Настоящая статья является продолжением работы [1], где рассматривается обобщенная модель Фридрихса 
с возмущением ранга не более чем 4, и найдены явный вид существенного и дискретного спектра этого оператора. Там также установлено, что оператор имеет не более чем четыре (с учетом кратности) собственных значений вне существенного спектра. В данной работе мы продолжим изучать спектральных свойств оператора , точнее, описываем строение резольвенты оператора и задача состоит в обосновании этих описаний. При этом используется правило Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными. Заметим, что обобщенная модель Фридрихса ассоциировано с системой не более чем двух частиц на решетке. Известно, что некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектральных свойств обобщенной модели Фридрихса [2,3]. Поэтому изучение резольвенты таких операторов играют важную роль в современной математической физике.
Пусть 
- 
-мерный тор, т. е. куб 
— с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе рассматривается как абелева группа в котором операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в 
по модулю 
. Здесь через 
и 
обозначены множество всех вещественных и целых чисел, соответственно.
Пусть 
— одномерное комплексное пространство, а 
— гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Обозначим через 
прямую сумму пространств 
и 
, т. е. 
. Пространство 
и 
называется нолчастичном и одночастичном подпространством фоковского пространства 
над , соответственно.
Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса действующую в гильбертовом пространстве как 
блочно операторная матрица
,
где матричные элементы 
определяются по правилам
.
Здесь 
- фиксированное вещественное число, 
и 
вещественно-непрерывные функции на , а 
сопряженный оператор к 
.
При этих предположениях оператор является ограниченным и самосопряжённым в гильбертовом пространстве . Надо отметить, что по определению пространства всякий линейный ограниченный оператор в этом пространстве всегда записывается как блочно операторная матрица.
Обычно оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4].
Обозначим через 
, 
и 
, соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Прежде всего дадим краткое информации о спектре оператора . В работе [1] доказано, что 
, где числа 
и 
определяются следующим образом:
.
Определим регулярную в 
функции
.
Очевидно, что функция 
является определителем симметричной матрицы, поэтому нули этой функции являются вещественными. Как было показано в работе [1] для дискретного спектра самосопряженного оператора имеет место равенство
.
Учитывая выше сказанные фактов для спектра оператора имеем
.
Теперь переходим к построению резольвенты обобщенной модели Фридрихса . Для 
и 
положим
;
;
.
Сформулируем основной результат работы о явном виде резольвенты обобщенной модели Фридрихса .
Теорема. При каждом фиксированном 
резольвента 
оператора определяется следующим образом:
;
;
где 
, а 
и 
являются компонентами вектора 
, принадлежащее в и , соответственно.
Доказательство. Пусть . Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение 
для любых 
. Для удобства, это уравнение напишем в виде следующей системы уравнений
;
. (1)
Для любых 
и 
имеет место соотношение 
. Тогда из второго уравнения системы (1) для 
имеем
, (2)
где
. (3)
Подставляя полученное выражение (2) для в первое уравнение системы (1) и равенству (3) имеем
;
;
.
Так как основной детерминант 
последной системы отлично от нуля при всех 
, для таких 
это система уравнений имеет единственный решение 
. При этом в силу правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными компоненты 
определяются равенствами:
.
Далее, подставляя найденные выражения для в равенство (2), получим
.
Сопоставляя полученные выражения для 
и через 
и 
приходим к равенству 
, . Теорема доказана.
Из определения оператора видно, что резольвента блочно-операторной матрицы опять является блочно-операторная матрица.
Литература:
1. З. Д. Расулова. О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса с возмущением ранга не более чем 4 // Молодой учёный — 2013 — № 11 — С. 15–17.
2. Л. Д. Фаддеев. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра // Труды Математического Института АН СССР, 1964, Т. 73, С. 292–313.
3. Р. А. Минлос, Я. Г. Синай. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа // Теоретическая и математическая физика, 1979, Т. 2, № 2, С. 230–243.
4. К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.
