В прикладных задачах теории управления довольно часто приходится иметь дело с нелинейными элементами. Для анализа нелинейного элемента по аналогии с линейным (с использованием аппарата передаточных функций) используется метод гармонической линеаризации.

Рассмотрим типовую задачу и метод её решения.

На вход нелинейного элемента в нелинейной САУ (см. рисунок 1) подаются гармонические колебания

Рис. 1. Структурная схема нелинейной САУ

Статическая характеристика нелинейного элемента представлена на рисунке 2.

Рис. 2. Статическая характеристика нелинейного элемента

Предположим, что линейная часть системы достаточно инерциальная и не пропускает высокочастотные гармоники. Тогда нелинейный элемент НЭ может быть заменен линейным, частотная характеристика которого зависит от амплитуды входного сигнала [1].

Для того, чтобы на вход нелинейного элемента подавались гармонические колебания , необходимо разомкнуть контур нелинейной САУ.

Сигнал на выходе нелинейного элемента при синусоидальном воздействии можно представить в общем виде:

Рассчитаем точное аналитическое выражения для :

При условии того, что:

Где , — точки перехода по . Это означает, что экстремумов в интервале не наблюдается. Тогда гистерезис можно представить математически в виде следующего соотношения:

Ясно, что это подвид меандра, осталось только вычислить моменты переключения ( ):

Получим совокупность решений:

Функция — нечётная, поэтому можно «вынести» :

Рассмотрим два случая решения совокупности:

а)

б)

Пояснение:

а)

Пояснение:

б)

Объединим решения:

Проверим, что в этих точках функция всегда меняет знак (а не просто касается 0). Для этого уточним, не меняется ли в найденных точках знак производной (следовательно, направление движения функции — убывание или возрастание):

Дельта функция равна 0 везде, кроме тех точек, где (там она равна ), а именно и только в этих точках левая часть обращается в 0. Решений нет, значит нет и классических экстремумов, в том числе таких при которых .

Проверим другим способом: покажем знакопеременность функции

.

Для этого вместо решений подставим точки , так как гарантируется, что:

Тогда:

Видно, что знак функции меняется в зависимости от чётности .

Соответственно, функция является меандром. Общая формула меандра со смещением :

Чтобы определить значения частоты и смещения, запишем:

Сравнивая с ранее полученными решениями, получим окончательно:

То есть имеем меандр со смещением и коэффициентом заполнения 50 % (скважность 2).

Разложим периодический сигнал в ряд Фурье (аналогично [4]), используя первую форму:

где

— частота первой гармоники;

— период входного сигнала ;

Так как амплитуда первой гармоники значительно больше амплитуд гармоник выше первых ( ) и линейная часть нелинейной системы обладает свойством фильтра низкой частоты, то сигнал в формуле (9) статической характеристики можно приближенно представить в следующем виде [2]:

Рассчитаем , , .

Упрощенно, так как наш меандр имеет коэффициент заполнения 50 %, из этого следует, что на любом отрезке времени длиной в период ровно полпериода его значением будет , остальные полпериода займёт значение . Получается, определённый интеграл будет равен 0.

Но, на всякий случай, проверим:

Таким образом . Далее:

Далее, учитывая, что:

Получим:

Таким образом:

Тогда формула (10) примет вид:

Из формулы следует (1), что

Введём обозначения:

Тогда, из (12), (13), (14) и (15) получим:

Графики входных и выходных колебаний нелинейного элемента представлены на рисунке 3.

Рис. 3. Статическая характеристика нелинейного элемента и графики входных и выходных сигналов

Выведем формулу эквивалентной передаточной функции нелинейного элемента . Запишем формулу (7) в операторном виде:

Поделим на . Получим:

Таким образом, эквивалентная передаточная функция нелинейного элемента (9) определяется следующим образом:

Литература:

1. Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования. — 2-е изд., перераб. и доп. — К.: Быща Школа. Головное изд-во, 1989. — 431 с.
2. Попов Е. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления: Учеб. пособие. — 2-е изд., стер. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. —256 с— ISBN 5–02–013903–3.
3. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов: справочник / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. — Санкт-Петербург: Лань, 2010. — 608 с. — ISBN 978–5–8114–0906–8.
4. Демкин В. И. Курс лекций по НСУ. Лекция 2. Гармоническая линеаризация [Электронный ресурс] / В. И. Демкин. — Москва: МИЭТ, 2026. — 8 с. (дата обращения: 16.03.2026)