Мгновенное умножение. Математики во многих случаях облегчают себе вычислительную работу, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям. Например, вычисление 9882 выполняется так:
988 • 988 = (988 + 12) • (988 - 12) + 122 = 1000 • 976 + 144 = 976 144
Легко сообразить, что вычислитель в этом случае пользуется следующим алгебраическим преобразованием:
а2 = a 2 — b 2 + b 2 = (a + b) (a — b) + b 2
Ha практике мы можем с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок.
Например:
182 = 20 • 16 + 22 = 324,
372 = 40 • 34 + 32 = 1369,
482 = 50 • 46 + 22 = 2304,
542 = 58 -50 +42 = 2916.
Далее, умножение 986• 997 выполняется так:
986 • 997 = (986 — 3) • 1000 + 3 • 14 = 983 042
На чем основан этот прием? Представим множители в виде
(1000- 14)•(1000-3)
и перемножим эти двучлены по правилам алгебры:
1000 • 1000 - 1000 • 14 - 1000 • 3 + 14 •3.
Делаем преобразования:
1000 (1000 - 14) - 1000.3 + 14 - 3 = 1000 • 986 - 1000.3+ 14 •3 =
= 1000(986 — 3) + 14 •3.
Последняя строка и изображает прием вычислителя. Интересен способ перемножения двух трехзначных чисел, у которых число десятков одинаково, а цифры единиц составляют в сумме 10. Например, умножение
783 •787
выполняется так:
78 •79 = 6162;3 •7 = 21;
результат: 616221.
Обоснование способа ясно из следующих преобразований:
(780 + 3) (780 + 7) = 780 • 780 + 780 • 3 + 780 • 7 + 3 • 7 = 780 • 780 + 780-10 + +3-7 == 780 (780 + 10) + 3 • 7 = 780 • 790 + 21 = 616200 + 21.
Другой прием для выполнения подобных умножений еще проще
783 •787= (785-2)(785+2)=7852-4= 616 225 — 4 = 616 221.
В этом примере нам приходилось возводить в квадрат число 785.
Для быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, очень удобен следующий способ:
|
352; ж; |
3•4=12. |
Отв. |
1225 |
|
652; |
6•7 = 42. |
Отв. |
4225 |
|
752; |
7 • 8 = 56. |
Отв. |
5625 |
Правило состоит в том, что умножают число десятков на число, на единицу большее, и к произведению приписывают 25.
Прием основан на следующем. Если число десятков а, то все число можно изобразить так: 10а+5.
Квадрат этого числа как квадрат двучлена равен
100а2 + 100a+ 25 = 100a(a+ 1) + 25.
Выражение а(а+1) есть произведение числа десятков на ближайшее высшее число. Умножить число на 100 и прибавить 25 — все равно, что приписать к числу 25.
Из того же приема вытекает простой способ возводить в квадрат числа, состоящие из целого и . Например:
= 3,52 =12,25= 12 , и т.п.
Цифры 1, 5 и 6. Вероятно, все заметили, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей или пятеркой, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому, между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося шестеркой, также оканчивается шестеркой.
Например, 462 = 2116; 463 = 97 336.,
Эту любопытную особенность цифр 1, 5 и 6 можно обосновать алгебраическим путем. Рассмотрим ее для 6.
Числа, оканчивающиеся шестеркой, изображаются так:
10а + 6,10b + 6 и т. д., где а и b— целые числа.
Произведение двух таких чисел равно
100аb + 60b + 60а + 36 == 10 (10аb + 6b + 6а) + 30 + 6 =
= 10(10ab+ 6b +6a+ 3) + 6.
Как видим, произведение составляется из некоторого числа десятков и из цифры 6, которая, разумеется, должна оказаться на конце.Тот же прием доказательства можно приложить к 1 и к 5.
Сказанное дает нам право утверждать, что, например,
3862567 оканчивается на 6,
815723»» 5,
4911732»» 1 и т. п.
Числа 25 и 76 . Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5. и 6. Это число 25 и — что, вероятно, для многих будет неожиданностью, — число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76. Докажем это. Общее выражение для подобных чисел таково:
100а + 76,100b + 76 и т. д.
Перемножим два числа этого вида, получим:
10 000ab+ 7600b + 7600а + 5776 == 10 000аb + 7600b + 7600а + 5700 + 76 =
= 100 (100аb + 76b + 76а + 57) + 76.
Положение доказано: произведение будет оканчиваться числом 76.
Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76, есть подобное же число:
3762= 141 376,5763 = 191 102 976 и т. п.
Эти приемы вычисления с успехом можно применять в начальных классах и не только. Применение таких интересных методов вычисления поможет ученикам быстро осваивать основы математики.
