Рассмотрим плоскую динамическую задачу теории упругости в области, представляющей собой плоскость с разрезом -а≤x≤a, y=0 (рис. 1)

Рис. 1

Этот разрез является математической идеализацией трещины, которая, как предполагается, имеет бесконечные размеры в направлении, перпендикулярном плоскости хоу. Тело будем предполагать однородным и изотропным, Вектор смещения удовлетворяет системе уравнений Ляме

(1)

а также соответствующим начальным и граничном условиям. Граничные условия состоят в равенстве нулю напряжений и на краях трещины и условий на бесконечности. Вместо неизвестных функций u ₁ (x,y,t), u ₂ (x,y,t) удобно ввести потенциалы φ(xy,t) и ψ (x,y,t), полагая

(2)

где -орт оси, перпендикулярной к плоскости. XOY.

В силу (1) они будут удовлетворять волновым уравнениям

Здесь c ₁ и c ₂ — скорости распространения, воли расширения-сжатия и сдвига.

В дальнейшем мы будем рассматривать только установившиеся колебания тела с частотой , совпадающей с несущей частотой падающей монохроматической волны, которая вызывает эти движения.

Тогда искомые потенциалы и могут быть предоставлены в виде

, (3)

Где (х,у), (х,у) — комплекснозначные неизвестные функции. Они удовлетворяют уравнениям Гельмгольца

(4)

Здесь , представляют собой волновые числа:

. (5)

Падающую волну мы будем предполагать плоской распространяющейся под угом к оси ОХ. Если эта волна является волной расширения-сжатия, то ее потенциал могут быть представлены в виде (6):

(6)

Здесь

где

В случая падающей волны сдвига аналогично имеем

, (8)

где

Функции , являются решением уравнениям (4). Представим искомые функции , в виде суммы:

где функции — аналогии функций для отраженных волн.

Введём некоторые комплексные функции , которые связаны с напряжениями соотношением:

В нашем случае связаны с функциями и формулами:

Пользуясь этими формулами, можно найти величины , соответствующие, напряжениям, возникающим при распространении, падающей волны. В случае волны расширения — сжатия:

Для волны сдвига:

Равенство нулю нормального напряжения на краях трещины запишем в виде:

В итоге для неизвестных функций и получим краевую задачу:

Кроме того должны выполняться условия излучения для при , что обеспечивает единственность решения краевой задали.

Рассмотрим две вспомогательные задачи.

Задача А:

Задача B:

Через обозначим чётное по у продолжение функций на нижнюю полуплоскость, через — аналогичное нечетное продолжения функций .

Тогда функции

удовлетворяют краевой задаче (14). Таким образом, решение краевой задачи (14) на всей плоскости свелось к решению задач А и В на верхней полуплоскости.

Литература:

1. Викторов И. А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. — М.: Наука, 1966 г.
2. Ляв А. Математическая теория упругости. — М.: Л: ОНТИ, 1935 г.
3. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. -М.: Физматгиз, 1963 г.