На сегодняшний день перед выпускниками школ стоит главная задача – это успешная сдача итоговой аттестации, ЕНТ и поступление в ВУЗ. В числе обязательных предметов при сдаче государственного экзамена стоит математика. Математика – точная наука, она требует усердия, внимательности и сообразительности. Формулы, теоремы, доказательства и многое другое, должен знать и помнить ученик. Выучить это все не так-то просто, необходимо также уметь применять свои знания. Я выяснила, что в предложенном национальным центром тестирования пособие по предмету «математика» содержится около 25% заданий, решаемых с помощью квадратного уравнения или сводимых к нему. А это значит, что эффективное и удобное использование метода «переброски» поможет значительно сократить время при решении тестирования. Но чаще всего ученик использует формулу дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения. Но зачем идти трудным путем, когда есть легкое решение?! Необходимо рассмотреть метод «переброски», который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы обратной теореме Виета.
Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:
1)умножаем обе части на выражение:
2)вводим новую переменную y=ax:
.
Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений 
и 
.
Применение метода «переброски» при решении квадратных уравнений или уравнений сводящихся к ним.
Пример1:Решить уравнение 3х2 + 10x + 7 = 0.
Решение.
Найдем дискриминант по формуле:
D = b2 – 4ac
D = 100 – 4 * 3 * 7= 16
Найдем корни квадратного уравнения по формуле:
х1,2 = (-b ± √D) / 2a
x1,2 = (-10 ± √16) / 2*3; x1= -7/3; x2 = -1;
Выполним «переброску» и решим это же уравнение с помощью теоремы обратной теореме Виета:
y2 + 10y + 3 · 7 = 0;
y2 + 10y + 21 = 0.
По теореме обратной теореме Виета:
у1+у2 = -10;
у1*y2 = 21.
у1 = -7; y2 = -3;
Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 3. Получим:
х1 = -7/3; x2 = -3/3.
После сокращения будем иметь x1 = -7/3; x2 = -1.
Ответ: -7/3; -1.
Пример 2: Решить уравнение √3x2 – 5x – √12 = 0.
Решение.
По методу «переброски» будем работать не с исходным, а с новым квадратным уравнением:
у2 – 5y – √12 · √3 = 0;
y2 – 5y – 6 = 0.
Находим числа, сумма которых равна 5, а произведение равно -6.
у1+у2 = 5;
у1*y2 = -6.
у1=6; y2=-1
Тогда исходное уравнение будет иметь корни:
х1= 6/√3; x2 = -1/√3.
В знаменателе уберем иррациональность. Получим:
x1 = 2√3; x2 = -√3/3.
Ответ: 2√3; -√3/3.
Пример 3: Решите квадратное неравенство: 5x2 – 11x +2 › 0
Решение:
Рассмотрим функцию y=5x2 – 11x +2. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Выясним, как расположена эта парабола относительно оси x. Для этого решим уравнение 5x2 – 11x +2 =0.
Применим метод «переброски».
y2 - 11y + 10 =0
y1 = 10; y2 = 1;
Получим:
x1 = 10/5 =2; x2 = 1/5 = 0,2.
Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны 2 и 0,2.
Покажем схематически, как расположена парабола на числовой прямой
+ - +
0,2 2 x
Ответ: (-∞; 0,2) ᵁ (2; +∞).
Пример 4: Решить тригонометрическое уравнение 3sin2x – 7sinx + 4 = 0.
Решение:
3sin2x – 7sinx + 4 = 0
Введем замену.
sinx = t
3t2 – 7t + 4= 0
Применим метод «переброски».
y2 - 7y+ 12 =0
y1=4; y2= 3;
t1 = 4/3; t2 =1;
1) sinx= 4/3;
нет решения, т.к. sinxне принадлежит отрезку [-1;1]
2) sinx=1;
x= π/2 + 2πn; nϵz.
Ответ: x= π/2 + 2πn; n ϵ z
Пример 5: Решить уравнение 4271x2 – 4272x + 1 = 0.
Решение.
По рассматриваемому методу нам необходимо найти числа, сумма которых равна 4272, а произведение 4271 (после «переброски» свободный член равен 1 · 4271 = 4271). Это будут числа 4271 и 1. Тогда получим:
x1 = 4271/4271; x2 = 1/4271.
А после сокращения будем иметь корни x1 = 1; x2 = 1/4271.
Ответ: 1; 1/4271.
Пример 6: Решить уравнение 5sin2x – 8sinxcosx + 3cos2x = 0.
Данное уравнение является однородным, разделим всё уравнение на cos2x (cos2x≠0).
Получим уравнение:
5tg2x – 8tgx + 3 = 0
Заменяем tgx на tи получаем уравнение:
5t2 – 8t + 3 = 0
Применим метод «переброски»:
у2 – 8у+ 15 = 0
Найдем корни квадратного уравнения:
у1= 3; у2=5.
Следовательно,t1= 3/5; t2=5/5=1.
Вернемся к постановке
1) tgx=3/5;
x = arctg3/5 + πn; n ϵ z.
2) tgx=1;
x = π/4 + πn; n ϵ z.
Ответ: x = arctg3/5 + πn; n ϵ z,
x = π/4 + πn; nϵz.
Пример 7: Дана функция y = 2x2-3x+1. Найдите:
a) нули функции;
b) промежутки в которых y>0, y<0.
Чтобы найти нули функции, приравняем данный квадратный трехчлен к нулю и найдем его корни.
2x2-3x+1=0
Применим метод «переброски»:
у2-3у + 2 =0
у1= 2; у2=1, тогда
х1 =2/2=1; х2 =1/2 = 0,5.
Нули функции: х1=1; х2 = 0,5.
Старший коэффициент функции равен 2, а>0, ветви параболы направлены вверх, следовательно, y>0 при хϵ (-∞; 0,5)ᵁ(1; +∞),
y<0 при хϵ (0,5; 1)
Рассмотренный метод «переброски» очень эффективен при решении задач и уравнений, он позволяет устно решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений, а не тратить время на вычисление дискриминанта.
Но следует отметить, что этот метод легко применять тем ученикам, которые быстро справляются с решением приведенных уравнений с применением теоремы обратной теореме Виета.
Литература:
- «Алгебра» 8 класс – А. Абылкасымова, 2008г. (стр.39-50)
- www.tutoronline.ru
- «Алгебра» 9 класс Ю. Макарычев, Н. Миндюк, 1990г. (стр. 39-40)
- «Алгебра» 8 класс А.Н. Шыныбеков, 2004г. (стр. 83-85)
