Автор: Шустов Виктор Владимирович

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №12 (71) август-1 2014 г.

Дата публикации: 04.08.2014

Статья просмотрена: 278 раз

Библиографическое описание:

Шустов В. В. О представлении функции многочленом, имеющим заданные значения производных на концах отрезка // Молодой ученый. — 2014. — №12. — С. 22-27.

Рассмотрена задача построения многочлена, приближающего заданную функцию с известными значениями ее самой и определенного набора ее производных на концах заданного отрезка. Получены явные формулы представления аппроксимирующего многочлена в различных формах. Приведен пример представления функции y= cos x последовательностью двухточечных многочленов Эрмита, построенных для заданного отрезка. Проведено сравнение погрешностей приближения функции с использованием двухточечного представления и ее разложения в ряд Тейлора.

Ключевые слова: интерполяция Эрмита, многочлен Тейлора,формулы двухточечного представления, погрешность приближения функции на отрезке.

Введение. Функция, имеющая достаточное количество производных на некотором промежутке, с определенной степенью точности может быть приближена степенным многочленом. Так, если заданы значения производных в какой либо точке x0 этого промежутка, то функция f(x) может быть представлена [1, с. 549] в виде многочлена Тейлора с коэффициентами при степенях переменной, зависящими от значений производных в этой точке.

Однако точность приближения функции, многочленом Тейлора является, как правило, удовлетворительной лишь в окрестности точки разложения. Так, например, для функции y= cos x, как видно их графиков, представленных на рис. 1, погрешность аппроксимации неравномерна на отрезке разложения: если в окрестности точки разложения многочлен Тейлора хорошо приближает функцию, то при достаточном удалении от точки наблюдается существенное расхождение между многочленом и функцией. Наличие существенной неравномерности аппроксимации функции f(x) многочленом Тейлора отмечено также в работе [6, c. 30].

Одним из способов уменьшения погрешности и, соответственно, улучшения аппроксимации функции многочленом, является использование данных о значениях функции и ее производных не только в одной точке x0, но и в другой точке отрезка [x0,x1].

Многочлен, построенный по значениям функции и ее производных, заданных только в двух крайних точках отрезка, назовем двухточечным многочленом, а представление функции двухточечным многочленом можно назвать двухточечным представлением.

В работе рассматриваются вопросы представления многочлена, приближающего функцию, о которой известны ее значения и значения ее производных в концах заданного отрезка [x0,x1]. Кроме этого, исследуются вопросы, связанные с приближением функции последовательностью двухточечных многочленов.

Представление двухточечного многочлена в явном виде. Пусть в обеих концевых точках отрезка [x0,x1] заданы значения функции f(x) и ее производных до порядка mi включительно:

                                                                        (1.1)

Необходимо построить многочлен, который удовлетворял бы условиям (1.1).

При построении этого многочлена воспользуемся решением задачи, называемой задачей Эрмита, для общего случая, в котором предполагается, что значения функции и ее производных известны в n+1 точке отрезка [x0,xn].

Формула для представления многочлена H(x), удовлетворяющего условиям (1.1), согласно, например, [2, с.172] в случае n=1, т.е. для отрезка [x0,x1], в наших обозначениях имеет вид:

 ,                                (1.2)

где Ω(x) определяется выражением:

.                                                                                              (1.3)

Формула (1.2) для случая двухточечного представления может быть существенно упрощена и представлена в удобном для дальнейшего использования виде.

После подъема членов формулы с отрицательными степенями в числитель дроби и выноса членов, не зависящих от индекса суммирования по k во внешние циклы, формула для многочлена H(x) примет вид:

.

Введя обозначение

,                                                                                                  (1.4)

формулу для H(x) можно записать в виде:

.                                    (1.5)

Выражение для ωi(x) в соответствии с (1.3) и (1.4) можно записать как:

.                                                                                                     (1.6)

Последовательным дифференцированием и подстановкой при x=xi находим, что

.                                                           (1.7)

С учетом (1.7) формула (1.5) для H(x) получает вид:

.       (1.8)

Выполнив дальнейшие несложные преобразования и учтя (1.6), получим, что:

.              (1.9)

Обозначая дробное выражение под знаком внутренней суммы как :

,                                                                                                            (1.10)

введя относительную переменную ξ, связанную с исходной переменной x соотношением

,                                                                                                                 (1.11)

и записывая формулу (1.9) для многочлена H(x) без использования переменной суммирования i путем явной записи значений этой переменной, получим:

.       (1.12)

Заметим, что введенный коэффициент  выражается через биноминальный коэффициент , определяемый соотношением

,                                                                                      (1.13)

в виде:

                                                                                              (1.14)

Ниже представлена часть таблицы коэффициентов , полученная из соотношений (1.13) и (1.14).

Таблица 1

Коэффициенты  двухточечного представления

k

m

0

1

2

3

4

0

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

2

1

3

6

10

15

3

1

4

10

20

35

4

1

5

15

35

70

В случае, когда в крайних точках отрезка [x0,x1] порядок наивысшей производной один и тот же, т. е. при выполнении условия

m0= m1=m(1.15)

и при обозначении в этом случае многочлена H(x) как Hm(x), формула (1.12) для многочлена Hm(x) примет вид:

.    (1.16)

Если ввести длину L отрезка [x0,x1], определенную соотношением

L=x1-x0,

то формулу (1.16) для многочлена Hm(x) можно записать как:

.            (1.17)

В данный формуле в отличие от предыдущей формулы (1.16) используется биноминальный коэффициент , связанный с коэффициентом  соотношением (1.14).

В частном случае, когда x0=0, т. е. для отрезка [0,L], представление двухточечного многочлена принимает вид:

. (1.18)

Пример использования двухточечного многочлена. Вкачестве примера использования двухточечного многочлена для аппроксимации функций найдем представление функции y= cos x на отрезке [0,L] с использованием этого многочлена.

Известно, что j-я производная функции y= cos x согласно, например, [1, с.179] представляется формулой:

.

В соответствии с этим формулу (1.18) для приближающего ее многочлена Hm(x) можно записать в виде:

.           (1.19)

Выбирая различные значения длины отрезка разложения L, можно получить различные формулы для представления этой функции.

C использованием формулы (1.19) получены формулы приближения функции y= cos x на отрезке [0,π], которые представлены в таблице 2. Эти данные представлены в строках, соответствующих нечетным значениям переменной s, обозначающей степень многочлена приближения.

В строках таблицы, соответствующих четным значениям степени s многочлена разложения, для сопоставления приведены выражения, полученные по формуле Тейлора для этой функции

+…, k=0,1,2,… (1.20)

с соответствующим числом k членов разложения.

В каждой строке четвертого столбца, содержащего формулы разложения, сначала записывается точное символьное выражение и под ними приближенное с точностью до 10 знаков выражение с числовыми коэффициентами. Во втором и третьем столбце приводятся значения переменных k и m, определенных ранее соответствующими формулами (1.20) и (1.15), соответственно. В пятом столбце указано значение параметра числа точек n, в которых заданы значения функции и ее производных (n=0 для разложения по формуле Тейлора и n=1 для двухточечного разложения).

Из таблицы 2 видно, что выражения для разложения по формуле Тейлора содержит только члены с четными степенями переменной x, а формулы двухточечного разложения, наоборот, содержат только нечетные степени переменной x. Таким образом, в таблице 2 строки, соответствующие двухточечному представлению и разложению в ряд Тейлора чередуются между собой.

Таблица 2

Формулы двухточечного представления и разложения Тейлора для функции y= cosx


s

k

m

Формулы в символьном и числовом представлении

n

0

0

 

1

1

0

1

 

0

1–0.6366197724x

1

2

1

 

1–0.5000000000x2

0

3

 

1

1–0.6079271019x2+0.129006138x3

1

4

2

 

1–0.5000000000x2+0.04166666667x4

0

5

 

2

1–0.5000000000x2–0.00841091630x3+0.0546765085x4–0.0069616293x5

1

6

3

 

1–0.5000000000x2+0.0416666667x4–0.0013888889x6

0

7

 

3

1–0.5000000000x2+0.0412901195x4+0.0007082067 x5–0.0018988547x6+0.0001726926x7

1

На рис. 1 и рис. 2 представлены графики разложений функции y= cos x, построенные по формулам, представленным в таблице 2 для разложений Тейлора и двухточечного представления. Из графиков наглядно видно, что для двухточечного представления при учете уже первой производной (m=1) аппроксимирующая зависимость визуально мало отличается от аппроксимируемой функции. Графики, построенные с использованием формул разложения Тейлора, имеют существенно большее расхождение с графиком исходной функцией, причем расхождение наиболее заметно в правой части отрезка разложения, наиболее удаленной от точки разложения x0=0.

Рис. 1. Разложение по формуле Тейлора

Рис. 2. Разложение по двухточечной формуле

Ниже, на рис. 3 и рис. 4 представлены графики погрешностей аппроксимации как модули разностей функции и ее приближения для функции y= cos x в случае разложения Тейлора и для двухточечного представления, соответственно. Из графиков, представленных на рис. 4, можно определить какое число членов разложения необходимо взять для достижения заданной точности. Так для достижения точности, лучшей чем 10-4, достаточно взять значение m=3 и использовать формулы, размешенные в последней строке таблицы 2 в символьном или числовом представлении.

Рис. 3. Погрешность по формуле Тейлора

Рис. 4. Погрешность по двухточечной формуле

Заключение. Получены формулы представления функции, определенной на отрезке вместе с набором ее производных, в виде многочлена, коэффициенты которого определяются по значениям функции и ее производных, заданных в двух концевых точках этого отрезка.

Приведен пример представления y= cos x на заданном отрезке последовательностью двухточечных многочленов и дано сопоставление результатов двухточечного представления и разложения этой функции в ряд Тейлора.

Показано, что погрешность двухточечного представления по сравнению с разложением Тейлора при сопоставимых степенях приближающего многочлена является существенно меньшей, погрешность более равномерно распределена по заданному отрезку и обращается в нуль в обоих концах отрезка разложения.

Литература:

1.      Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. т. 1. М.: Высшая школа, 1970. — 592с.

2.      Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 1 — М.: Физматлит, 1962.– 464 с.

3.      Кожухов И. Б., Прокофьев А. А.. Справочник по математике.- М.: «Лист», 1999.–640 с.

4.      Гончаров В. И. Теория интерполирования и приближения функций. М.: Гостехтеориздат, 1934.–316 с.

5.      Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999.– 336 с.

6.      Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие для вузов. — 2-е изд., испр. — М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 248 с.

Основные термины (генерируются автоматически): функции y= cos, двухточечного представления, формуле Тейлора, двухточечного многочлена, приближения функции, отрезка разложения, значения функции, точки разложения, использования двухточечного многочлена, разложения Тейлора, последовательностью двухточечных многочленов, окрестности точки разложения, представления функции, функции многочленом, разложения в ряд Тейлора, разложения многочлен Тейлора, двухточечного разложения, представления аппроксимирующего многочлена, значения производных, аппроксимации функции.

Ключевые слова

интерполяция Эрмита, многочлен Тейлора, формулы двухточечного представления, погрешность приближения функции на отрезке

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос