Библиографическое описание:

Расулов Т. Х., Дилмуродов Э. Б. Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса с двумерным возмущением // Молодой ученый. — 2015. — №9. — С. 20-23.

В работе рассматривается ограниченная и самосопряженная модель Фридрихса с двумерным возмущением, который ассоциирован с системой двух квантовых частиц на трехмерной решетке. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы спектр этой модели совпадал с его числовым образом.

Ключевые слова: модель Фридрихса, числовой образ, существенный и дискретные спектры, резонанс, пороговое собственное значение.

 

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора  в комплексном гильбертовом пространстве  с областью определения  является изучение его числовой области значений:

.

Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее собственные значения. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [2–6]. Из определения множество  видно, что оно является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства множества  дает некоторые информации об операторе .

Отметим, что [7] в случае, когда оператор является ограниченным и самосопряженным, замыкание числового образа есть выпуклая оболочка спектра. Возникает естественной вопрос: для каких классов ограниченных самосопряженных операторов в бесконечномерном пространстве спектр совпадает с числовым образом? Вообще, существует ли такой оператор кроме скалярного оператора? В данной статьи установлена непустота такого класса.

Пусть  — трехмерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Рассмотрим модель Фридрихса , действующий в гильбертовом пространстве  квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на  по формуле

где операторы  определяются по правилам:

,

.

Здесь - вещественнозначные непрерывные (ненулевые) функции на , а функция  определена как

Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , ограничен и сомасопряжен.

Рассмотрим следующие точки из :

   

   

   

   

Очевидно, что функция  имеет невырожденный нулевой минимум в точках ,  и невырожденный максимум в точках , , равный 6.

Ясно, что оператор возмущения  оператора  является самосопряженным двумерным оператором. Поэтому из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр  оператора  совпадает с существенным спектром оператора . Можно показать, что  Из последних двух фактов следует, что

Сформулируем следующее условие для дальнейших рассуждений.

Условие 1. Предположим, что при  функция  является периодической по каждым переменным с периодом , а функция  удовлетворяет условию

 (1)

для каждой функции  являющийся периодической по каждым переменным с периодом .

Отметим, что функции вида

где  — любые вещественные числа, удовлетворяют условию (1) с параметрами  Действительно, пусть есть функция как в условии 1. Тогда имеем

из которого вытекает справедливость равенства (1).

Наряду с оператором , рассмотрим также ограниченный и самосопряженный оператор , действующий в гильбертовом пространстве  по формуле  При условии 1 дискретный спектр оператора  совпадает с объединением дискретных спектров операторов  и

Для удобства введем следующие постоянные  и  Пусть  — банахово пространство непрерывных функций, определенных на

Определение.Пусть  Говорят, что оператор  имеет резонанс с энергией  если число 1является собственным значением интегрального оператора

и по крайней мере одна (с точностьюдо константы) соответствующая собственная функция  удовлетворяет условию  при некотором .

Далее будем предполагать, что все частные производные второго порядка функции  непрерывны в .

Теперь перейдем к формулировке основного результата настоящей работы.

Теорема.Пусть выполняется условие 1. Верны следующие утверждения.

1)        Если числа 0 и 6 являются пороговыми собственными значениями оператора  и  соответственно, то

2)        Если число  является пороговым собственным значением оператора , а оператор  имеет резонанс с энергией , то

3)        Если оператор  имеет резонанс с энергией  и число  является пороговым собственным значением оператора , то

4)        Если оператор  и  имеет резонансы с энергиями 0 и 6, соответственно, то

Схема доказательство: Можно проверить, что при  функция

удовлетворяет уравнению , где  произвольное постоянное.

Пусть

, ;

, , .

Так как функция  имеет невырожденный нулевой минимум в точках ,  и невырожденный максимум в точках , , равный 6, существуют числа  и  такие, что

, , . (2)

Если  при некотором , то существуют числа ,  и  такие, что

, . (3)

Положим

Отметим, что [8] число  является (пороговым) собственным значением оператора  тогда и только тогда, когда  и  при всех . В этом случае  и . Кроме того, оператор  имеет резонанс с энергией  тогда и только тогда, когда  и  при некотором . При этом  и . Эти рассуждение основаны на соотношении (2) и (3).

Следуя схеме работы [8], можно убедиться, что если оператор  имеет резонанс с энергией  или число  является (пороговым) собственным значением оператора , то имеет место равенство .

 

Литература:

 

1.         O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer // Math. Z., — 1918, — V. 2, — no. 1–2, — P. 187–197.

2.         H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl., — 2001, — V. 330, — no. 1–3, P. 89–112.

3.         L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators // Integr. Equ. Oper. Theory, — 2011, V. 71, — P. 245–257.

4.         M. T. Heydari. Numerical range and compact convex sets // Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), 139–143.

5.         H.-L. Gau, C.-K. Li, Y.-T. Poon, N.-S. Sze. Higher rank numerical ranges of normal matrices // SIAM J. Matrix Anal. Appl., 32 (2011), 23–43.

6.         B. Kuzma, C.-K. Li, L. Rodman. Tracial numerical range and linear dependence of operators // Electronic J. Linear Algebra, 22 (2011), 22–52.

7.         K. Gustafson, D. K. M. Rao. Numerical range: The field of values of linear operators and matrices. Springer, Berlin, 1997, 205 p.

8.         Т. Х. Расулов. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. Теоретическая и математическая физика. 163:1 (2010), 34–44.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle