Задачи Дарбу и Коши для линейных гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 27 июля, печатный экземпляр отправим 31 июля.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Задачи Дарбу и Коши для линейных гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами / З. М. Усипбек, Д. Е. Аубакир, Д. А. Бексапар [и др.]. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 52 (342). — С. 1-4. — URL: https://moluch.ru/archive/342/76911/ (дата обращения: 16.07.2024).



Многие явления механики, физики, биологии сводятся к исследованию гиперболических уравнений. Чтобы эти явления описать полностью для гиперболических уравнений, ставится задача Дарбу и для дальнейших изучений необходимо явное представление рассматриваемой задачи.

В данной статье изучаются задачи Дарбу и Коши для линейных гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами.

Показано, что эта задача имеет единственное решение и получен ее явный вид.

Ключевые слова : уравнение Вольтерра, функция Римана, функция Бесселя, задача Коши.

Many phenomena of mechanics, physics, and biology are reduced to the study of hyperbolic equations. In order to describe these phenomena completely, the Darboux problem is posed for hyperbolic equations, and for further studies, an explicit representation of the problem under consideration is necessary.

In this article discusses, we study the Darboux and Koshi problems for linear hyperbolic equations with constant coefficients.

It is shown that this problem has a unique solution and its explicit form is obtained.

Keywords: Volterra equation, Riemann function, Bessel function, Cauchy problem.

Введение

Математические модели многих задач газовой динамики, аэродинамики и ряда других моделей процессов механики, физики, биологии сводятся к исследованию гиперболических уравнений ([1–4]).

Задача Дарбу вместо с задачей Коши являются основными задачами для двумерных гиперболических уравнений. Теория этих задач, в силу их прикладной и теоретической важности стала одним из центральных разделов современной теории уравнений с частными производными ([3–5]).

В данной работе изучаются задачи Дарбу и Коши для линейных гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами.

Показано, что эта однозначна разрешима и получен явный вид его решения.

Постановка задачи

Пусть - конечная область, ограниченная отрезком оси , при прямыми и

Рис. 1

В области рассмотрим линейные гиперболические уравнения с постоянными коэффициентами

(1)

где

Задача Коши:

Первая задача Дарбу:

Вторая задача Дарбу:

Первая сопряженная задача Дарбу:

Вторая сопряженная задача Дарбу:

В качестве сопряженной второй задачи Дарбу для уравнения (1) рассмотрим следующую задачу

Задача 2*. Найти решение уравнения (1) в области из класса удовлетворяющее краевым условиям

(2)

где

Имеет место.

Теорема. Задача 2* имеет единственное решение.

Доказательство. Введем новую неизвестную функцию по формуле

(3)

где - пока неизвестные параметры.

Подставляя функцию (3) в уравнение (1) и краевое условие будет иметь

. (4)

при этом из (2) получим

или

(5)

где

Таким образом, вместо задачи (1),(2) пришли к задаче (4),(5) в области

В характеристических координатах

задача (4),(5) записывается в следующем виде

Рис. 2

Область

переходит в область .

Задача 2’ . Найти в области ∆ решение уравнения

(6)

из класса удовлетворяющее краевым условиям

(7)

где

Так как в (6) , то из решения задачи Коши ([3–5]) для уравнения (6) получим следующую формулу

(8)

где - функция Римана уравнения (6).

Известно ([6]), что эта функция представимо в явном виде

где -функция Бесселя первого рода нулевого порядка [7]

Из (8) при будем иметь

(9)

Проведя некоторые вычисления относительно из (9), а также из ([7]) получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно

(10)

Которое имеет единственное решение ([8]) и она выписывается в явном виде.

Здесь

Таким образом задача (6),(7)(т. е. задача 2’) имеет единственное решение вида (8), где

определяется из интегрального уравнения (10).

Отсюда следует и задача 2* имеет решение вида

и можно записать ее в явном виде, где находится из (8).

Теперь покажем, что решение задачи 2* (т. е. задача 2’) единственно. Пусть — два решения задачи 2* с данными (2). Тогда функция удовлетворяет уравнению (1) с однородными данными

(11)

Тогда из задачи (1),(11) приходим к задаче для уравнения (6) с условием

(12)

Далее из решения задачи Коши (8), с учетом (12) будем иметь

которое имеет тривиальное решение ([8]) т. е.

Значит, из (8) получим т. е.

Следовательно,

Единственностьзадачи 2* показана.

Теорема доказана.

Литература:

  1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, М.: Наука, 19722–724 с.
  2. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1976–336 с.
  3. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных, М.Наука, 1981–448 с.
  4. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии, М.: Высшая школа, 1995–301 с.
  5. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и сммешанных уравнений, Алматы: Гылым, 1994–170 с.
  6. Курант Р. Уравнения с частными производными, М.: Мир.1964–830 с.
  7. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции, т.2, М.: Наука, 1974–295 с.
  8. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т.4, ч.2, М.: Наука, 1974–334 с.
Основные термины (генерируются автоматически): задача, уравнение, явный вид, решение задачи, единственное решение, интегральное уравнение, Кош, область, решение уравнения, сопряженная задача.


Ключевые слова

задача Коши, уравнение Вольтерра, функция Римана, функция Бесселя

Похожие статьи

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Действительно, уравнения «крайних» интегральных кривых, удовлетворяющих задаче Коши. имеют вид. Подставив уравнения горизонтальных границ области в эти уравнения, получим. Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).

Решение методом продолжения задач математической физики...

Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая задача; смешанная задача.

Используя это решение, мы можем решить задачу Коши. Задача Коши: Найти решение уравнение (2) в области , удовлетворяющее начальные условия

Решение смешанной задачи для волнового уравнения...

В этой работе приближенно решена смешанная задача для волнового уравнения методом разделения переменных, методом вариационных итераций и методом разложе-ния Адомиана. Все эти методы обеспечивает последовательность функций, которая сходится к точному...

Задача Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа...

Отметим, что краевые задачи с нелокальными условиями склеивания для параболо-гиперболических уравнений известны в физике и изучены в

При исследовании задачи учтем, что в определении обобщенного класса решений уравнения (1) в области необходимо взять.

Линейные уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Ответить на этот вопрос невозможно! Задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла. Еще 3–4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых не был похож на современные.

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

В статье проведено полное исследование периодичности решений линейного разностного уравнения третьего порядка. Указаны все возможные значения коэффициентов, при которых каждое решение уравнения является либо чисто периодическим, либо предельным циклом.

Задача сводится к решению системы уравнений

Решение задачи Коши для эллиптической системы уравнений Коши-Римана впервые получил Т. Карлеман. Карлеманом была предложена идея введения в интегральную формулу Коши дополнительную функцию, зависящей от положительного числового параметра и позволяющей...

К вопросу численной реализации краевых задач для системы...

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки. Некоторые общие положения методики составления и решения дифференциальных уравнений в прикладных задачах.

Некоторые общие положения методики составления и решения...

- выводу закона, определению частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях и числовому определению искомых величин (если это требуется по условию задачи); - анализу ответа. Составив соотношение между переменными величинами и их...

Похожие статьи

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Действительно, уравнения «крайних» интегральных кривых, удовлетворяющих задаче Коши. имеют вид. Подставив уравнения горизонтальных границ области в эти уравнения, получим. Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).

Решение методом продолжения задач математической физики...

Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая задача; смешанная задача.

Используя это решение, мы можем решить задачу Коши. Задача Коши: Найти решение уравнение (2) в области , удовлетворяющее начальные условия

Решение смешанной задачи для волнового уравнения...

В этой работе приближенно решена смешанная задача для волнового уравнения методом разделения переменных, методом вариационных итераций и методом разложе-ния Адомиана. Все эти методы обеспечивает последовательность функций, которая сходится к точному...

Задача Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа...

Отметим, что краевые задачи с нелокальными условиями склеивания для параболо-гиперболических уравнений известны в физике и изучены в

При исследовании задачи учтем, что в определении обобщенного класса решений уравнения (1) в области необходимо взять.

Линейные уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Ответить на этот вопрос невозможно! Задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла. Еще 3–4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых не был похож на современные.

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

В статье проведено полное исследование периодичности решений линейного разностного уравнения третьего порядка. Указаны все возможные значения коэффициентов, при которых каждое решение уравнения является либо чисто периодическим, либо предельным циклом.

Задача сводится к решению системы уравнений

Решение задачи Коши для эллиптической системы уравнений Коши-Римана впервые получил Т. Карлеман. Карлеманом была предложена идея введения в интегральную формулу Коши дополнительную функцию, зависящей от положительного числового параметра и позволяющей...

К вопросу численной реализации краевых задач для системы...

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки. Некоторые общие положения методики составления и решения дифференциальных уравнений в прикладных задачах.

Некоторые общие положения методики составления и решения...

- выводу закона, определению частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях и числовому определению искомых величин (если это требуется по условию задачи); - анализу ответа. Составив соотношение между переменными величинами и их...

Задать вопрос