалом на функциях , т. е.

(2)

где — дельта-функция Дирака, ; здесь принимает все целые значения и

(3)

является функционалом погрешности интерполяционной формулы (1) и принадлежит пространству .

Пространство состоит из всех периодических функционалов (3), которые ортогональны к единице. На основании неравенства Коши-Шварца погрешность (2) формулы (1) оценивается с помощью нормы функционала погрешности (3). Следовательно, оценка погрешности интерполяционной формулы (1) на функциях пространства приводится к нахождению нормы функционала погрешности в сопряженном пространстве .

Таким образом, отсюда мы получаем первую задачу.

Задача 1. Найти норму функционала погрешности интерполяционной формулы (1) в пространстве .

В этой задаче для экстремальной функции имеет место следующая

Теорема 1. Явное выражение для экстремальной функции функционала погрешности (3) определяется формулой

(4)

где является полиномом Бернулли, – константа.

Доказательство. Используем формулы преобразования Фурье, данный в [17]

Свертка двух функций определяется формулой

Применяя к обеим частям равенства (4) преобразование Фурье и используя известные формулы (см. [17])

получаем

(5)

Равенства (5) равна нулю в начале координат. Следовательно, обе части уравнения (5) делятся на .

Функция определяется из (5) до выражения

Таким образом, из (5) имеем

Отсюда, с учетом

и

получаем

Отсюда, используя определение полинома Бернулли , получим (4).

Теорема 1 доказана.

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. -М.: Наука, 1974. -808 с.
  2. Соболев С. Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. — 484 с.
Основные термины (генерируются автоматически): интерполяционная формула, функция.


Похожие статьи

Явные формулы многомерной интерполяции | Статья в журнале...

Интерполяционная формула строилась в виде линейной комбинации чебышевской системы функций , для которой ,и задача (2) для любых множества точек интерполяции разрешима...

Оценки явных формул многомерной интерполяции...

Интерполяционная формула строилась в виде линейной комбинации чебышевской системы функций, т. е. в виде.

Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции

A formula for interpolation function in the case of an arbitrary number of variables n is given.

В соответствии с этим число слагаемых N в формуле (2) для интерполяционной функции...

Постановка задачи для построения оптимальной...

Пусть даны пары , . Проблема интерполирования состоит в нахождении функции такой, что.

(2). функционал погрешности интерполяционной формулы , – коэффициенты, а –узлы...

Методы приближения функций параболическими сплайнами

...высоких степеней m, интерполирующих одной «глобальной» формулой заданные функции в узлах отрезка

- построение интерполяционных сплайнов сводится к решению ленточных...

О построении формул аппроксимации периодических функций...

В качестве таких многочленов используются двухточечные интерполяционные многочлены Эрмита [5].

где функции определены формулой: , (1.7). В таблице 1 приведены формулы...

О квадратурных формулах, использующих значения производных...

Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее приближения двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита.

Явные формулы многомерной интерполяции | Статья в журнале...

Интерполяционная формула строилась в виде линейной комбинации чебышевской системы функций , для которой ,и задача (2) для любых множества точек интерполяции разрешима...

Оценки явных формул многомерной интерполяции...

Интерполяционная формула строилась в виде линейной комбинации чебышевской системы функций, т. е. в виде.

Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции

A formula for interpolation function in the case of an arbitrary number of variables n is given.

В соответствии с этим число слагаемых N в формуле (2) для интерполяционной функции...

Постановка задачи для построения оптимальной...

Пусть даны пары , . Проблема интерполирования состоит в нахождении функции такой, что.

(2). функционал погрешности интерполяционной формулы , – коэффициенты, а –узлы...

Методы приближения функций параболическими сплайнами

...высоких степеней m, интерполирующих одной «глобальной» формулой заданные функции в узлах отрезка

- построение интерполяционных сплайнов сводится к решению ленточных...

О построении формул аппроксимации периодических функций...

В качестве таких многочленов используются двухточечные интерполяционные многочлены Эрмита [5].

где функции определены формулой: , (1.7). В таблице 1 приведены формулы...

О квадратурных формулах, использующих значения производных...

Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее приближения двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Явные формулы многомерной интерполяции | Статья в журнале...

Интерполяционная формула строилась в виде линейной комбинации чебышевской системы функций , для которой ,и задача (2) для любых множества точек интерполяции разрешима...

Оценки явных формул многомерной интерполяции...

Интерполяционная формула строилась в виде линейной комбинации чебышевской системы функций, т. е. в виде.

Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции

A formula for interpolation function in the case of an arbitrary number of variables n is given.

В соответствии с этим число слагаемых N в формуле (2) для интерполяционной функции...

Постановка задачи для построения оптимальной...

Пусть даны пары , . Проблема интерполирования состоит в нахождении функции такой, что.

(2). функционал погрешности интерполяционной формулы , – коэффициенты, а –узлы...

Методы приближения функций параболическими сплайнами

...высоких степеней m, интерполирующих одной «глобальной» формулой заданные функции в узлах отрезка

- построение интерполяционных сплайнов сводится к решению ленточных...

О построении формул аппроксимации периодических функций...

В качестве таких многочленов используются двухточечные интерполяционные многочлены Эрмита [5].

где функции определены формулой: , (1.7). В таблице 1 приведены формулы...

О квадратурных формулах, использующих значения производных...

Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее приближения двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита.

Явные формулы многомерной интерполяции | Статья в журнале...

Интерполяционная формула строилась в виде линейной комбинации чебышевской системы функций , для которой ,и задача (2) для любых множества точек интерполяции разрешима...

Оценки явных формул многомерной интерполяции...

Интерполяционная формула строилась в виде линейной комбинации чебышевской системы функций, т. е. в виде.

Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции

A formula for interpolation function in the case of an arbitrary number of variables n is given.

В соответствии с этим число слагаемых N в формуле (2) для интерполяционной функции...

Постановка задачи для построения оптимальной...

Пусть даны пары , . Проблема интерполирования состоит в нахождении функции такой, что.

(2). функционал погрешности интерполяционной формулы , – коэффициенты, а –узлы...

Методы приближения функций параболическими сплайнами

...высоких степеней m, интерполирующих одной «глобальной» формулой заданные функции в узлах отрезка

- построение интерполяционных сплайнов сводится к решению ленточных...

О построении формул аппроксимации периодических функций...

В качестве таких многочленов используются двухточечные интерполяционные многочлены Эрмита [5].

где функции определены формулой: , (1.7). В таблице 1 приведены формулы...

О квадратурных формулах, использующих значения производных...

Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее приближения двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита.

Задать вопрос