1. Определение и обозначения [1,2].
Интегральным называется уравнение, в котором неизвестная функция 
стоит под знаком интеграла. Одномерное нелинейное интегральное уравнение первого рода относительно неизвестной функции имеет вид:
, (1)
где ядро 
и правая часть 
-заданные функции.
Лучше всего изучены линейные интегральные уравнения (в дальнейшем обозначим для краткости ИУ), в которые неизвестные функция входит линейно:
, (2)
. (3)
Они называются интегральными уравнениями Фредгольма и Вольтерра. Если 
, то уравнения (2),(3) называются ИУ первого рода, если 
, то — второго рода. Общий случай называется ИУ третьего рода. Когда в (2),(3) 
задано как 
, то о них говорят об ИУ Фредгольма-Стильтеса или Вольтерра- Стилтьеса.
Не всегда можно точно решить уравнения (1)-(3). Поэтому, часто их решают приближённо. Разработано много приближённых методов решения интегральных уравнений и соответствующие программы [1–4].
В последнее время для решения задач вычислительной математики часто применяют математическую систему MathCAD [5–11]. В математической системе MathCAD, привлекательным является тот факт, что для решения математической задачи нужно записать алгоритм решения задачи в виде, которая почти точно совпадает с естественной математической записью алгоритма, и компьютерных программ не надо составлять. Результаты можно достаточно просто вывести в таблицы, графики, функции, что очень важно для наглядности решения.
В статье ИУ решены с помощью математической системы MathCAD. Применяются версии MathCAD 11 и 14. Естественно, возможностей больше у MathCAD 14, в нём, можно выдать на печать и аналитические формулы.
Для ИУ Вольтерра и Вольтерра-Стильтеса первого и второго рода рассмотрены методы квадратурных формул трапеций, итераций.
Для ИУ Фредгольма второго рода рассмотрены методы квадратурных формул трапеций, Симпсона, итераций, коллокации, Галёркина, наименьших квадратов, моментов.
2. Методы решения ИУ.
Основная идея приближённого решения ИУ состоит в следующем:
1) определение вида приближённого решения, например,
, где 
, 
-базисные функции;
2) формирование определяющую аппроксимирующую систему линейных алгебраических уравнений (для краткости обозначим СЛАУ) для коэффициентов приближённого решения, например, 
, где
-матрица, 
-вектор;
3) решение определяющую СЛАУ коэффициентов приближённого решения, например, 
или 
,где 
-внутренняя функция MathCAD, дающая решение СЛАУ ;
4) вычисление некоторых значений приближённого решения, например, 
и вывод результатов вычислений в графики и таблицы.
Отметим, что функция работает достаточно хорошо, что пока избавляет нас от алгоритмизации решения СЛАУ .
Приведём краткий обзор о методах решения ИУ.
А. Разностный метод или метод квадратурных формул.
Идея состоит в следующем:
На отрезке [a,b] вводится сетка точек
.
Значения точного 
и приближённого 
решения в сетке точек обозначим 
, 
, 
. Рассмотрим квадратурную формулу приближённого интегрирования с узлами 
и весами 
:
,
. (4)
Например, для квадратурных формул трапеций и Симпсона, если
принять 
, то имеет место:
1) 
,
,
2)
,
.
В уравнении (2) положим, 
и интеграл заменим формулой (4) и получим
.
Отбросим остаточный член и принимаем обозначение
.
Тогда получим СЛАУ для определения неизвестных коэффициентов приближённого решения:
. (5)
Если ввести обозначение
,
то систему (5) можно переписать в виде 
. Тогда при 
решение в MathCAD даётся формулой 
или 
.
Аналогично, для ИУ Вольтерра получим следующую аппроксимирующую СЛАУ:
. (6)
Приближённое решение можно записать в виде интерполяционной формулы
. (7)
Если 
, то система (6) решается очень просто:
. (8)
Другая формула, чем (8) для ИУ Вольтерра 2 рода получается следующим образом. В (6) потребуем, чтобы при интегрировании на отрезке 
квадратурная формула была польной, т. е. квадратурную формулу применить полностью на каждом отрезке и, чтобы была 
. Рассмотрим ИУ Вольтерра 2 рода:
.
Положим в нём последовательно 
:
.
Отсюда сразу получаем, что 
. Далее, к интегралу на отрезке применим метод трапеций:
.
В результате получаем последовательность формул:
. (9)
Для интегральных уравнений Фредгольма-Стильтеса и Вольтерра-Стильтеса можно поступить аналогично. Например, рассмотрим ИУ Вольтерра-Стильтеса второго рода
.
Для получения дискретного варианта задачи здесь применим метод трапеций следующим образом [12]:
,
где 
.
Отбросив малый остаток, и используя принятые обозначения имеем:
,
. (10)
В. Метод непрерывных итераций заключается в построении последовательности 
:
, (11)
. (12)
Если интегралы берутся с трудом, то можно использовать дискретный метод итераций, в котором интегралы вычисляются численно:
, 
.
Вычисления продолжают до тех пор пока не достигается заданная точность 
:
.
Сходимость итерационных процессов (11),(12) зависит от сжимаемости операторов в правой части (11),(12), в частности от свойств матриц правой части.
С. Замена ядра с вырожденным ядром.
Ядро 
называется вырожденным, если
. (13)
Подставляя (13) в (2) находим
, (14)
где
. (15)
Подставляя (14) в (15), для определения 
находим СЛАУ
, (16)
где
.
Способы замены произвольного ядра с вырожденным ядром приведены в [1,2]. В методе моментов к тому же результату можно прийти на основе идеи Галёркина:
.
Это даёт нам следующую СЛАУ 
,где
,
.
Д. Метод Галёркина, коллокации инаименьших квадратов.
Будем искать приближённое решение по формуле
, (17)
где 
полная на 
система функций. Разность
(18)
называется невязкой приближённого решения 
. В методах коллокации и Галёркина, наименьших квадратов неизвестные 
находятся из условия 1) коллокации 
; 2) ортогональности 
; 3) наименьших квадратов 
по 
.
Это приводить к СЛАУ
, (19)
где элементы системы определяются по функции 
следующим образом:
1)
.
2)
, (20)
3) 
.
3. Организация приближённого решения ИУ Вольтерра.
А. Метод квадратурных формул.
Пример1. Решить методом трапеций ИУ Вольтерра с компонентами
,a:=0,b:=1. (21)
В окне MathCAD введём следующие команды и получаем результаты:
Пример 2. Решить методом трапеций-Симпсона ИУ Вольтерра с компонентами
,a:=0,b:=1.
Здесь на отрезке 
применяется методы трапеций и Симпсона в зависимости от нечетности и четности индекса 
.
В окне MathCAD введём следующие команды и получаем результаты:
Здесь вывод переменных 
лишний раз произведён для контроля.
В. Метод итераций. Для ИУ построим последовательность итераций на основе метода трапеций:
. (22)
или на основе формулы Симпсона:
. (23)
Пример 3. Решить методом трапеций ИУ Вольтерра с компонентами:
. (24)
В окне MathCAD введём следующие команды и получаем результаты:
«метод трапеций
«метод итераций
Пример 4. Решить ИУ Вольтерра первого рода с компонентами:
В окне MathCAD введём следующие команды и получаем результаты:
Пример 5. Решить ИУ Вольтерра — Стильтеса [12]:
. (25)
Применяя квадратурную формулу трапеций, найдем алгоритм (10):
,
.
В окне MathCAD введём следующие команды и получаем результаты:
4. Организация приближённого решения ИУ Фредгольма 2 го рода.
А. Метод квадратурных формул.
Пример 6. Решить ИУ Фредгольма 2-го рода методом трапеций.
В окне MathCAD введём следующие команды и получаем результаты:
Пример 7. Решить ИУ Фредгольма 2-го рода методом Симпсона.
В окне MathCAD введём следующие команды и получаем результаты:
В.Метод итераций.
Пример 8. Решить ИУ Фредгольма 2-го рода методом итераций.
В окне MathCAD введём следующие команды и получаем результаты:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
6 |
0,612 |
0,921 |
1,199 |
1,421 |
1,563 |
1,612 |
1,563 |
1,421 |
1,199 |
0,921 |
|
7 |
0,622 |
0,931 |
1,209 |
1,431 |
1,573 |
1,622 |
1,573 |
1,431 |
1,209 |
0,931 |
|
8 |
0,622 |
0,935 |
1,214 |
1,435 |
1,577 |
1,626 |
1,577 |
1,435 |
1,214 |
0,935 |
|
9 |
0,629 |
0,938 |
1,217 |
1,438 |
1,58 |
1,629 |
1,58 |
1,438 |
1,217 |
0,938 |
|
10 |
0,63 |
0,939 |
1,218 |
1,439 |
1,581 |
1,63 |
1,581 |
1,439 |
1,218 |
… |
С. Замена ядра с вырожденным ядром или метод моментов.
Пример 9. Пусть дано ИУ
. (26)
Применим метод моментов с 
. Приближённое решение ищем в виде
.
В окне MathCAD наберём следующий алгоритм и получаем результат:
Д. Метод коллокации, Галёркина, наименьших квадратов.
Решить ИУ Фредгольма 2-го рода методом коллокации, Галёркина, наименьших квадратов. Приближённое решение ищем в виде (17) с 
В окне MathCAD наберём следующие алгоритмы и получаем результаты:
Пример 10. Решить ИУ Фредгольма 2-го рода методом коллокации.
Пример 11. Решить ИУ Фредгольма 2-го рода методом наименьших квадратов.
Пример 12. Решить ИУ Фредгольма 2-го рода методом Галёркина.
Примеры показывают удобство, наглядность, компактность, естественность записи команд MathCAD в математической нотации. В любом месте алгоритма (программы) можно вывести значение любого переменного на монитор для контроля, что позволяет во время исправить ошибки.
Литература:
1. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. «Наука думка», Киев, 1978.-292 с.
2. Сборник задач по математике. Ч.4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. Учебное пособие. Под ред. А. В. Ефимова. М.: Наука, 1990.-304 с.
3. Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ООО Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2005.-400 с.
4. Гринчишин Я. Т., Ефимов В. И., Ломакович А. Н. Алгоритмы и программы на Бейсике. М.: Просвещение,1988.-160 с.
5. Поршнев С. В., Беленкова И. В. Численные методы на базе MathCAD. СПб, 2005.-464 с.
6. Ракитин В. И. Руководство по ВМ и приложения MathCAD. М.:ФМ, 2005.-264 с.
7. Охорзин В. А. Прикладная математика в системе MathCAD. СПб, Лань,2008–352 с.
8. Тарасевич Ю. Ю. Численные методы на MathCAD’е. Астрахань, 2000.-70 с.
9. Имомов А. Организация численных методов в MathCAD. Молодой учёный, № 6(65), май 1, 2014 г.-с. 15–19.
10. Имомов А. Организация решения краевых задач для линейных ОДУ в MathCAD. Молодой учёный, № 8(67), июнь 1, 2014 г.-с. 1–5.
11. Имомов А. Решение краевой задачи для линейных ДУ в частных производных. Молодой учёный, № 8(67), июнь 1, 2014 г.-с. 6–12
12. Асанов А., Кадырова Г. Приближенное вычисление линейного интегрального уравнения Вольтерра-Стильтеса второго рода обобщенным методом трапеции. Молодой учёный, № 6(65), май 1, 2014 г.-с. 3–9.
