Доказательства теоремы Пифагора с точки зрения психологии



Цели и задачи проекта

1. Ознакомиться с биографией Пифагора, с историей теоремы Пифагора с помощью дополнительной литературы и других источников информации.
2. Выдвинуть гипотезу и провести психологическое исследование среди учащихся на латеральные функции головного мозга, на примере доказательств теоремы Пифагора.
3. Сделать вывод о достоверности, выдвинутой теории.

Суть гипотезы в том, что определенные виды доказательств теоремы свойственны разным типам личностей.

Пифагор Самосский

Пифагор Самосский – древнегреческий математик, философ, мистик, религиозный и политический деятель.

Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. Мнесарх был камнерезом.

Рождение ребёнка будто бы предсказала Пифия в Дельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит «тот, о ком объявила Пифия». В частности, Пифия сообщила Мнесарху, что Пифагор принесёт столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесёт в будущем никто другой. Поэтому, на радостях, Мнесарх дал жене новое имя Пифаида, а ребёнку — Пифагор.

Первым учителем Пифагора был Гермодамас. По его совету Пифагор решил продолжить образование в Египте, у жрецов, родной остров Пифагор покинул в 18 лет. Сначала он жил на острове Лесбос. Из Лесбоса путь Пифагора лежал в Милет — к знаменитому Фалесу, основателю первой в истории философской школы. Пифагор внимательно слушал в Милете лекции Фалеса. Фалес советовал ему поехать в Египет, чтобы продолжить образование. И Пифагор отправился в путь. Перед Египтом Пифагор на некоторое время остановился в Финикии, где, по преданию, учился у знаменитых сидонских жрецов. Затем он приехал в Египет, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 до н. э. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.

Вскоре Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей.

Со временем Пифагор прекращает выступления в храмах и на улицах, а учит уже в своем доме. Система обучения была сложной, многолетней.

Постепенно ученики Пифагора создали организацию, которая весьма напоминала религиозный орден. В него входили только избранные, и они всячески почитали своего лидера. В Кротоне со временем данный орден практически захватил власть.

В конце VI в. до н. э. начали расти антипифагорейские настроения. В результате философ вынужден был удалиться в другую греческую колонию, Метапонт. Здесь он прожил до самой смерти.

Теорема Пифагора

Из-за недостатка сведений трудно отличить открытия самого Пифагора от достижений его предшественников и учеников. То же можно сказать и о теореме, почти везде называемой именем Пифагора: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах».

Что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный, египтянам было известно уже еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 г. Берлинского музея).

Теорема Пифагора встречается в вавилонских клинописных табличках приблизительно 2000 г. до н. э.

Теорема Пифагора около 900 г. до н. э. звучала так (в переводе с латинского): «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».

А приблизительно около 1400 г. в Германии теорема была сформулирована так (в переводе): «Площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».

В современных учебниках геометрии теорема написана так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Доказательства теоремы Пифагора

Существует множество доказательств теоремы Пифагора. Рассмотрим некоторые из них:

1. ПРОСТЕЙШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах».

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, – по 2. Теорема доказана.

Рис. 1

II. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА:

Дано: ∆АВС; = 90°; ВС = а; АС = b; АВ = с.

Доказать: с2 = а2 + b2

Доказательство:

1. Дополним Построение: достроим чертеж до квадрата со стороной а + b – получим квадрат CMKN

Рис. 2

2. SCMKN = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3. S1(∆ABC) = ab
4. ∆BCA = ∆AMD = ∆DKP = ∆PNB (по двум катетам)
5. Равные фигуры имеют равные площади.
6. Значит: S1(∆ABC) = S2(∆AMD) = S3(∆DKP) = =S4(∆PNB) = ab
7. SADPB = c2
8. Площадь фигуры, разбитой на части равна сумме площадей её частей. Значит: SCMKL = 4S1 + c2= 4 . ab + c2 = 2ab + c2
9. Итак: a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
10. Значит: a2 + b2 = c2 (если мы из обеих частей верного равенства вычитаем одинаковые слагаемые, то получим верное равенство)
11. т.е. c2 = a2 + b2

III. СРАВНЕНИЕ:

Сравните 2 рисунка и, исследуя эти рисунки объясните, почему c2 = a2 + b2.

Большие квадраты равны, следовательно, равны их площади.

Рис. 3 Рис. 4

Первый квадрат состоит из квадрата со стороной с и четырёх треугольников с катетами а и в.

Второй квадрат состоит из двух квадратов (один со стороной а, другой со стороной в) и четырех таких же треугольников.

Исключив там и там треугольники видим, чтос2=а2+в2.

IV. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ИНДИЙСКИМ МАТЕМАТИКОМ БХАСКАРИ-АЧАРНА:

Дано: ∆АВС, = 90° (АВ = с; ВС = а; АС = в)

Доказать:

1. Дополним построение: достроим чертёж до квадрата АВDE, со стороной с.

Рис. 5

2. Проведем DК ВС; DК = а
3. Проведем ЕL DK; EL = a
4. ПроведёмАМEL; AM = a
5. Получили 4 прямоугольных треугольника: ∆ABC = ∆BKD = ∆DLE = ∆EMA (по гипотенузе и катету)
6. KL = a – b; LM = a – b; CM = a – b; KC = a – b
7. Значит KLMC – квадрат (ромб с прямыми углами – квадрат)
8. SKLMC = (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
9. SABDE = c2
10. SABDE = 4 .+ (a – b)2, т.е. c2 = 2ab + a2 – 2ab + b2, т.е. с2=a2+b2

V. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО МЕТОДОМ ГАРФИЛДА:

Дано: ABC - прямоугольный треугольник

Доказать: BC2=AB2+AC2

Рис. 6

Доказательство:

1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.

2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:

SABED=(DE+AB)·AD/2

4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:

BC2=AB2+AC2.

Исследование

Ученые на протяжении нескольких сотен лет изучают головной мозг человека и его функции.

Мы выдвинули гипотезу, что определенные виды доказательств теоремы свойственны разным типам личностей. В качестве критерия типологии мы выбрали латеральные функции больших полушарий (латеральность – распределение функций мозга). Исходя из функционирования головного мозга, наше правое полушарие отвечает за интуицию, чувства, эмоции, а левое – за логику, чтение, письмо и т. д.

Для подтверждения своей гипотезы в нашем классе мы провели тест и определили, какие полушария мозга преобладают у наших одноклассников. Было выявлено, что у 34% ребят преобладает левое полушарие и у 66% – правое. На следующем этапе эксперимента были представлены несколько доказательств одной теоремы. В результате эксперимента мы получили следующие данные:

1) учащимся с преобладанием функции левого полушария наиболее понятные оказалось геометрическое доказательство методом Гарфилда (V);

2) ребята с преобладанием функций правого полушария выбрали доказательство методом сравнения (III).

Это частично подтвердило нашу гипотезу о том, что доказательства теоремы связано с особенностями восприятия информации.

3) Однако, алгебраическое доказательство теоремы Пифагора (II) оказалось одинаково близко и понятно ученикам и с правым, и с левым типом функционированием мозга.

Итак, мы ознакомились с основными сведениями о Пифагорейской школе и философскими идеями, которые развивали античные философы и мыслители. В ходе проделанной работы мы подтвердили гипотезу по критерию латеральных функций больших полушарий головного мозга для разных типов личностей на примере восприятия доказательств теоремы Пифагора.

Литература:

1. Литцман В. Теорема Пифагора. 1951.
2. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа. 1990.
3. Учебник для общеобразовательных учреждений «Геометрия 7-9 классы» Л. С. Атанасян, 2015.
4. http://to-name.ru/
5. http://subscribe.ru/