Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №28 (132) декабрь 2016 г.

Дата публикации: 19.12.2016

Статья просмотрена: 70 раз

Библиографическое описание:

Шустов В. В. О построении формул аппроксимации периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита // Молодой ученый. — 2016. — №28. — С. 4-8. — URL https://moluch.ru/archive/132/36946/ (дата обращения: 23.04.2018).



 

Рассмотрена задача приближения периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы представления этих многочленов, которые используют значения функции и ее производных до n-го порядка включительно в заданной точке. Приведен пример построения составных многочленов Эрмита для периодической функции f(x) = sin x и данные о погрешности приближения.

Ключевые слова: периодические функции, составной двухточечный многочлен Эрмита, формулы аппроксимации функций, погрешность приближения

Введение

Для приближения периодических функций часто применяются тригонометрические функции в форме рядов Фурье. Эти ряды широко используются для решения различных задач, и им посвящена обширная литература [1] — [4].

Особенностью приближения периодических функций рядами Фурье является то, что в них используются тригонометрические функции y= sin x и y= cos x, которые требуют последующего вычисления. Для вычисления этих функций используют разные методы, в частности, разложение их в степенные ряды по формуле Тейлора.

Идея предлагаемого подхода состоит в том, чтобы напрямую использовать многочлены определенного класса для представления периодических функций. В качестве таких многочленов используются двухточечные интерполяционные многочлены Эрмита [5].

1. Постановка и решение задачи

Пусть периодическая функция f(x) с периодом T:

f(x) = f(x+T), (1.1)

определена на интервале (-∞<x<∞) и имеет достаточный набор производных на интервале.

Пусть также в некоторой точке x0 ϵ (-∞,∞) заданы значения функции f(x) и ее производных до порядка m включительно:

. (1.2)

Необходимо построить составной многочлен H(x), который определен на том же интервале (-∞<x<∞) и который удовлетворяет условиям (1.1) и (1.2).

Введем новую переменную ξ, связанную с исходной переменной x соотношением:

, (1.3)

где функция обозначает дробную часть своего аргумента, т. е. .

Преобразование, выраженное формулой (1.3), сводит неограниченный промежуток изменения периодической функции к промежутку [0,1).

Вследствие того, что производные f(x) также являются периодическими функциями, можно записать, что выполняются условия на правом конце отрезка:

, (1.4)

Задача аппроксимации периодической функции на неограниченном промежутке сводится к задаче приближения функции на отрезке с заданными условиями (1.2) и (1.4) на его концах.

Согласно [5, С. 1097] приближающий многочлен Hm(x), удовлетворяющий условиям (1.2) и (1.4), можно представить в виде:

. (1.5)

Переходя только к относительной переменной ξ согласно (1.3), учитывая условия выраженные (1.4) и группируя, получим следующее представление для Hm(ξ):

, (1.6)

где функции определены формулой:

, (1.7)

В таблице 1 приведены формулы двухточечного многочлена Hm(ξ), полученные из соотношения (1.6), в которой функции представлены в виде степеней переменной ξ и s — степень многочлена.

Таблица 1

Формулы для многочлена Hm(ξ)

s

m

Формулы для Hm(ξ)

1

0

3

1

5

2

7

3

В качестве примера на рис. 1 представлены графики модуля функций .

Рис. 1 Зависимость при j=1,2,3,4 и для m=4

Из графиков видно, что функции обращаются в ноль в крайних точках отрезка [0,1] и быстро убывают с увеличением j.

Полученные результаты можно представить в виде следующей теоремы.

Теорема. Пусть периодическая функция f(x) с периодом T определена на интервале (-∞<x<∞), имеет производные до m-го порядка включительно на этом интервале и заданы условия (1.2) в точке x0 ϵ (-∞,∞). Тогда существует составной многочлен Hm, удовлетворяющий условиям (1.2), который является суперпозицией двухточечного интерполяционного многочлена Эрмита и функции {z}, и который может быть представлен в виде

,

где переменная ξ и функции определены формулами (1.3) и (1.7), соответственно.

2. Численный пример построения приближающего многочлена

Для периодической функции y = sin x, которая имеет период T=2π, производные определяются соотношением:

.

Подставляя значения функции и ее производных в формулы, приведенные в таблице 1, получим соотношения для приближающих ее многочленов Hm, которые представлены в таблице 2.

Таблица 2

Формулы приближающего многочлена для функции y = sin x

s

m

Формулы для многочленаHm(ξ)

1

0

3

1

5

2

7

3

9

4

На рис. 2 приведены графики многочлена Hm(x) с использованием исходной переменной x для значений параметра m=0,1,2,3,4 и график функции y = sin x.

Рис. 2. Приближение функции y = sin x составным многочленом

Из рисунка видно, что с увеличением значения параметра m графики приближающих многочленов монотонно подходят к графику этой функции.

На рис. 3 показаны графики погрешности приближения δ(x), определенной по формуле δ(x)=|f(x)-Hm(x)|, для различных значений параметра m.

Рис. 3. Погрешность приближения δ(x) для значений параметра m= 0–4

Из графиков видно, что погрешность обращается в ноль на концах отрезка периодичности и уменьшается с возрастанием параметра m.

Заключение

Рассмотрена задача аппроксимации периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита, которая решается путем расширения области применимости данного подхода аппроксимации с конечных отрезков на неограниченные в общем случае промежутки задания функции. В результате решения задачи получены конечные формулы представления периодической функции этими многочленами, которые используют значения функции и ее производных в заданной точке.

Приведен пример представления функции y = sin x последовательностью составных двухточечных многочленов, построенных для этой функции. Результаты исследований погрешности показали, что при определенных условиях составные двухточечные многочлены Эрмита могут использоваться для приближения периодических функций.

В работе использованы материалы доклада, сделанного автором на 18 Саратовской зимней математической школе [6].

 

Литература:

  1. Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. — 336 с.
  2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. т. II. — М.: Высшая школа, 1981. — 584с.
  3. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 1 — М.: Физматлит, 1962.– 464 с.
  4. Воробьев Н. Н. Теория рядов — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 406 с.
  5. Шустов В. В. О приближении функций двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015, Т. 55, № 7. С. 1091–1108.
  6. Шустов В. В. О приближении периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита // Современные методы теории функций и их приложения: материалы 18-й Саратовской зимней математической школы, Саратов: изд. ООО «Научная книга», 2016. С. 338–341.
Основные термины (генерируются автоматически): периодических функций, приближения периодических функций, периодических функций составными, периодической функции, функций составными двухточечными, значения функции, аппроксимации периодических функций, многочлены Эрмита, тригонометрические функции, составных многочленов Эрмита, конечные формулы представления, двухточечный многочлен Эрмита, аппроксимации периодической функции, формулы аппроксимации функций, задаче приближения функции, задача приближения периодических, интерполяционные многочлены Эрмита, формул аппроксимации периодических, периодических функций рядами, представления периодических функций.

Ключевые слова

периодические функции, составной двухточечный многочлен Эрмита, формулы аппроксимации функций, погрешность приближения

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос