Проблемы решения математических задач занимали и занимают одно из важных мест в педагогике. Однако, следует учесть, что решение педагогических вопросов применения задач в обучении не будет полноценным без логико-психологического анализа структуры и типов тех задач, которые в этом обучении используются. Если мы пытаемся понять, как учащиеся решают задачу какого-либо вида, нам необходимо иметь хорошее представление о структуре решаемой ими задачи. Для выяснения сущности задач необходимо выявить те параметры, по которым они отличаются между собой. В качестве таких параметров мы рассмотрели логическую правильность постановки задачи и степень ее определяемости.
Задачу можно считать решённой тогда и только тогда, когда найденное решение: 1) безошибочно, 2) обосновано, 3) имеет исчерпывающий характер. Эти три требования являются совершенно категорическими: если не выполнено хотя бы одно из них, то решение или вовсе непригодно (если оно неверно), или неполноценно (если оно верно, но не обосновано, или верно и обосновано, но не полно). Кроме этих трёх обязательных требований, можно указать ещё следующие четыре необязательных, но весьма желательных: 4) решение должно быть по возможности простым, 5) оно должно быть надлежащим образом оформлено (запись решения), 6) желательно, чтобы был ясен путь, приводящий к решению, 7) иногда желательно обобщение решённой задачи.
Если математическая теория изучается без практики в решении задач, получаемое знание не действенно и не прочно. Но чтобы эта практика приносила всю ту пользу, какую она может и должна приносить, к решению задач надо предъявлять рассмотренные требования. Ученик, умело и привычно их соблюдающий, будет обладать не только некоторой суммой математических сведений, но и будет находиться на довольно высокой ступени математической культуры.
Исходя из выше перечисленных требований, в плане методики решения задач, выделяют четыре основных этапа:
1. Осмысление условия задачи.
2. Поиск пути решения задачи.
3. Осуществление найденного плана решения, оформление решения задачи.
4. «Взгляд назад» проверка решения.
Рассмотрим эти этапы:
1. Целью этого этапа является обучить учащихся действию выделения условия и заключения, отношения между объектами о которых речь идет в задаче. Этот этап наиболее важен в организации обучения задач. От того как ученики поймут условие задачи зависит поиск пути ее решения. Этот этап должен осуществляться со всем классом и заканчивается он краткой записью условия: в виде таблицы, схемы, чертежа и т. д.
2. Основной задачей учителя на этом этапе, не давая готовых решений, организовать целенаправленный поиск или используя, применяя синтетический или аналитический путь, а чаще всего используется аналитико-синтетический поиск. На этом этапе активизация мыслительной деятельности учащихся идет через систему подсказок, включающих вспомогательные задачи-вопросы, т. е. учитель придает нужное направление к поиску пути решения задачи. На этом этапе, особенно при поиске пути решения нестандартных задач, широко используется эвристические приемы, при этом учитель должен дать учащимся некоторые рекомендации для осуществления поиска решения задачи:
а) прочитав условие попытаться отнести задачу к уже известному виду задач;
б) попытаться из условия задачи получить все следствия и отобрать те из них, которые приблизят нас к требованиям задачи, т. е. ученик должен уметь организовывать различные пробные действия;
в) попытаться переформулировать условие или требования задачи на доступный язык и отобрать те понятия которые с ними связаны.
Исходя из этих рекомендаций на этапе поиска решения задач учитель должен обязательно учитывать уровень обученности и уровень обучаемости учащихся для того, чтобы осуществлять дифференцированный подход к решению задач.
3. Происходит практическая реализация найденного плана решения.
4. На этом этапе фиксируется конечный результат, проводится критический анализ и если нужно осуществляется проверка решения задачи.
Задача считается правильной, если она удовлетворяет указанным ниже пяти требованиям. При невыполнении хотя бы одного из них задача считается неправильной.
1. Все указанные в задаче элементы предметной области должны существовать.
Например, если в задаче по морфологии дается некоторое слово и требуется найти в нем корень, окончание и «промежуточные части», то такая задача неправильно поставлена, ибо никаких «промежуточных частей» слова морфология не знает. Точно так же неправильна такая задача: «Написать формулу натурального числа, которое при делении на 7 дает в остатке 10», ибо при делении на 7 остаток 10 не может получиться.
2. Все указанные в задаче отношения должны быть действительно определены для тех элементов предметной области, для которых эти отношения заданы в условии задачи.
Например, если в задаче дано несколько иррациональных чисел и ставится вопрос, какие из них четные, то такая задача является неправильной, ибо отношение «быть четным» не определено на множестве иррациональных чисел.
3. Область значений каждой из заданных в задаче переменных должна быть не пустой.
Задача: «Решить уравнение: 5—х + х—7 = 2» — неправильно поставлена, ибо область изменения переменной пустая (х>=7 и х<=5).
4. Все утверждения, заданные в условии задачи, должны быть истинными.
Например, задача: «Пешеход движется со скоростью 40 км/ч, за какое время он пройдет путь в 5 км туда и обратно?» — неправильно поставлена, ибо имеющееся в ней утверждение, что пешеход движется со скоростью 40 км/ч, ложно, т. к. человек не может идти с такой скоростью.
5. Если цель задачи состоит в превращении некоторой высказывательной формы в истинное высказывание, то в условии задачи должны быть указаны хотя бы некоторые основания для этого.
Или по-другому: все высказывания, установление истинности которых составляет требование задачи, должны содержаться в виде соответствующих высказывательных форм в условии задачи.
Приведем пример задачи, где нарушено это требование.
Задача: Сумма трех первых членов арифметической прогрессии равна 102, а сумма трех следующих членов равна 21. Чему равен объем пирамиды?
В этой задаче заданное высказывание: «Сумма трех первых членов арифметической прогрессии равна 102, а сумма трех следующих членов равна 21» — есть истинное высказывание; вопрос задачи: «Чему равен объем пирамиды?» — есть правильный вопрос (по определению Ю. А. Петрова). Поскольку любую задачу можно рассматривать как сложный вопрос, то, по Ю. А. Петрову, эта задача является правильным вопросом. Между тем очевидно, что назвать эту задачу правильной нельзя. Введение требования 5 позволяет отнести эту задачу к неправильным.
Конечно, всякая неправильная задача не имеет решения. Однако отсюда не следует, что эти задачи нельзя использовать в обучении. Разбор некоторых неправильных задач, установление их «неправильности», выяснение причин этого является весьма поучительным. Поэтому применение неправильных задач в обучении вполне допустимо, однако при этом предполагается, конечно, что учитель понимает характер и особенности предлагаемых задач.
Сформулированные выше требования к правильно поставленным задачам не являются общепринятыми. Они, конечно, нуждаются в детальном обсуждении, и возможно, что при этом будут предложены какие-то другие системы требований или уточнены указанные. Однако необходимость введения самого понятия правильно поставленных задач и, следовательно, какой-то системы требований, которым эти задачи должны удовлетворять, представляется нам бесспорной.
Литература:
1. Акимова И. В., Буркина В. А., Титова Е. И. Моделирование задач с аномальным условием и методика пути поиска их решения// Современные проблемы науки и образования. 2014. № 1. С. 74.
2. Буркина В. А., Титова Е. И. Методика работы с аномальными задачами// Молодой ученый. 2014. № 2 (61). С. 740–741.
3. Жидкова А. Е., Титова Е. И. Изучение школьной математики как пропедевтический курс ее обучения в техническом вузе// Современные проблемы науки и образования. 2013. № 6. С. 283.
4. Куимова Е. И., Куимова К. А., Титова Е. И. Функции задач в обучении математике// Молодой ученый. 2014. № 12 (71). С. 280–281.
5. Титова Е. И., Романкова А. А. Неопределенные задачи в школьном курсе математики// Вестник магистратуры. 2014. № 6–1 (33). С. 128–129.
6. Титова Е. И., Чапрасова А. В. Различные трактовки понятия «задача» и методика их решения// Молодой ученый. 2014. № 6 (65). С. 760–762.
