Библиографическое описание:

Олимов М., Шокиров Д. А. К расчету пластин переменной жесткости // Молодой ученый. — 2016. — №5. — С. 62-69.

 

Предлагается алгоритм расчета прямоугольных пластин переменной жесткости при различных краевых условиях. Задача сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка при переменных коэффициентах с помощью метода дифференциальной прогонки. Приведены некоторые численные результаты.

Ключевые слова: дифференциальная прогонка, задача Коши, метод Канторович — Власова, изгиб балки переменного сечения, цилиндрической оболочки переменной толщины, прямоугольной пластинки переменной жесткости.

 

Вопрос об изгибе прямоугольных пластин переменной толщины — один из сложных в теории изгиба тонких плит. Из-за сложности интегрирования уравнения для прогиба точек срединной поверхности пластинки в настоящее время имеется незначительное число подобных задач, для которых получено точное решение. Поэтому в большинстве случаев такие задачи решаются численными методами.

Эффективность того или иного приближенного метода решения, как известно, определяется многими факторами, среди которых затраты времени на решение задачи и точность полученных результатов являются, по-видимому, наиболее важными.

Анализ широко применяемых приближенных методов приводит к убеждению, что вариационные методы очень трудоемкие в подготовительной работе даже при условии вычисления всех интегралов на компьютере, а метод конечных разностей хотя и универсален, но связен с большим числом алгебраических уравнений.

В данной статье предлагается алгоритм расчета прямоугольных пластин переменной жесткости (толщины) при различных краевых условиях. Задача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами, которые, в свою очередь сводятся к решению задач Коши.

В качестве исходного возьмем уравнение изгиба пластин переменной жесткости [1], которое в безразмерных координатах будет иметь вид.

,

где

(1)

Здесь переменные с чертой означают переменные в обычных координатах, a-размер пластинки по оси x,b-по оси y,D=D(x,y)-жесткость пластинки, w=w(x,y)- прогиб, q(x,y)-нагрузку (все в безразмерных координатах).

Основные граничные условия дла пластин следующие [1]:

              (2)

Комбинируя эти условия, можно получить и другие варианты граничных условий.

Если положить, что жесткость является функцией только переменной х, то из уравнения (I) получим               (3)

Решение уравнения (3) ищем в виде [2]

(4)

где -известные координатные функции.

Далее, выполняя процедуры метода Канторовича-Власова, придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами:

(5)

где -квадратные матрицы порядка n;

F(x)-n-мерный вектор

Элементы этих матриц и вектора имеют вид

При этом граничные условия (2) принимают форму:

а)                  для жестко защемленной пластинки-

б)                 для свободно опёртой –

в)                  для свободной –

здесь и -квадратные матрицы вида

(6)

где элементы квадратных матриц А и В определяются как

Случай, когда система (5) состоит из одного уравнения, описан в работе [3], где она решается методом дифференциальной прогонки. Аналогично к полученной системе попытаемся применить этот метод.

  1.                Рассмотрим систему (5) при следующих граничных условиях:

(7)

Введя обозначения систему (5) приведем к виду

(8)

где

Кроме того, A(x) и B(x) –квадратные матрицы порядка 2n, C(x) и v(x)-2n-мерные векторы.

Граничные условия (7) преобразуется:

v(0)=0, v(1)=0.

Решение системы (8) ищем в виде (9)

с начальными условиями

 v(0)=0, (10)

где -квадратная матрица порядка 2n;

-мерный вектор.

Для определения и построим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

  (11)

c начальными условиями

(12)

Таким образом, краевая задача (5), (7) сводится к задачам Коши(11), (12) и (9), (10).

  1.                Если граничные условия для системы (5) представить как

(13)

то решение будем искать в виде(9) и получим систему(11) с начальными условиями(12), а начальными условиями для системы(9) будут

(14)

где -квадратные матрицы порядка n(k=2, 4);

β(k)-n-мерные векторы (k=1,2), причем

Итак, краевая задача(5), (13) свелась к задачам Коши (11), (12) и (9), (14).

  1.                При граничных условиях для системы (5) типа

(15)

решение будем искать в виде

(16)

где α(x) и β(x)-n-мерные квадратные матрицы;

γ(x)-n-мерный вектор.

Из системы(16) и граничных условий(15) следует, что

(17)

Подставляя(16) в систему(5), приводим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с начальными условиями(17) для отыскания α(x), β(x, γ(x):

, (18)

где .

В результате краевая задача(5), (15) сводится к двум задачам Коши-(18), (17) и системе(16) с начальными условиями

.

  1.                Пусть требуется решить системы(5) при граничных условиях

(19)

Для удовлетворения первых двух граничных условий(19) систему(16) необходимо решать при следующих начальных условиях:

где

  1.                Если систему (5) решать при граничных условиях

то для системы (16) будем иметь начальные условия

  1.                Рассмотрим систему (5) с граничными условиями

(20)

Решение этой системы ищем в виде

. (21)

Из граничных условий (20) и системы (21) вытекают следующие условия:

(22)

Далее, подставив выражение(21) в систему(5), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для определения неизвестных функций

и :

(23)

где

.

Начальные условия для системы(21) будут такие:

(24)

Таким образом, краевая задача(5), (20), сведена к двум задачам Коши: (23), (22) и (21), (24).

Рассмотрим примеры.

Задача 1. Пуст жесткость свободно опертой квадратной пластинки изменяется по закону

Где k-дейтвительное число, и на пластинку действует сплошная нагрузка интенсивностью f(x).

В этом и других примерах координатные функции выбирались так:

Данная задача при N=k=1, a1=7, b1=1, c1=0, f(x)=1+7x, ν=0, 16 рассмотрена в работах [1,2].

Для сравнения в табл.I приведены численные значения прогиба и изгибающих моментов по оси симметрии найденные предлагаемым методом, при n=1, где n-число членов ряда(1), и методами, изложенными в работах [1,2,3].

 

Таблица 1

Искомая величина

Решение

X

0,175

0,335

0,494

0,653

0,812

Грань-Ольссона [I] Привед.в в работе [4]

Предлагаемым методом

0,2072

0,2030

0,2069

0,3095

0,3085

0,3086

0,3270

0,3230

0,3278

0,2787

0,2730

0,2782

0,1834

0,1700

0,1725

Гран-Ольссона [1]

Предлагаемым методом

0,8676

0,8631

1,2683

1,2623

1,4778

1,4652

1,5116

1,5051

1,2277

1,2481

Гран-Ольссона [1]

Предлагаемым методом

0,5935

0,5866

1,2171

1,2077

1,6630

1,6586

1,7613

1,7509

1,3965

1,3232

 

Сравнительный анализ показывает хорошее совпадение итоговых данных расчета. Однако метод, предложенный в работе [2], можно применять только в случае, когда жесткость является линейной функцией. В работе же [2] задача сводится к решению бесконечных систем алгебраических уравнений и рассматриваются лишь опертые пластинки, что ограничивает класс решаемых задач.

Предлагаемым методом можно решать задачи практически при любых изменениях функции жесткости. В табл.2 отражены результаты решения задачи I по оси при более сложном виде функции жесткости, т. е. при

 

Таблица 2

Искомая величина

N

X

0,25

0,50

0,75

1

3

5

0,00119

0,00118

0,00118

0,00219

0,00217

0,00217

0,00221

0,00217

0,00217

1

3

5

7

9

11

0,01058

0,01045

0,01050

0,01048

0,01049

0,01049

0,01696

0,01669

0,01677

0,01673

0,01675

0,01674

0,02095

0,01978

0,02002

0,01994

0,01998

0,01996

1

3

5

7

9

11

0,02550

0,02388

0,02418

0,02408

0,02412

0,02410

0,02453

0,02219

0,02273

0,02253

0,02264

0,02261

0,01305

0,01115

0,01174

0,01150

0,01162

0,01156

 

Для того чтобы показать численную сходимость по методу Канторовича-Власова, в этой таблице представлены данные расчета при различных значениях n, где n- число членов ряда (4) свидетельствующих о довольно хорошей сходимости при этом методе.

Задача 2. Рассчитать прямоугольную пластинку с отношениям сторон жесткость которой изменяется по закону

опертую по сторонам у=0 и у=1, защемленную по стороне х=0 и свободную по стороне х=1.

В этом случае граничные условия будут иметь вид

где ивычисляются по формулам (6). Численные результаты для прогиба и изгибающих моментов по оси и при V=0.25, полученные по методике, описанной в п.3 приведены в табл.3

 

Таблица 3

Искомая величина

n

x

0.25

0.50

0.75

1,00

1

3

5

0,00447

0,00444

0,00444

0,00821

0,00817

0,00817

0,01050

0,01046

0,01046

0,01336

0,01329

0,01329

1

3

5

7

9

11

0,00996

0,00956

0,00964

0,00961

0,00962

0,00962

0,01369

0,01325

0,01335

0,01331

0,01333

0,01332

0,01286

0,01235

0,01246

0,01242

0,01244

0,01243

-0,01319

—0,01365

—0,01353

—0,01358

—0,01356

—0,01357

1

3

5

7

9

11

0,02234

0,02090

0,02122

0,02110

0,02116

0,02114

0,04332

0,04152

0,04191

0,04177

0,04183

0,04180

0,05344

0,05131

0,05177

0,05160

0,05168

0,05164

0,04617

0,04383

0,04434

0,04416

0,04424

0,04420

 

В заключение необходимо подчеркнуть, что предлагаемый метод позволяет решать довольно широкий класс задач об изгибе прямоугольных пластин как постоянной, так и переменной жесткости. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, путем надлежащего введения новых независимых переменных, можно свести к довольно компактным системам обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые легко реализуются на ЭВМ. Кроме того, этот метод с достаточно высокой точностью и при малых затратах машинного времени обеспечивает получение всех необходимых расчетных величин.

 

Литература:

 

  1.                М. Олимов, О. О. Жакбаров, Ф. С. Ирискулов, Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогони, молодой ученыwй, 2015, w6, c.193–196, www.moluch.ru
  2.                Палечек Е. М. Поперечный изгиб прямоугольных пластин переменной жесткости. Труды Калининградского технического института рыбной промышленности и хозяйства, вып 7. Калининградское книжное изд-во, 1963.
  3.                M. Олимов, К. Исманова, П. Каримов, Ш. Исмоилов. Математические пакеты прикладных программ. Тошкент, 2015 г.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle