Рассматривается модельный оператор 
, ассоциированный с системой трех частиц на решетке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Получен аналог уравнения Вайнберга для собственных функций оператора .
Ключевые слова: модельный оператор, нелокальный потенциал, уравнение Вайнберга, собственное значение и собственная функция, существенный спектр.
1. Введение. Исследование дискретных спектров операторов Шредингера является наиболее интенсивно изучаемым объектом в теории операторов. Одним из важных вопросов в спектральном анализе таких операторов является изучение конечности числа собственных значений, лежащих вне существенного спектра. Хорошо известно, что при некоторых естественных предположениях оператор Шредингера A системы трех попарно взаимодействующих частиц в непрерывном пространстве имеет существенный спектр, совпадающий с полуосью 
, где 
. В работах [1] и [2] доказано, что при 
и достаточно быстром убывании потенциалов взаимодействия в координатном представлении дискретный спектр оператора является конечным. Методика [1] основана на исследовании Фpедгольмовской системы уpавнений Фаддеева и Вайнбеpга, а в работе [2] применялись вариационные соображения.
Вопросу конечности дискретного спектра трехчастичного дискретного оператора Шредингера посвящены многие работы, например [3,4]. Отметим, что в работе [3] пользуясь уравнениями типа Фаддеева и Вайнберга, а также аналитическим продолжением определителя Фредгольма, доказана конечность дискретного спектра трехчастичного дискретного оператора Шредингера парными контактными взаимодействиями при отсутствии виртуальных уровней у операторов, описывающих двухчастичных подсистем.
В работе [5] рассматривается модельный оператор действующий в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых симметричных функций, определенных на 
. Этот модель ассоциирован с системой трех частиц на решетке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Там построен «симметризованный» вариант известного уравнения Вайнберга, с помощью которого доказывается конечность дискретного спектра оператора . Следует отметить, что этот метод используется даже в том случае, когда существенный спектр модельного оператора имеет лакуну. Тем самым оно является удобным методом доказательства конечности дискpетного спектpа.
В данной работе рассматривается несимметризованный аналог оператора изученный в работе [5] и строится соответствующие уравнение, представляющее собой аналог известного уравнения Вайнберга, для собственных функций. Здесь ядра нелокальных операторов взаимодействия имеют ранг 1 и роль двухчастичного дискретного оператора Шредингера играет модель Фридрихса. Напомним, что для периодического оператора нелокальные потенциалы представляют собой сумму локального потенциала и некоторого конечномерного оператора. Отметим, что для многочастичных гамильтонианов нелокальные потенциалы в импульсном представлении являются частично-интегральными операторами. При этом получено очень мало результатов для таких гамильтонианов в том случае, когда ядро частично-интегрального оператора является невырожденным. В настоящее время представляет интерес получение точных результатов хотя бы для частных случаев, т. е. для нелокальных потенциалов с вырожденными ядрами. Так как двухчастичные и трехчастичные уравнения Шредингера легко разрешимы для нелокальных взаимодействий, их часто используют в ядерной физике и в многочастичных проблемах. Они также используются систематически вместе с уравнениями Фаддеева и Вайнберга для систем трех частиц.
2. Модельный оператор. Через 
обозначим множества всех комплексных, вещественных, целых и натуральных чисел, соответственно. Пусть 
и 
— 
- мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе 
рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в 
по модулю 
. Например, если
,
то
.
Пусть 
— гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на 
, 
.
Рассмотрим модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве 
по формуле
,
где операторы 
определяются по правилам:
;
; 
.
Здесь 
, 
, 
вещественно-непрерывные функции на и 
, соответственно. Видно, что нелокальные операторы взаимодействия 
и 
являются частичными интегральными операторами с вырожденными ядрами ранга 1.
Можно легко проверить, что в этих предположениях модельный оператор является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .
Известно, что в импульсном представлении трехчастичный дискретный оператор Шредингера 
действует в гильбертовом пространстве . После выделения полного квазиимпульса системы 
оператор разлагается в прямой операторный интеграл (см. например [3, 4])
,
где ограниченный самосопряженный оператор 
, действует в гильбертовом пространстве 
(
- некоторое многообразие). Отметим, что модельный оператор обладает основными спектральными свойствами трехчастичного дискретного оператора Шредингера 
, см. например [6–8].
Учитывая выше сказанные факты оператора можно рассматривать как модельный оператор, ассоциированный системой трех частиц на решетке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов.
3. Уравнение Вайнберга для собственных функций. Пусть 
— множество комплексных чисел. Положим
, 
,
.
При каждом фиксированным 
определим регулярную в 
функцию
.
Обозначим через 
множество тех точек 
, для которых имеет место равенство 
хотя бы для одной и
.
Следующая теорема описывает местоположение существенного спектра модельного оператора .
Теорема 1. Для существенного спектра 
модельного оператора справедливо равенство 
.
Определение. Множества 
и 
называются, соответственно, «двухчастичной» и «трехчастичной» ветвями существенного спектра модельного оператора .
При каждом 
рассмотрим интегральный оператор 
действующий в пространстве 
с ядром
(
- переменное интегрирование).
Верна следующая теорема.
Теорема 2. Если 
– cобственная функция, соответствующая собственному значению оператора , то 
удовлетворяет уравнению 
обычно называемое уравнением Вайнберга.
Доказательство. Пусть собственное значение оператора и — соответствующая собственная функция. Тогда удовлетворяет уравнению
(1)
Так как 
, то из уравнения (1) для имеем
, (2)
где
. (3)
Подставляя выражение (2) для в равенств (3) и учитывая получим
, (4)
. (5)
Теперь в равенстве (2) вместо 
подставляя её выражение (4) и (5), затем пользуясь выражением (3) получим уравнение Вайнберга 
Теорема 2 доказана.
Отметим, что из положительности оператора 
вытекает, что оператор не имеет собственных значений на 
. Далее, если при некоторых предположениях оператор принадлежит классу Гильберта-Шмидта при 
и операторнозначная функция 
является непрерывным в равномерной операторной топологии в 
, то пользуясь теоремой 2 можно доказать [5] конечность дискретного спектра оператора , расположенного в 
.
Литература:
1. Д. Р. Яфаев. О конечности дискpетного спектpа тpехчастичного опеpатоpа Шpедингеpа // Теор. мат. физ., — 1975, — Т. 25, — № 2, — С. 185–195.
2. Г. М. Жислин. О конечности дискретного спектра операторов энергии квантовых систем многих частиц // ДАН СССР, — 1972, — Т. 207, — № 1, 25–28.
3. Ж. И. Абдуллаев, С. Н. Лакаев. Конечность дискретного спектра трехчастичного оператора Шредингера на решетке // Теор. мат. физ., — 1997, — Т. 111, — № 1, — С. 94–108.
4. С. Н. Лакаев, М. Э. Муминов. Существенный и дискретный спектр трехчастичного оператора Шредингера на решетке // Теор. мат. физ., — 2003, — Т. 135, — № 3, 478–503.
5. Т. Х. Расулов, Р. Т. Мухитдинов. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Известия вузов. Математика. — 2014, — № 1, С. 61–70.
6. S. Albeverio, S. N. Lakaev, R. Kh. Djumanova. The essential and discrete spectrum of a model operator associated to a system of three identical quantum particles // Rep. Math. Phys., — 2009, — V. 63, — no. 3, 359–380.
7. S. Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. On the number of eigenvalues of a model operator associated to a system of three-particles on a lattices. Russ. J. Math. Phys., — 2007, — V. 14, — no. 4, — P. 377–387.
8. Т. Х. Расулов. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теор. мат. физ., — 2010, -Т. 163, — № 1, 34–44.
