Статья посвящена истории возникновения дробей. Описано использование дробей в древности на Руси, в Египте и в Китае. Особое внимание уделено дробям, числитель которых равен единице и которые получили название египетских. Рассмотрено их использование в прикладных задачах.
Ключевые слова: дробь, математика, папирус, египетская дробь, числитель, знаменатель.
Спустя не одно тысячелетие, и по сей день одними из сложных разделов в математике являются дроби [1], [3], [4]. История дробей сильно связана с пользой и выгодой.
Сам термин имеет арабское происхождение и исходит от слов «ломать», «разделять». Почти ничего в этом смысле не изменилось с древних времен. В современности определение звучит так: «дробь — это часть или сумма частей единицы». Исходя из этого, мы понимаем, что примеры с дробями представляют собой последовательное выполнение математических операций с долями чисел.
Согласно археологическим раскопкам, истории возникновения дробей пять тысяч лет. Первой дробью была 1/2 , дальше четверть, треть, и так далее. Первый раз доли числа появились на папирусах (Египет) и глиняных табличках (Вавилония). Учение о дробях всегда вырастало из практических наблюдений и насущных проблем. С древних времён приходилось измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Когда древний человек добывал, например, мамонта, его нужно было делить на всё племя, то есть разделить целое на части (рисунок 1).
Рис. 1. Древнее племя осваивает дроби. Деление мамонта на части
Китай. Если и вышло так, что в Египте возникли обычные дроби, то десятичные впервые появились в Китае. Десятичные дроби появились после предложения китайских математиков использовать их при извлечении квадратных корней, но в итоге дроби в Китае применялись для расчета веса и объема. Со временем они всё глубже проникли в математику Китая, а гораздо позже появились в Европе. Обыкновенные дроби описаны в фундаментальном своде знаний «Математика в девяти книгах» (рисунок 2). Умножение дробей в Китае представлялось как нахождение площади земельного участка прямоугольной формы, и длина, и ширина которого указаны дробными числами. Деление рассматривали при помощи идеи дележа. Число участников дележа могло быть дробным, например, 8 и 1/3 человека.
Рис. 2. Китайская «Математика в девяти книгах»
Древняя Русь. Первым математиком на Руси, изложившим деление целого на части, был монах Кирик (рисунок 3). В 1136 году он написал труд, в котором изложил метод «счисления лет». Математик занимался вопросами хронологии и календаря. Деление целого на части применялось при расчёте налога на Руси в XV — XVII веках. Использовались операции сложения, вычитания, деления и умножения с дробными частями. Само слово «дробь» на Руси появилось в VIII веке. Оно исходит от слова «дробить», то есть, разделять на части.
Рис. 3. Монах Кирик Новгородский
Леонтий Филиппович Магницкий написал в 1701 году полную книгу по арифметике с теорией дробей. Его «Арифметика» состояла из нескольких частей. О дробях подробно рассказывается в разделе «О числах ломаных или с долями». Для названия дробей наши предки использовали специальные слова. Например, 1/2 обозначалась как половина или полтина, 1/3 — треть, 1/4 — четь, 1/8 — полчеть, 1/16 — полполчеть, 1/5 — пятина и т. д. Такая нумерация использовалась до XVI века и сменилась на десятичную при Петре I. Также существовала земельная мера, она измерялась в четверти и получетверти (осьмина). О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В.Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики». Например, очень интересным в этой книге было прочитать, что числитель на Руси назывался верхним числом, а знаменатель — исподним.
Египет. Как мы уже знаем,обыкновенные дроби произошли из древнего Египта и Вавилонии, им около 5 тысяч лет. Самой первой дробью, изображенной на египетском папирусе, была 1/2 или половина от числа. Для удобства египтяне использовали специальные таблицы, в которых дроби представлялись в виде 1/n , где числитель — это единица, а знаменатель — любое натуральное число. Такие дроби получили название египетских .
Рис. 4. Обозначение дробей на папирусе Ахмеса
При этом древние египтяне разбивали доли от числа на разные слагаемые (1/2 + 1/4 + 1/8) . Отдельными дробями были 2/3 и 3/4 . Подробным математическим сборником задач по сложению и вычитанию дробей является Математический папирус Ахмеса (рисунок 4), который был найден в Фивах в 1858 году (иногда называемый как папирус Ринда или Райнда по имени его первого владельца). Сегодня б о льшая часть этой рукописи находится в музее Британии. Она состоит из двух частей: 32 см х 295 см и 32 см х 199 см. В папирусе Ахмеса написаны условия и решения 84 задач. Он является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. Московский математический папирус, который на данный момент находится в Государственном музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина и который состоит из 25 задач, уступает папирусу Ахмеса по полноте, но превосходит его по возрасту. Все задачи, приведенные в папирусе Ахмеса, имеют практический характер и могли быть применены в строительстве, в размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По сути, это задачи на нахождение площадей треугольника, четырехугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений. Вплоть до средних веков египетские дроби применялись на территории Греции и других государств.
В книге [2] про древний Египет написано: «несмотря на то, что греки приписывали египтянам мудрость философов, ни один народ не испытывал такого отвращения к отвлеченным размышлениям и не был так чистосердечно предан материальным интересам, как египтяне». Египтяне никогда не думали и не говорили о числе «восемь» как об абстрактном числе, они думали о восьми овцах, либо же о восьми хлебах. Они вычисляли угол наклона стороны пирамиды потому, что им нужно было объяснять каменщикам, под каким углом надо обтёсывать камень, чтобы известняк не срывался вниз под собственным весом.
Попробуем и мы применить знания из папируса Ахмеса. Допустим, после дня рождения остались лишние 5 пицц и их нужно разделить на 8 гостей, чтобы они унесли их с собой. Если делать просто, нужно число 5 разделить на число 8. То есть, каждому нужно дать 5 кусочков по 1/8 пиццы, то есть, пять полчетей пиццы. Но это некрасиво: резаная пицца на мелкие кусочки.
А по-египетски будет так:
5/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8
5/8 = 1/4 + 1/4 + 1/8
5/8 = 1/2 + 1/8
Значит, каждому уходящему гостю с собой нужно дать половину пиццы и ещё восьмушку. Гости будут довольны! Вот так нам помогли очень культурно разделить пиццу египетские дроби.
Литература:
- Магомедов М. А. История возникновения дробей // https://www.prodlenka.org.
- Кларк С., Энгельбах Р. Строительство и архитектура в Древнем Египте. — М.: Центрполиграф, 2009, 367 с.
- Реферат о дробях // https://yandex.ru.
- История дробей // https://blog.slonum.ru.
