Введение
На глубине порядка 5-10 километров горные породы проявляют сложный комплекс физико-механических свойств [1]. В современной тектонике считается, что именно на таких глубинах зарождаются горные удары и землетрясения. Особую роль в распространении сейсмических воздействий от глубинных событий играют тектонические разломы – трещиноватые структуры, нарушающие сплошность горных массивов [2], [3]. В экспериментах по осевому сжатию микроразрушенной горной породы под высоким боковым давлением [4] установлен переход материала в запредельное состояние, отвечающее падающему участку диаграммы одностороннего сжатия (рис. 1).
Рис. 1. Диаграмма одноосного сжатия
Математическая модель
В соответствии со сложившимися модельными представлениями [5] глубинный геологический разлом рассматривается как узкая протяженная зона постоянной толщины 
, заполненная микроразрушенной горной породой, которая находится в равновесном состоянии под высоким гидростатическим давлением со стороны разделяемых этой зоной горных массивов (рис. 2). Дополнительное давление на берегах разлома 
, создаваемое проходящими через массивы упругими волнами, возбуждает волновое движение в разломе. Такое движение протекает в значительной степени независимо от процессов, происходящих в массивах, способствует высвобождению запасенной в массивах упругой энергии, и могут служить предвестниками крупных сейсмических событий.
Рис. 2. Схема нагружения
Пусть 
и 
– смещения в разломе в продольном и поперечном направлениях 
и 
, вызванные действием дополнительного давления в фоне сильного гидростатического сжатия. Основное предположение развиваемой математической модели состоит в том, что потенциал дополнительной упругой деформации горной породы в разломе задается выражением
,
в котором первое слагаемое описывает объемную деформацию среды с касательным модулем объемного сжатия 
, второе – разупрочнение материала при сдвиге с касательным модулем разупрочнения 
.
Для такого потенциала закон Гука приводится к определяющим уравнениям:
, 
, 
, 
. (1)
Отсюда может быть получено уравнение
,
связывающее дополнительное давление в направлении разлома с продольной деформацией, которое качественно согласуется с диаграммой на рис. 1. Интегрирование последнего уравнения (1) при отсутствии прогиба срединной линии разлома в предположении о постоянной продольной деформации по толщине приводит к следующему выражению для поперечного смещения
.
Таким образом кинетическая энергия участка разлома длины 
с учетом энергии поперечного движения вычисляется по формуле:
,
где 
– радиус инерции поперечного сечения. Точка над символом означает частную производную по времени.
Потенциальная энергия упругой деформации равна
.
В соответствии с принципом Гамильтона-Остроградского вариация функционала действия при фиксированных начальном и конечном состояниях механической системы равна нулю:
.
Здесь 
– виртуальная работа внешних сил, равная сумме работ дополнительного давления на берегах разлома и приращений давлений 
, 
в концах рассматриваемого участка:
Непосредственное вычисление вариаций приводит к промежуточному уравнению
из которого после применения формулы интегрирования по частям к интегралам, содержащим производную от 
по времени и по пространственной переменной, с учетом произвольности вариации внутри интервала 
и на его границах, вытекает уравнение движения
(2)
где
, 
, 
, 
и динамические граничные условия
.
Кинематические граничные условия для уравнения (1) ставятся обычным способом: задаются смещения в концах интервала 
, которые могут зависеть от времени. Начальные данные формулируются так же, как и для классического волнового уравнения:
Для анализа корректности задачи Коши в рамках полной модели построим частные решения однородного уравнения (2) вида 
. Подстановка приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка 
, оба решения которого 
оказываются ограниченными при 
, так как
.
Отсюда следует, что инерция поперечного движения является регуляризующим фактором в рассматриваемой математической модели.
Основной недостаток моделирования волновых процессов на основе уравнения (2) состоит в том, что оно не описывает диссипативных процессов. Такие процессы в грунтах и горных породах учитываются определяющими уравнениями вязкоупругой среды Кельвина-Фойхта. В соответствии с этой схемой нормальное напряжение 
в разломе разлагается в сумму двух слагаемых – упругого и вязкого. Для разупрочняющейся среды упругое напряжение находится по формуле 
. Вязкое напряжение удовлетворяет закону Стокса: 
, где 
– коэффициент вязкости. В терминах скоростей и напряжений полная система уравнений, учитывающая вязкие свойства среды, приводится к следующему виду:
, , 
. (3)
После очевидных преобразований система (3) приводится к уравнению:
, где 
.
Используя общее уравнение монохроматической волны 
, получим дисперсионное уравнение для (3) при 
:
, (4)
где 
. Из уравнения (4) можно определить зависимость фазовой скорости 
и декремент затухания волны 
от частоты 
:
На рис. 3 и 4 приведены соответствующие графики, при построении которых были взяты некоторые модельные константы упругости.
Рис. 3. Зависимость фазовой скорости от циклической частоты
Рис. 4. Зависимость декремента затухания от циклической частоты
График на рис. 3 показывает, что высокочастотные волны наряду с низкочастотными имеют высокую скорость распространения в разломе, которая может превышать скорость ударной волны в блоках в отличие от волн умеренной частоты, обладающих низкой скоростью. Из рассмотрения графика на рис. 4 следует, что высокочастотные волны быстро затухают по мере распространения вдоль слоя, а низкочастотные распространяются практически без затухания.
Заключение
В рамках предположения о закритическом деформировании микроразрушенного материала в глубинном тектоническом разломе, рассматриваемом как узкая протяженная зона, разделяющая массивные блоки горной породы, получено модельное уравнение для описания динамических процессов, обусловленных распространением упругих волн в блоках. Показано, что наряду с ограниченными решениями типа монохроматических волн, уравнение обладает экспоненциально растущими со временем решениями – прогрессирующими стоячими волнами, но это не приводит к некорректности постановки задачи Коши. На основе дисперсионного анализа показано, что в соответствии с данным уравнением низкочастотные возмущения в разломе распространяются с высокими скоростями, которые могут превосходить скорости волн в блоках, сохраняя неизменную амплитуду на больших временах пробега. Высокочастотные волны также движутся с большими скоростями, в отличие от волн средней частоты, скорости которых относительно невелики, но их амплитуды быстро затухают по мере продвижения вдоль разлома.
Автор выражает благодарность проф. Садовскому В.М. за постановку задачи и обсуждение результатов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 14-01-00130).
Литература:
1. Stavrogin A.N., Tarasov B.G. Experimental Physics and Rock Mechanics (Results of Laboratory Studies). India: Balkema, 2001. – 356 p.
2. Добрецов Н.Л., Кирдяшкин А.Г., Кирдяшкин А.А. Глубинная геодинамика. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, филиал «ГЕО», 2001. – 409 с.
3. Гольдин С.В. Дилатансия, переупаковка и землетрясения // Физика Земли, 2004. – № 10. – С. 37–54.
4. Tarasov B.G., Randolph M.F. Frictionless shear at great depth and other paradoxes of hard rocks. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Absir, 2008. – V. 45, No. 3. – P. 316–328.
5. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Евтушенко Е.П., Перышкин А.Ю. Модель землетрясения как сверхбыстрый катастрофический этап эволюции нагружаемой геосреды // Физическая мезомеханика, 2010. – Т. 13, спец. вып. – С. 29–35.
