Наблюдая за своим младшим братом, я пришел к выводу, что по этапам его развития, накопления знаний и навыков можно сделать много интересных умозаключений об этапах развития человека. Например, о том, как человек научился считать. Первые представления моего брата о числах сводились примерно к следующей «математической системе мира»: один, два, много, очень много и самая обидная цифра — нет или отсутствие чего-нибудь. Я воспользовался детской энциклопедией и узнал там, что древние люди в самом начале своего развития примерно так и считали. Первой системой счёта являлось противопоставление понятий «один» — «много». Ее отзвуки до сих пор можно найти в грамматическом строе большинства языков в понятии единственного и множественного числа. Например, во французском языке понятие единственного и множественного числа закреплено в артиклях, особых формах существительных, прилагательных и в глагольных формах, соответствующих им. Тоже самое можно увидеть и в русском языке, но в современном русском языке существует только единственное и множественное число. В то время как во многих древних языках было также и двойственное число для обозначения двух предметов. Существовало оно и в первых индоевропейских языках, включая древнерусский. Таким образом, история чисел и система счисления начались с разделения понятий «один», «два», «много». Получается, мой младший брат даже немного обогнал по своему развитию первобытных людей, так как добавил понятие «очень много» (предположительно равное 3 и больше) и понятие "0" (нет, отсутствие чего-либо), до которого человеческая цивилизации додумалась многие столетия спустя. Да и то люди сначала не поняли, что придумали. Согласно мнению большинства историков, впервые ноль появился в древней Месопотамии. Шумеры отмечали им отсутствие цифрового разряда в своих численных колоннах еще во втором тысячелетии до нашей эры. Вавилоняне использовали шестидесятеричную систему счисления, в которой ноль служил для различия числовых величин таким же образом, как сегодня с его помощью мы отличаем десятки от сотен, тысяч и так далее. В этом заключался смысл ноля в Вавилоне. Примерно в 350 году нашей эры на другом континенте у индейцев майя появился похожий символ, который они использовали с той же целью и жители Вавилона. Ни одна из этих древних цивилизаций не присвоила нулю его современное математическое значение. Впервые математическую ценность ноля осознали в Индии, в VII веке. Математик и астроном Брахмагупта признал «нулевую» ценность нуля и назвал его «сунья», что в переводе означает «пустой». Брахмагупта впервые произвел математические операции с нулем. [1]
Дальше мне было весьма интересно наблюдать за тем, как и на чем считал мой братишка, освоив счет до 10. В ход шли любые подручные предметы: фантики, кубики, палочки, камешки, детали конструктора и, разумеется, пальцы. Как выяснилось, наши далекие предки прибегали к тем же методам вычисления. Конечно, у них не было фантиков, кубиков и конструкторов, но зато были палки, камни, ракушки. Они могли оставлять насечки или зарубки, символизирующие числа. Вот пример одной из простейших систем счета. В этой системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Ее можно изобразить в виде палочки: 1 | 2 | | 3 | | | 4 | | | | 5 | | | | | и т. д. Такая система счисления использовалась, и до сих пор используется в основном народами, не имеющими письменности. Но иногда такой системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или карандашом отмечая черточками в тетради количество проданных товаров. Моя мама так считает количество набранных петель и рядов, когда вяжет на спицах какой-нибудь сложный узор. Но это удобно, пока числа небольшие. [2]
Я обратил внимание на то, что моему братику больше всего нравилось считать на пальцах. Это объяснялось просто: такие счеты всегда под рукой, а точнее на руках, и их весьма затруднительно потерять. Гораздо легче и удобнее воспользоваться ими, чем подбирать для счета 10 подходящих предметов: палочек, камешек, листиков и т. п.
Рис. 1. [3]
Вероятно, так же рассуждали и древние люди. До сих пор в языке есть выражения, говорящие об этом: «посчитать на пальцах одной руки», «объяснить на пальцах», «сосчитать на пальцах», «знать, как свои пять пальцев» и т. д. Сама природа предоставила человеку этот универсальный счетный инструмент. У многих народов пальцы (или их суставы, фаланги) при любых торговых операциях играли роль первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи вполне хватало. К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная в ней считались пальцы на одной руке, десятеричная — пальцы на двух руках. Видимо, в какой-то момент пальцев на руках не хватило, и человек додумался пересчитать еще и пальцы на ногах, создав, таким образом, двадцатеричную систему счета. Как выяснилось, в древности существовала еще и сорокаричная система счета, в основе которой лежало суммарное число пальцев рук и ног у доисторического покупателя и не менее древнего продавца. У многих народов пальцы рук долгое время оставались инструментом счета и на наиболее высоких ступенях развития. Так культурные и цивилизованные римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как римская цифра «V» — это ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем. Легко догадаться, что римская цифра «X» — это две таких же руки.
Казалось бы, руки и ноги у всех примерно одинаковые, а вот системы счета на пальцах у разных народов могут отличаться. Даже в счете на пальцах одной руки нет единого мнения и обозначения. У итальянцев при счете на пальцах рук большой палец обозначает цифру 1, а указательный — отмечает цифру 2; когда же считают американцы и англичане, указательный палец означает цифру 1, а средний — 2, в этом случае большой палец представляет цифру 5. А русские начинают счет на пальцах, первым загибая мизинец, и заканчивают большим пальцем, обозначающим цифру 5, при этом указательный палец сопоставлялся с цифрой 4. Но когда показывают количество, выставляют указательный палец, затем средний и безымянный. [4] Справедливо утверждение: «Сколько людей — столько и мнений». Даже пять пальцев одной руки мы не можем подсчитать одинаково.
Осмелюсь предположить, что древние люди были весьма сообразительны и наблюдательны. Свои пять пальцев они изучили более чем досконально и обратили внимание на то, что каждый палец имеет суставы и фаланги, число которых у людей одинаково. А почему бы и их не сосчитать? А что, если и их использовать как подручные счеты? Подумав так, древний человек совершил для себя еще одно важное открытие и додумался до двенадцатеричной системы счета и до понятия «дюжина». Всем известно, что «дюжина» это 12, но откуда появилось такое число — мало кто знает. Чтобы это выяснить достаточно посмотреть на свои руки, вернее, на одну руку. На всех пальцах одной руки не считая большого — 12 фаланг. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги. Данная система счисления имела довольно широкое распространение. До сих пор элементы двенадцатеричной системы счета сохранились у многих народов. В России долгое время было принято считать яйца дюжинами. В Англии она четко прослеживается в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков — 12 штук. [4] В Христианской религии число 12 рассматривается как хорошее, положительное, так как связано с образом 12 апостолов, учеников Иисуса Христа. А вот число 13 считается плохим и называется «чертова дюжина», вероятно, в память о тринадцатом ученике Иисуса Христа, Иуде, предавшем его.
Казалось бы, у одного человека посчитать больше нечего, и число 20 является его математическим пределом, но это не так. Поизучав свои пальцы еще какое-то время, человек додумался до шестидесятеричной системы счисления. Как? Чего у человека 60? Даже зубов всего 32, но их почему-то никто при счете всерьез не рассматривал. Оказывается все достаточно просто: если на одной руке считать фаланги, а на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то и получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например, 1 час = 60 минут, 1 градус = 60 минут и т. д. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна.
Как я выяснил позже, на пальцах можно не только считать, но и показывать различные цифры. К моему великому изумлению, на пальцах можно показывать и двухзначные, и даже трехзначные цифры. У разных народов создавались и разрабатывались точные системы обозначения чисел на пальцах рук. На этом рисунке показана подобная система, широко применявшаяся в Европе.
Рис. 2. [5]
Таким образом, пальцевой счет позволял показывать пальцами одной руки, складываемыми в различные комбинации, все числа от 1 до 1000. Причем большим и указательным пальцами изображались десятки, остальными тремя — единицы. Например, число 30 получалось, когда большой и указательный пальцы левой руки были соединены в кольцо. Для того, чтобы изобразить число 60, большой палец нужно согнуть и как бы склонить его перед указательным, нависающим над ним. Чтобы показать число 100, нужно было прижать выпрямленный большой палец снизу к указательному и отвести остальные три пальца в сторону. [5]
Наши предки древние славяне, так же прекрасно изучили свои пять пальцев, активно и правильно их использовали с математической точки зрения, да еще и, как всегда, придумали кое-что интересное в силу природной изобретательности и нестандартного мышления. Долгое время наши предки любили считать все парами. Счет парами вплоть до середины XVIII века занимал важное место в жизни россиян, поскольку имел качественное и наглядное происхождение — пара рук, ног, глаз и пр. Недаром говорили: «два сапога — пара», «двугривенный» и т. д. Но парами много не сосчитаешь. Счет тройками появился на Руси в результате ее контактов с Византией, Золотой Ордой и Древним Китаем (происходя от личных местоимений “я”, “ты”, “он”). Этот счет у нас не прижился. [6] Хотя до сих пор можно найти его отголоски в нашей жизни, быту, литературе. Вообще, мы любим цифру 3. Она ассоциируется у нас, как правило, с чем-то хорошим, позитивным. Вероятно, это объясняется ее использованием в христианской религии: Святая Троица, православный обычай креститься тремя перстами. Еще в сказках у нас часто встречается три богатыря, три сына, три дочери, три царства и т. д.. Для прохождения многих испытаний дается именно три попытки. На Руси принято запрягать лошадей в тройку.
Но и число 3 слишком маленькое. Пришлось нашим предкам снова внимательно присмотреться к собственным пальцам и начать считать дальше. В древнерусской нумерации единицы назывались «перстами», десятки — «суставами», а все остальные числа — «сочислениями». Четверичная система счета основана на «перстах» руки, не считая большого пальца. Большой — вовсе не «перст», он «палесъ»! — в этой системе счисления означал конец счета, то есть являлся эквивалентом нуля. Счет восьмерками также основан на пальцевом счете и, по сути, является сочетанием двоичной и четверичной систем. Элементы восьмеричной системы существовали на Руси еще в начале XX столетия. Это и восьмиконечный крест, который использовали староверы, и восьмиголосное церковное пение, и название русской питейной меры — «осьмушки», получаемой в результате последовательного троекратного деления пополам. В русской народной метрологии — это вообще деление какой-либо учетной нераздельной меры (например, куска пахотной земли, сажени или ведра вина) на части, соответствующие 1/2,1/4 и 1/8 долям. Пальцевой счет девятками является, пожалуй, самым распространенным русским народным способом умножения на пальцах с помощью так называемых девятериц — своеобразной таблицы умножения, обозначающей девятилетние сроки человеческой жизни. Наши предки в древности какое-то время считали девятками (впрочем, похоже, что они все-таки считали восьмерками, а с девяти начинался уже новый отрезок счета). [4] В сказках нам часто встречаются напоминания той древней системы счета: «В тридевятом царстве, в тридесятом государстве», «за тридевять земель» и т. д.
Как я уже говорил ранее, русский народ отличался природной смекалкой и сообразительностью. Именно русские люди додумались и широко использовали систему умножения на пальцах. Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.
Рис. 3.
Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались. [6]
Самой логичной, простой и понятной для меня является десятеричная система счета. Также весьма простой кажется двадцатеричная система. Мою точку зрения в древности, да и сейчас разделяют многие народы. Поразил меня тот факт, что двадцатеричной системой счета пользовались ацтеки, майя и французы. Эти народы не соприкасались, их разделяли века, они жили на разных континентах, и, тем не менее, в их системах счета много общего. Вот, что написано в Википедии: «У ацтеков и майя народов, населявших в течение многих столетий обширные области Американского континента и создавших там высочайшую культуру, в том числе и математическую, была принята двадцатеричная система счисления. Также двадцатеричная система счисления была принята и у кельтов, населявших Западную Европу начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Основу для счета в этой системе счисления составляли пальцы рук и ног. Некоторые следы двадцатеричной системы счисления кельтов сохранились во французской денежной системе: основная денежная единица, франк, делится на 20 (1 франк = 20 су)". [2] Еще ее следы легко обнаружить во французской системе счета. По европейским меркам она уникальна. Например: 80 для французов это 4 раза по 20 (quatre-vingts 4•20=80), а 90 это 4 умножить на 20 + 10 (quatre-vingts-dix 4•20+10=80).
Узнав все эти занимательные факты, я внимательно посмотрел на мои руки. Раньше мне казалось, что это очень важная часть тела, предназначенная для того, чтобы брать какие-то предметы, переносить их, класть, ставить, мастерить что-либо, писать, ложку держать и т. д. Я и подумать не мог, что это самые настоящие счеты, которые нам щедро подарила сама природа. Человеку понадобились века эволюции, напряженной работы ума, практики, наблюдений, сопоставления и анализа, чтобы так ловко научиться ими пользоваться. Таблица умножения на пальцах оказалась для меня самым большим и значимым открытием, которое я сделал для себя во время подготовки данной статьи. Я добросовестно пытался ее освоить. На это у меня ушла целая неделя. Если мне было так сложно научиться умножать на пальцах, то как же сложно было придумать такую уникальную систему!
Я считаю, что в век развития компьютерных технологий счет на пальцах, разумеется, утратил свое значение. Вряд ли современные бизнесмены будут совершать расчеты на пальцах или перемножать проценты, как русские купцы в давние времена. Однако это гениальное изобретение наших предков по-прежнему можно использовать. На мой взгляд, прямое применение системы счета на пальцах — это сфера дошкольного образования, а таблицу умножения не плохо бы объяснить на пальцах и в начальной школе.
Литература:
- FB.ru: http://fb.ru/post/childhood-education/2015/9/12/1586
- https://ru.wikipedia.org/wiki/Древние системы счисления
- http://www.myshared.ru/slide/333937/
- http://calutcaia-com.blogspot.ru/p/blog-page_3589.html
- http://rudocs.exdat.com/parsdocs/twrefs/европейская система счета
- http://rustradition.blogspot.ru/2017/03/blog-post_26.html
- Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э-68 А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1989. — 352 с
