С появлением счета люди стали интересоваться свойствами чисел. Некоторые числа оказались особенными. Такими числами, например, оказались «Ноль» и «Единица». «Ноль» — единственное число, которое при умножении на любое число дает себя и не изменяет числа при сложении. Уникальность «единицы» проявляется в операции умножении. Одним из самых уникальных и загадочных чисел является число π.
История числа π очень яркая и интересная [1]. Число π используется во многих вычислениях, например, в геометрических построениях, в строительстве и архитектуре, в астрономии, в физике, в электронике, в спутниковой навигации, в обработке информации и во многих других областях науки и техники. Точность этих расчетов зависит в том числе и от точности значения числа π.
Целью данной работы является определение точности, с которой можно вычислить число π в домашних условиях.
Число π можно вычислить если разделить длину окружности на ее диаметр [2]
(1)
где c — длина окружности, d — диаметр окружности.
Еще древние математики заметили, что при вычислении числа π по выражению (1) размер окружности роли не играет. В этом и кроется притягательная сила числа π. Многие математики с древних времен пытались рассчитать число π. Впервые символ π был введен английским математиком У. Джонсом в 1707 г. Для обозначения этого числа Джонсон использовал первый символ греческого слова «periferia», что на русском языке означает «окружность» [3].
У каждого народа древности было свое значения числа π. Древние китайцы и древние евреи считали число π равным 3. В древнеегипетском папирусе писца Ахмеса (ок. 1650 до н. э.) содержится значение числа π, равное 3,1605. Чжан Хэн во II веке уточнил значение числа π 
, что примерно равно 3,172. Знаменитый древнегреческий математик Архимед (III в. до н. э.), выполнив множество измерений, установил, что длина окружности примерно в 
раза больше её диаметра. Это число называют «Архимедовым» и оно примерно равно 3,1428.
С каждым годом ученые стремились вычислить все больше знаков в числе π. В 1615 году Лудольф ван Цейлен нашёл 32 правильных знака. К концу XIX в., после 20 лет вычислений, английский математик Вильям Шенкс вычислил 707 цифр числа π. К сожалению в 1945 г. было обнаружено, что Шенкс ошибся в расчетах 520-ой цифры и остальные его вычисления оказались неточными. Однако, метод Шенкса был наиболее точным в докомпьютерную эпоху.
С появлением компьютерной техники XX век стал совершенно новым этапом в вычислении числа π [1]. Группа ученых под руководством Джона фон Неймана на компьютере ENIAC получила 2037 знаков после запятой числа π. Давид и Григорий Чудновские в 1987 году получили формулу, с помощью которой смогли установить несколько рекордов в вычислении π с точностью 1011196691 знаков после запятой. В настоящее время вычислено 13,3 триллионов знаков после запятой.
1.2 Загадка числа π
Число π является самым известным и самым часто употребляемым числом в математическом языке. И даже в честь этого числа существует праздник, 14 марта отмечается Международный день числа π. Праздновать и поздравлять своих друзей с этим праздником следует с точностью до секунды в марте 14 числа в 1 час 59 минут и 26 секунд (в соответствии с цифрами числа π — 3,1415926). Математика — точная наука и математические праздники имеют точные моменты празднования.
Число π иррациональное, то есть оно бесконечно и его нельзя представать в виде обыкновенной дроби. В процессе вычислений этого числа было открыто большое количество научных методов и даже современных наук. Но самое интересное, что поразило ученых, это то, что в дробной части числа π отсутствуют повторения комбинаций цифр. Из этого можно понять, что знаки в числе π расположены хаотично.
Так же если в числе π бесконечное множество чисел и в них нет повтора, то получается, что в этом числе можно найти любую последовательность цифр, например номер вашего телефона или дату вашего рождения. Это считается строгим научным фактом и уже доказано. В нем можно найти любую комбинацию цифр. Например, в первых 4500 знаках легко найти телефонный код Ижевска 3412, день рождения Гуманитарного лицея 19 октября, высоту вулкана Этна 3323 м. А если закодировать буквы русского алфавита десятичными цифрами, то в записи числа π можно найти все литературные произведения написанные когда-либо и еще не написанные.
Вычисление π через измерение окружности. Для вычисления числа π воспользуемся выражением, связывающим диаметр и длину окружности (1).
Проведем эксперимент, в котором будем измерять диаметры и длины окружностей круглых предметов, найденных в быту. Представляет особый интерес вопрос о влиянии точности измерений на погрешность вычисления числа π. Для исследования указанной взаимосвязи подберем предметы разных размеров от нескольких десятков миллиметров в диаметре до нескольких сотен миллиметров. Контролировать погрешность вычислений 
можно следующим образом:
(2)
где π — истинное значение числа π, πэ — число π, полученное экспериментально.
Для испытания были подобраны предметы, перечисленные в таблице 1.
Таблица 1
Результаты вычислений числа π
|
№ |
Предмет |
Диаметр, мм |
Длина окружности, мм |
Число πэ |
Погрешность измерений |
|
1 |
Крышка от шампуня |
30,5 |
100 |
3,279 |
0,137 |
|
2 |
Баночка от фотопленки |
33 |
107 |
3,242 |
0,1 |
|
3 |
Чашка |
69 |
219 |
3,174 |
0,032 |
|
4 |
Стакан |
72 |
225 |
3,125 |
0,017 |
|
5 |
Крышка от майонеза |
125 |
395 |
3,16 |
0,018 |
|
6 |
Тарелка |
266 |
836 |
3,145 |
0,003 |
В таблице 1 приведены результаты измерений параметров круглых объектов и вычислений числа π для каждого варианта измерений. Из таблицы видно, что измерение малых объектов приводит к существенному росту погрешности вычислений. Это объясняется слишком малым размером объекта по сравнению с ценой деления измерительного инструмента.
На рисунке 1 показан график зависимости погрешности вычисления числа π от размера объекта измерения. График на рисунке 3 показывает быстрое падение погрешности измерения при не значительном увеличении размера объекта. Дальнейший рост размера измеряемого объекта приводит к медленному снижению погрешности. Можно сделать вывод о том, что дальнейшего повышения точности измерений можно добиться путем существенного увеличения размеров измеряемого объекта, что в домашних условиях сделать трудно. Тем не менее, данные в таблице 1 и на графике на рисунке 1 показывают, что в домашних условиях возможно вычислить число π с точностью, как минимум, до двух знаков после запятой, которой достаточно для школьных вычислений.
Рис. 1. Зависимость погрешности вычисления числа π от размера измеряемого объекта
Число π является одной из важнейших констант в математике. Изучение числа π математиками прошлого оказало огромное влияние на мировую науку. В данной работе доказано, что в домашних условиях не прибегая к сложным математическим расчетам можно вычислить число π с точностью, достаточной для школьной математики, а также показана зависимость точности вычислений от размеров измеряемого объекта.
Литература:
1. Шумихин С., Шумихина А. Число Пи. История длиною в 4000 лет. — М.: Эксмо, 2011. — 192 с.
- Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. — М.: Педагогика, 1985. — 352 с., ил.
3. Жуков А. В. Вездесущее число «Пи». — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 216 с.
