В статье представлены усовершенствованные варианты логарифмических методов решения некоторых видов дифференциальных уравнений.
Здесь и далее: 
, 
,
,
, 
,
— известные интегрируемые функции, 
— неизвестная функция, 
,
– вещественные постоянные, 
– константы интегрирования.
1. Интегрирование улучшенным вариантом логарифмического метода уравнений вида:
(1)
Улучшенный метод решения:
Полагая 
, и разделяя уравнение (1) на 
:
Далее действия очевидны:
(1.1)
Интегрируя:
Окончательно:
Вторым решением будет, очевидно:
1.1. Если 
, то уравнение (1) будет иметь вид
(2)
Метод интегрирования: так как, по предположению, 
, то и , и уравнение (2) может быть представлено в виде
Далее действия сходные с предыдущими:
, что равносильно 
, далее
(3)
В данном случае метод был показан только для целых чисел 
в уравнении (1), за исключением 
. Действия, подобные указанным, очевидно, применимы и к случаю, когда — любое вещественное число, не равное единице, если после шага (1.1) сразу дифференцировать первое слагаемое по правилу дифференцирования логарифма. Но это затем приведет к долгим и не интересным выкладкам. В 4-м пункте статьи будет показан менее громоздкий вариант метода, который устраняет лишние действия.
2. Улучшенный метод интегрирования уравнения вида:
Ход метода:
Интегрируя: 
Окончательно: 
3. Уравнения вида:
Метод интегрирования: в этом случае допустимо подставить 
, тогда уравнение будет иметь вид:
Далее действия очевидны:
Подстановка 
приводит последнее уравнение к уравнению вида (1) [при 
, 
, 
], и его решение по соответствующей формуле будет:
,
возвращаясь к подстановке:
, где 
4. Частные случаи хода логарифмического метода:
4.1. Решая аналогично уравнение (2), придем (при ) к уравнению
Оно будет равносильно уравнению: 
Его можно представить в виде:
В свою очередь, 
,
Тогда, если 
, то 
.
Если 
, то 
,
так как 
— однозначная комплексная постоянная, а значит допустимо дифференцирование по комплексной функции, а дифференциал от комплексной постоянной равен нулю. Исходя из этого, во всех вариантах логарифмического метода решения дифференциальных уравнений, выражение 
может быть в данных случаях всегда заменено выражением 
, и наоборот. На результат это не повлияет. Аналогично обстоит дело и с 
, которое при дифференцировании, так же как и , тоже обращается в 
. Исходя из этого, полученное уравнение может быть заменено равносильным ему 
, где 
, в зависимости от того, предположено ли 
, или 
соответственно. Далее, по формуле сложения производных: 
, или
, где 
Далее действия очевидны:
,
4.2. Так как , то первый метод решения уравнений вида , где — будет теперь любое вещественное число, удовлетворяющее условию 
, может быть заменен более облегченным;
Полагая , и разделяя уравнение на :
Интегрируя:
Окончательно:
В только что описанном варианте метода уже нет лишних элементарных преобразований, которые нисколько не интересны и лишь увеличивают количество действий.
4.3. Аналогичным пошаговым упрощенным методом для уравнений вида 
будет (полагая ) следующий:
4.4. Уравнение
(4)
тоже может быть решено логарифмическим методом, если избавится от модуля под знаком дифференциала логарифма. Если 
, то исходное уравнение будет равносильно 
; затем пошаговыми действиями выводится конечное решение: 
, 
, после чего допустима подстановка 
.
Окончательное решение: 
, а также . Подстановка 
дает то же решение.
Общим видом уравнения (4) является:
(5)
Метод решения:
, где 
,
а решением последнего уравнения служит формула (3).
Выбор же 
, или в качестве первого слагаемого в первом шаге решения уравнений (4), или (5), снова приводит ко многим лишним действиям.
Литература:
1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Изд-во: Физматгиз, 1959 г.
2. Пономаренко А. Н. Логарифмический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Журнал «Молодой ученый» (№ 7 (54), июль 2013 г.), с. 3–5.
