Автор: Филиппенко Виктор Игнатьевич

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №3 (83) февраль-1 2015 г.

Дата публикации: 04.02.2015

Статья просмотрена: 51 раз

Библиографическое описание:

Филиппенко В. И. О кратности непрерывного спектра дифференциального оператора первого порядка в пространстве вектор-функций // Молодой ученый. — 2015. — №3. — С. 15-18.

Пусть  — минимальный замкнутый симметрический оператор, порожденный формально самосопряженным дифференциальным выражением

                                                                            (1)

в гильбертовом пространстве  вектор-функций , рассматриваемых как вектор-столбцы, со скалярным произведением

.

Коэффициенты  и  выражения (1) — эрмитовы матрицы-функции, причем  невырождена и абсолютно непрерывна на;  суммируема на любом сегменте . Пусть  и  — вектор-функции, для которых выражение (1) имеет смысл. Тогда имеет место аналог тождества Лагранжа:

.                                                                             (2)

С помощью стандартных рассуждений (см. например, [1]) можно показать, что максимальный оператор, порожденный в пространстве  дифференциальным выражением (1), является сопряженным оператору . Обозначим его символом . Принимая во внимание тождество (2), область определения  оператора  можно охарактеризовать как линейное многообразие тех вектор-функций , которые для любой вектор-функции  удовлетворяют условию .

В этой работе исследуется кратность спектра самосопряженного расширения  оператора , порожденного операцией  в гильбертовом пространстве .

Стандартным образом (cм., например, [1]) можно построить обобщенную резольвенту оператора , которая при любом невещественном  является интегральным оператором вида , где  — матричное ядро

,

а  — фундаментальная матрица однородной системы , удовлетворяющая условию  ();  — характеристическая матрица-функция оператора ; . Обобщенная резольвента  — симметрического оператора  допускает представление вида , где  обобщенная спектральная функция оператора . Положим

.

При помощи формулы обращения Стилтьеса спектральная функция однозначно восстанавливается по соответствующей ей обобщенной резольвенте. Для любых вектор-функций  и  из  и любых вещественныx  и  имеет место равенство:

,

позволяющее получить формулу всех спектральных функций  оператора :

,                                                                                   (3)

где  — спектральная матрица-функция распределения оператора , .

Подпространство  называется порождающим подпространством самосопряженного оператора  со спектральной функцией , если замыкание линейной оболочки множества , где  пробегает совокупность всех интервалов числовой оси, совпадает с . Кратностью спектра самосопряженного оператора называется минимальная размерность порождающего подпространства этого оператора.

Известно (cм., например, [2, 3]), что совокупность всех обобщенных резольвент  симметрического оператора  в гильбертовом пространстве определяется формулой , где  — любое самосопряженное расширение оператора  в некотором объемлющем пространстве  — единичный оператор в , а  — оператор проектирования в  на . Введем обозначения: . Тогда имеет место

Лемма 1. Пусть  — вектор-функция, удовлетворяющая условиям:  представима в виде , где  — квадратная матрица, столбцами которой служат вектор-функции , а  — вектор-функция, удовлетворяет условию Липшица. Кроме того, при любом .

Тогда для любого и любого имеет место равенство

,                                                                      (4)

где  определяется формулой (3).

Соотношения (2) и (4) приводят к следующей лемме.

Лемма 2. Пусть при любом  система уравнений  имеет решение  такое, что;

1. , где ;

2. для любой вектор-функции

3. при фиксированном  вектор-функция  удовлетворяет условию Липшица относительно  на сегменте . Тогда при любых

,                                                                          (5)

Теорема 1. Пусть при любом  система  имеет  линейно независимых решений

                                                                                           (6)

таких, что:

1.      для каждого из  первых решений (6) выполняются условия:

а)     ;

б)     для любой вектор-функции ;

2.      для каждого из  последних решений (6) выполняются условия:

а)     ;

б)     для любой вектор-функции ;

3.      каждая из вектор-функций (6) при фиксированном  удовлетворяет условию Липшица относительно  на сегменте .

Тогда кратность части спектра самосопряженного расширения оператора , заключенной в сегменте , не превосходит .

При доказательстве теоремы существенно используется соотношение (5).

Замечание. Если оператор  с минимальной областью определения, порожденный операцией  в пространстве  является самосопряженным, то условия 1. б и 2. б можно опустить. В частности, такая ситуация складывается, если выполняются условия

Пусть конец  промежутка  регулярен. Как известно, самосопряженное расширение  в симметрического оператора  называют минимальным, если подпространство , такое что, и ни одно его подпространство, отличное от нулевого пространства не приводит . Имеет место теорема 2.

Теорема 2. Пусть сегмент  не содержит собственных значений оператора  и при любом  система уравнений  имеет линейно независимых решений  таких, что:

1.

2. для каждой вектор-функции

3. каждая из вектор-функций  при фиксированном  удовлетворяет условию Липшица относительно  на сегменте . Тогда кратность непрерывной части спектра оператора , заключенной в сегменте  не превосходит .

Теоремы 1 и 2 позволяют судить о характере спектра самосопряженных расширений оператора  на основе поведения коэффициентов дифференциального выражения (1) в окрестности сингулярных концов промежутка .

Введем обозначения: - собственные значения матрицы .  минимальное самосопряженное расширение оператора , порожденного выражением (1) в пространстве . Предположим, что  при  и  число можно брать произвольно большим.

Теорема 3. Пусть при любом  матрицы и, таковы, что:

1. матрица  имеет конечный предел на бесконечности , причем предельная матрица имеет различные собственные значения;

2. матрицы  и  абсолютно интегрируемы на промежутке ;

1.                 собственные значения матрицы  просты, отличны от нуля и асимптотически разделены, т. е.  не равно нулю для различных индексов.

Тогда кратность непрерывной части спектра оператора , содержащейся в сегменте  не превосходит , где  число собственных значений матрицы , лежащих в левой полуплоскости.

Теорема 4. Пусть при любом :

1.      матрицы  и  согласованы, т. е.  и , где  — диагональная матрица с элементами (постоянные), и  — комплекснозначные функции,  для ;

2.      матрица  подчинена матрице  при намного большем, чем единица, т. е. ;

3.      предел  существует и конечен, матрица  невырождена и имеет различные собственные значения

4.       и  при  намного большем, чем единица;

5.      , где . Тогда кратность непрерывной части спектра оператора , содержащейся в сегменте  не превосходит , где - число собственных значений матрицы , удовлетворяющих условию .

 

Литература:

 

1.      Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969.

2.      Фетисов В. Г., Филиппенко В. И. Исследования по теории операторов и их приложениям. Монография. Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2008. — 185 с.

3.      Филиппенко В. И. Линейные квазидифференциальные операторы в гильбертовом пространстве //Исследования по функциональному анализу и его приложениям. — М.: Наука, 2006. С. 293–344.

Основные термины (генерируются автоматически): симметрического оператора, части спектра оператора, самосопряженное расширение оператора, спектра дифференциального оператора, симметрического оператора в гильбертовом, в гильбертовом пространстве, расширение оператора в некотором, спектральная функция оператора, собственных значений оператора, область определения оператора, характеристическая матрица-функция оператора, собственные значения матрицы, кратность непрерывной части, интегрального оператора, непрерывной части спектра, расширения оператора, самосопряженных расширений оператора, условию Липшица, место равенство, фундаментальная матрица однородной.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос