О кратности непрерывного спектра дифференциального оператора первого порядка в пространстве вектор-функций | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №3 (83) февраль-1 2015 г.

Дата публикации: 04.02.2015

Статья просмотрена: 67 раз

Библиографическое описание:

Филиппенко В. И. О кратности непрерывного спектра дифференциального оператора первого порядка в пространстве вектор-функций // Молодой ученый. — 2015. — №3. — С. 15-18. — URL https://moluch.ru/archive/83/15321/ (дата обращения: 15.08.2018).

Пусть  — минимальный замкнутый симметрический оператор, порожденный формально самосопряженным дифференциальным выражением

                                                                            (1)

в гильбертовом пространстве  вектор-функций , рассматриваемых как вектор-столбцы, со скалярным произведением

.

Коэффициенты  и  выражения (1) — эрмитовы матрицы-функции, причем  невырождена и абсолютно непрерывна на;  суммируема на любом сегменте . Пусть  и  — вектор-функции, для которых выражение (1) имеет смысл. Тогда имеет место аналог тождества Лагранжа:

.                                                                             (2)

С помощью стандартных рассуждений (см. например, [1]) можно показать, что максимальный оператор, порожденный в пространстве  дифференциальным выражением (1), является сопряженным оператору . Обозначим его символом . Принимая во внимание тождество (2), область определения  оператора  можно охарактеризовать как линейное многообразие тех вектор-функций , которые для любой вектор-функции  удовлетворяют условию .

В этой работе исследуется кратность спектра самосопряженного расширения  оператора , порожденного операцией  в гильбертовом пространстве .

Стандартным образом (cм., например, [1]) можно построить обобщенную резольвенту оператора , которая при любом невещественном  является интегральным оператором вида , где  — матричное ядро

,

а  — фундаментальная матрица однородной системы , удовлетворяющая условию  ();  — характеристическая матрица-функция оператора ; . Обобщенная резольвента  — симметрического оператора  допускает представление вида , где  обобщенная спектральная функция оператора . Положим

.

При помощи формулы обращения Стилтьеса спектральная функция однозначно восстанавливается по соответствующей ей обобщенной резольвенте. Для любых вектор-функций  и  из  и любых вещественныx  и  имеет место равенство:

,

позволяющее получить формулу всех спектральных функций  оператора :

,                                                                                   (3)

где  — спектральная матрица-функция распределения оператора , .

Подпространство  называется порождающим подпространством самосопряженного оператора  со спектральной функцией , если замыкание линейной оболочки множества , где  пробегает совокупность всех интервалов числовой оси, совпадает с . Кратностью спектра самосопряженного оператора называется минимальная размерность порождающего подпространства этого оператора.

Известно (cм., например, [2, 3]), что совокупность всех обобщенных резольвент  симметрического оператора  в гильбертовом пространстве определяется формулой , где  — любое самосопряженное расширение оператора  в некотором объемлющем пространстве  — единичный оператор в , а  — оператор проектирования в  на . Введем обозначения: . Тогда имеет место

Лемма 1. Пусть  — вектор-функция, удовлетворяющая условиям:  представима в виде , где  — квадратная матрица, столбцами которой служат вектор-функции , а  — вектор-функция, удовлетворяет условию Липшица. Кроме того, при любом .

Тогда для любого и любого имеет место равенство

,                                                                      (4)

где  определяется формулой (3).

Соотношения (2) и (4) приводят к следующей лемме.

Лемма 2. Пусть при любом  система уравнений  имеет решение  такое, что;

1. , где ;

2. для любой вектор-функции

3. при фиксированном  вектор-функция  удовлетворяет условию Липшица относительно  на сегменте . Тогда при любых

,                                                                          (5)

Теорема 1. Пусть при любом  система  имеет  линейно независимых решений

                                                                                           (6)

таких, что:

1.      для каждого из  первых решений (6) выполняются условия:

а)     ;

б)     для любой вектор-функции ;

2.      для каждого из  последних решений (6) выполняются условия:

а)     ;

б)     для любой вектор-функции ;

3.      каждая из вектор-функций (6) при фиксированном  удовлетворяет условию Липшица относительно  на сегменте .

Тогда кратность части спектра самосопряженного расширения оператора , заключенной в сегменте , не превосходит .

При доказательстве теоремы существенно используется соотношение (5).

Замечание. Если оператор  с минимальной областью определения, порожденный операцией  в пространстве  является самосопряженным, то условия 1. б и 2. б можно опустить. В частности, такая ситуация складывается, если выполняются условия

Пусть конец  промежутка  регулярен. Как известно, самосопряженное расширение  в симметрического оператора  называют минимальным, если подпространство , такое что, и ни одно его подпространство, отличное от нулевого пространства не приводит . Имеет место теорема 2.

Теорема 2. Пусть сегмент  не содержит собственных значений оператора  и при любом  система уравнений  имеет линейно независимых решений  таких, что:

1.

2. для каждой вектор-функции

3. каждая из вектор-функций  при фиксированном  удовлетворяет условию Липшица относительно  на сегменте . Тогда кратность непрерывной части спектра оператора , заключенной в сегменте  не превосходит .

Теоремы 1 и 2 позволяют судить о характере спектра самосопряженных расширений оператора  на основе поведения коэффициентов дифференциального выражения (1) в окрестности сингулярных концов промежутка .

Введем обозначения: - собственные значения матрицы .  минимальное самосопряженное расширение оператора , порожденного выражением (1) в пространстве . Предположим, что  при  и  число можно брать произвольно большим.

Теорема 3. Пусть при любом  матрицы и, таковы, что:

1. матрица  имеет конечный предел на бесконечности , причем предельная матрица имеет различные собственные значения;

2. матрицы  и  абсолютно интегрируемы на промежутке ;

1.                 собственные значения матрицы  просты, отличны от нуля и асимптотически разделены, т. е.  не равно нулю для различных индексов.

Тогда кратность непрерывной части спектра оператора , содержащейся в сегменте  не превосходит , где  число собственных значений матрицы , лежащих в левой полуплоскости.

Теорема 4. Пусть при любом :

1.      матрицы  и  согласованы, т. е.  и , где  — диагональная матрица с элементами (постоянные), и  — комплекснозначные функции,  для ;

2.      матрица  подчинена матрице  при намного большем, чем единица, т. е. ;

3.      предел  существует и конечен, матрица  невырождена и имеет различные собственные значения

4.       и  при  намного большем, чем единица;

5.      , где . Тогда кратность непрерывной части спектра оператора , содержащейся в сегменте  не превосходит , где - число собственных значений матрицы , удовлетворяющих условию .

 

Литература:

 

1.      Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969.

2.      Фетисов В. Г., Филиппенко В. И. Исследования по теории операторов и их приложениям. Монография. Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2008. — 185 с.

3.      Филиппенко В. И. Линейные квазидифференциальные операторы в гильбертовом пространстве //Исследования по функциональному анализу и его приложениям. — М.: Наука, 2006. С. 293–344.

Основные термины (генерируются автоматически): любой, собственное значение матрицы, симметрический оператор, сегмент, самосопряженное расширение оператора, оператор, обобщенная резольвента, непрерывная часть спектра оператора, гильбертово пространство, дифференциальное выражение.


Похожие статьи

Спектральные меры самосопряженных расширений...

Получены оценки ранга спектральной матрицы-функции самосопряженных расширений симметрического дифференциального оператора второго порядка, действующего в пространстве конечномерных вектор-функций, суммируемых с квадратом модуля.

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Оператор не предполагается самосопряженным, так что он является частью сопряженного с ним оператора .

в) для любого элемента гильбертова пространства есть непрерывная слева в смысле нормы элемента функция параметра

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение для любых , т. е. . (5). Так как , из уравнения (5) для имеем.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве , причем.

Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение для любых , т. е. . (5). Так как , из уравнения (5) для имеем.

Спектральные разложения минимального... | Молодой ученый

любой, функция, матрица, оператор, правая часть, натуральное число, обобщенная резольвента, гильбертово пространство, конечный отрезок, линейное многообразие.

Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального...

самосопряженный оператор, функция, уравнение, собственное значение матрицы, индекс дефекта, индекс дефекта оператора, элемент матрицы, вид, гильбертово пространство, отрицательная полуось.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Обычно оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Спектральные меры самосопряженных расширений...

Получены оценки ранга спектральной матрицы-функции самосопряженных расширений симметрического дифференциального оператора второго порядка, действующего в пространстве конечномерных вектор-функций, суммируемых с квадратом модуля.

Описание множества собственных значений одной блочной...

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела...

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Оператор не предполагается самосопряженным, так что он является частью сопряженного с ним оператора .

в) для любого элемента гильбертова пространства есть непрерывная слева в смысле нормы элемента функция параметра

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение для любых , т. е. . (5). Так как , из уравнения (5) для имеем.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве , причем.

Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение для любых , т. е. . (5). Так как , из уравнения (5) для имеем.

Спектральные разложения минимального... | Молодой ученый

любой, функция, матрица, оператор, правая часть, натуральное число, обобщенная резольвента, гильбертово пространство, конечный отрезок, линейное многообразие.

Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального...

самосопряженный оператор, функция, уравнение, собственное значение матрицы, индекс дефекта, индекс дефекта оператора, элемент матрицы, вид, гильбертово пространство, отрицательная полуось.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Обычно оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Описание множества собственных значений одной блочной...

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела...

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Спектральные меры самосопряженных расширений...

Получены оценки ранга спектральной матрицы-функции самосопряженных расширений симметрического дифференциального оператора второго порядка, действующего в пространстве конечномерных вектор-функций, суммируемых с квадратом модуля.

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Оператор не предполагается самосопряженным, так что он является частью сопряженного с ним оператора .

в) для любого элемента гильбертова пространства есть непрерывная слева в смысле нормы элемента функция параметра

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение для любых , т. е. . (5). Так как , из уравнения (5) для имеем.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве , причем.

Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение для любых , т. е. . (5). Так как , из уравнения (5) для имеем.

Спектральные разложения минимального... | Молодой ученый

любой, функция, матрица, оператор, правая часть, натуральное число, обобщенная резольвента, гильбертово пространство, конечный отрезок, линейное многообразие.

Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального...

самосопряженный оператор, функция, уравнение, собственное значение матрицы, индекс дефекта, индекс дефекта оператора, элемент матрицы, вид, гильбертово пространство, отрицательная полуось.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Обычно оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Спектральные меры самосопряженных расширений...

Получены оценки ранга спектральной матрицы-функции самосопряженных расширений симметрического дифференциального оператора второго порядка, действующего в пространстве конечномерных вектор-функций, суммируемых с квадратом модуля.

Описание множества собственных значений одной блочной...

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела...

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Оператор не предполагается самосопряженным, так что он является частью сопряженного с ним оператора .

в) для любого элемента гильбертова пространства есть непрерывная слева в смысле нормы элемента функция параметра

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение для любых , т. е. . (5). Так как , из уравнения (5) для имеем.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве , причем.

Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение для любых , т. е. . (5). Так как , из уравнения (5) для имеем.

Спектральные разложения минимального... | Молодой ученый

любой, функция, матрица, оператор, правая часть, натуральное число, обобщенная резольвента, гильбертово пространство, конечный отрезок, линейное многообразие.

Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального...

самосопряженный оператор, функция, уравнение, собственное значение матрицы, индекс дефекта, индекс дефекта оператора, элемент матрицы, вид, гильбертово пространство, отрицательная полуось.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Обычно оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Описание множества собственных значений одной блочной...

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела...

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Задать вопрос