О роли экономической направленности математического образования

Статистика последних лет показывает, что математическое образование в профессиональных учебных заведениях, где математика не является профильной дисциплиной, становится всё более абстрактным, в то время как мировая тенденция развития образования состоит в ориентации его содержания на решение практических задач. Преимущественное использование математических знаний, умений и навыков у большинства человечества связано с решением различных экономических задач, поэтому необходимо уделить особое внимание экономической направленности математического образования в профессиональных учебных заведениях. Это способствует развитию у студентов интереса к изучению математики, выяснению ее тесных связей с реальными задачами современной рыночной экономики, многими из которых должен владеть каждый человек независимо от профессии и сферы его интересов.

В ходе анализа содержания задач различных учебно-методических комплексов по математике, предназначенных для профессиональных учебных заведений, было выявлено, что большинство задач, представленных в учебниках, не содержат проблем, возникающих в практической деятельности человека. Следовательно, возникает необходимость переформулировать условия задач таким образом, что бы они имели ярко выраженное экономическое содержание. Поскольку математический аппарат при этом не изменяется (меняется только объект, к которому он прилагается), то на математическую подготовку это не влияет, а экономическая составляющая курса математики становится более содержательной и действенной. При этом студент впервые сталкивается с триадой «экономика – математика – экономика» и начинает понимать, каким образом экономические задачи переводятся на математический язык, далее решаются всем известными, а если это необходимо, то и новыми методами математики, и как затем полученные с помощью математического инструментария результаты вновь истолковываются в экономических терминах, давая советы, рекомендации, перечисляя сценарии развития экономических процессов и т.д.

Все это способствует развитию активности и сознательности в обучении математике, которые, как утверждает П.И. Пидкасистый, реализуются, если:

1. Опираться на интересы студентов и одновременно формировать мотивы учения, среди которых на первом месте - познавательные интересы и профессиональные склонности;

2. Включать студентов в решение проблемных ситуаций, «в процесс поиска и решения научных и практических проблем»;

3. Использовать такие методы обучения, как дидактические игры, дискуссии;

4. Стимулировать коллективные формы работы, взаимодействие студентов в обучении.

Необходимой составляющей успешной математической подготовки специалистов является также разнообразие рассматриваемых экономических задач, в которых экономические и финансовые приложения математических методов выходят на первый план, серьезный акцент делается не только на методы решения задач, но и на построение математических моделей, анализ и экономическую интерпретацию полученных результатов.

Кроме того, анализ данных исследований показывает, что осуществление двусторонних связей математики и экономики целесообразно проводить на основе их общих фундаментальных понятий.

Одним из таких понятий является понятие процента. На сегодняшний день, одним из актуальных экономических вопросов, касающийся практически каждого человека, является вопрос кредитования, в частности потребительского кредита. В связи с этим рассмотрим следующую ситуацию:

Покупатель обратился в банк с просьбой о предоставлении кредита на покупку телефона, стоимостью 9000 рублей. Банк готов предоставить покупателю потребительский кредит на срок в 1,5 года с расчетом по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки в 12% с ежемесячными погашениями постнумерандо.

В большинстве случаев задачи подобного рода заканчиваются требованием определить либо ежемесячный платеж по кредиту, либо итоговую стоимость продукта с учетом удорожания. Однако больший интерес в данной ситуации представляет собой денежная оценка выгоды кредитора, результат которой, как правило, удивляет студентов. Поэтому целесообразно рассмотреть (исследовать) данную задачную ситуацию как со стороны заемщика, так и со стороны кредитора.

Решение.

I. Рассматривая данную ситуацию с точки зрения заемщика нас интересует два вопроса: Какую сумму денег покупатель должен ежемесячно перечислять банку? На сколько произойдет удорожание первоначальной стоимости телефона?

Пусть n = 18 (количество платежей); p = 0,12 (процентная ставка);
t = 1,5 (период кредитования); S = 9000 (сумма кредита).

Тогда ежемесячный платеж по кредиту можно вычислить по формуле:

.

Подставляя исходные значения получим:

Т.о. ежемесячный платеж будет составлять 590 руб., следовательно, итоговая сумма за телефон составит 10 620 руб. (удорожание на 1 620 руб.)

Ответ: Ежемесячный платеж по кредиту составит 590 рублей; удорожание первоначальной стоимости – на 1620 рублей.

II. Произведем расчет платы за кредит с точки зрения кредитора. В этом случае нас интересует реальная выгода, которую получает кредитор.

До момента внесения заемщиком последнего платежа (конец 18-го месяца) кредитор пользуется в течение 17-и месяцев платежом в 590 руб., выплаченным заемщиком в конце 1-го месяца. Сумма в 590 руб., полученная кредитором в конце 1-го месяца, эквивалентна по простой процентной ставке в 12% сумме , полученной в конце 18-го месяца. Также до момента внесения заемщиком последнего платежа кредитор пользуется в течение 16-и месяцев платежом в размере 590 руб., выплаченным заемщиком в конце 2-го месяца. Сумма в 590 руб., полученная кредитором в конце 2-го месяца, эквивалентна по простой процентной ставке в 12% сумме , полученной в конце 18-го месяца. Рассуждая аналогично, получаем, что третий платеж эквивалентен сумме , и т.д. Возникает убывающая арифметическая прогрессия, содержащая 18 членов разность d которой равна

Найдем сумму этой арифметической прогрессии:

Отсюда следует, что «в действительности» плата за кредит равняется 11522,7–9000=2522,7 (рублям). Подсчитаем процентные деньги, находясь в позиции заемщика:

Таким образом, «в действительности» кредитор получает на 2522,7–1620=902,7 (рублей) больше, чем указано в кредитном соглашении.

Ответ: «В действительности» кредитор получает на 902,7 рублей больше, чем указано в кредитном соглашении.

Возникает вопрос: За счет чего кредитор получает дополнительную плату за кредит? За счет того, что он длительное время бесплатно пользуется деньгами заемщика, поступившими к нему в качестве погашающих платежей.

Вывод: Потребительский кредит является очень привлекательным для кредитора и крайне несправедливым по отношению к заемщику. В случае потребительского кредита кредитор получает от заемщика те же самые процентные деньги, как и в случае займа, возвращаемого одним платежом в конце срока. Но в отличие от такого займа, в случае потребительского кредита кредитор начинает получать от заемщика погашающие платежи заранее и приобретает возможность совершенно бесплатно использовать их в коммерческих целях. В результате кредитор получает такую плату за кредит, которая значительно превышает сумму процентных денег, выплаченных заемщиком.

Двухстороннее рассмотрение данной задачной ситуации дает, во-первых, более полное представление о вопросе кредитования, во-вторых, позволяет использовать математический аппарат более широко.

Кроме того, в сфере интересов каждого человека оказываются вопросы, связанные с проблемой выбора наилучшего из предложенных вариантов, оценкой степени риска, прогнозирования возможных последствий того или иного решения. Зачастую сталкиваясь с таким выбором, человек принимает решение интуитивно, что неизбежно приводит к ошибочным результатам. Рассмотрим подобные ситуации на следующих примерах:

Пример 1. Вам предлагают купить товар весом в 100 тонн. Взвешивание производилось некоторое время тому назад, и при этом было определено процентное содержание в товаре жидкости, которое составляло 99 %. На момент покупки, за счет усушки, доля жидкости уменьшилась до 96 %. Необходимо рассчитать, сколько весит предлагаемый товар.

Подавляющее большинство студентов обычно называют вес около 97 тонн. Расчет, однако, показывает, что товар при покупке должен весить ровно 25 тонн.

Пример 2. Вы стали обладателем 27 одинаковых по размеру и внешнему виду бриллиантов. В сертификате на драгоценные камни указано, что один из них весит на незначительную величину меньше, чем остальные. Вес камней неизвестен. Желая отбраковать неполноценный камень, вы попросили ювелира произвести взвешивание бриллиантов. Каждое определение веса на высокоточных чашечных весах стоит 100 руб. Какую сумму придется уплатить ювелиру?

Интуитивное решение задачи подсказывает, что число взвешиваний будет значительным, никак не меньше 20, а значит, обойдется более чем в 2000 руб. Между тем математический расчет дает сумму уплаты, равную 300 руб.

Пример 3. Вы собираетесь заключить сделку с некоей фирмой, причем знаете, что эта сделка может по отношению к вам оказаться как честной, так и нечестной. Переговоры с вами ведет представитель фирмы, которому известны ее намерения. Представитель может быть как правдивым человеком, так и лжецом. Как вы думаете, можно ли, задав этому представителю единственный вопрос и получив в ответ "да" или "нет", безошибочно оценить, будет ли сделка честной?

На первый взгляд задача кажется совершенно нереальной: слишком уж велика степень неопределенности. На самом деле задача имеет вполне определенное решение.

Главная особенность рассмотренных примеров – это демонстрация студентам того, что глазомерные, интуитивные решения оказываются несостоятельными.

Использование подобных задачных ситуаций с экономическим содержанием на занятиях по математики и математического аппарата на занятиях по экономике превращает обучение этим наукам в исследовательский процесс, способствуя углубленному изучению и самой математики, и тех ее экономических приложений, знание которых необходимы в повседневной жизни. Экономических задач много. Они разнообразны по тематике и уровню сложности. Подобные задачные ситуации могут быть использованы не только на занятиях, на их основе могут быть разработаны отдельные элективные курсы, факультативные занятия с целью расширения и углубления знаний, умений и навыков, а также как элемент внеклассной работы по предмету в системе дополнительного образования.

Исследование задачных ситуаций, иллюстрирующих приложение изучаемой математической теории в экономике, позволяет студентам на конкретных примерах увидеть, как абстрактные математические понятия и факты можно эффективно применять к решению задач повседневной жизни. Кроме того, использование прикладных задачных ситуаций экономического содержания при обучении студентов, способствует реализации многих целей обучения математике, в том числе развитию познавательного интереса, творческих и интеллектуальных способностей, а также способности к актуализации знаний, активизации мыслительной деятельности.