Новый мир имеет новые условия и требует новых действий.
Н. Рерих
Термин «задача» включает в себя довольно широкий круг понятий. Когда мы говорим о задаче, то в большинстве случаев подразумеваем, что речь идет о текстовой задаче. Но на самом деле любое задание типа: «Вычислите», «Упростите», «Решите уравнение " также является задачей. Во всех заданиях такого типа есть вопрос, на который мы отвечаем в процессе решения. Задания типа «Докажите что»... также относятся к математическим задачам, однако, как известно, доказывать приходится не только в математике, но и во многих областях человеческой деятельности.
«ЗАДАЧА — один из методов обучения, проверки знаний и практических навыков учащихся, применяемых в начальной, средней и высшей школе».
«ЗАДАЧА представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, учитывая и опираясь на те условия, которые указаны в задаче».
Фридман Л. М
Другими словами, задача — это проблема, которую необходимо разрешить.
Задача может быть сложной или простой. В первом случае найти ее решение трудно, во втором — легкоТрудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи. Задача является надежным средством контроля и проверки глубины и прочности знаний учеников и их осмысленности, умения применять полученные знания на практике.
Процесс решения задач тесно связан с мышлением: «Решение задачи осуществляется только с помощью мышления и никак иначе не осуществимо. Но мышление совершается не только в связи с решением задачи».
Традиционные функции решения задач:
1. Для формирования у учащихся нужной мотивации их учебной деятельности, интереса и склонности к этой деятельности.
Прежде чем приступить к изучению какой-либо новой темы, учитель обычно дает учащимся какую-то интересную задачу, для решения которой и нужно изучить предстоящую тему, овладеть новыми знаниями. Тем самым, у учащихся возникает значимый учебно-познавательный мотив — изучить новый учебный материал, овладеть новыми теоретическими знаниями, чтобы уметь решать подобные задачи.
При решении достаточно большого числа задач, если только методика решения разумная, психологически обоснованная, у учащихся постепенно формируется стойкий интерес, а затем и склонность к решению задач как к особой деятельности.
2. Для иллюстрации и конкретизации изучаемого учебного материала.
Сущность той или иной теоремы, формулы нельзя проиллюстрировать, не показав применение их для решения каких-либо задач. Поэтому знакомство учащихся с теоретическим материалом всегда сопровождается решением соответствующих задач, в процессе которого учащиеся более наглядно и конкретно осознают сущность этого материала.
3. Для формирования у учащихся определенных умений и навыков (счета, измерения, преобразования различных выражений, вычислений).
4. Для контроля и оценки учебной работы учащихся (как наиболее адекватное и удобное средство для контроля и оценки учебной работы учащихся).
Решение специально подобранных задач, характер их решения и ошибки, которые допускают учащиеся в решении, четко и правильно показывают уровень усвоения и овладения учащимися изученным учебным материалом. Устный опрос, ответы учащихся на теоретические вопросы показывают лишь, что и как запомнили учащиеся. А вот самостоятельное решение ими тех или иных задач наглядно показывает, как учащиеся усвоили, а не просто запомнили изученные понятия, теоремы, формулы.
5. Для приобретения учащимися новых знаний.
Вместо того чтобы излагать ту или иную теорему, выводить формулу, можно предложить учащимся самостоятельно решить соответствующую задачу на доказательство, на вывод формулы, установление некоторой закономерности. Предполагается, что учащиеся подготовлены для такой самостоятельной работы. Многие теоремы и формулы можно и нужно изучать именно в процессе решения задач. Ведь всякая задача на доказательство, в некотором роде, есть некоторая теорема, доказательство которой должен найти сам ученик.
Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения. Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач, т. е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.
Но многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным задачам, алгоритм решения которых либо неизвестен, либо не существует.
Что же мы имеем теперь?
С 5-го по 11-й класс ученики решают более 7000 задач, и во многом от их особенностей (сложности, многогранности, сюжетной формы, последовательности и др.) и зависит, насколько успешным будет процесс обучения математике. Но на практике получается, что чаще всего процесс решения задач на уроке обладает некоторой рутинностью и оставляет ученику мало возможностей для творчества. Почему?
Анализ школьных учебников математики показывает, что они содержат вроде бы достаточное количество задач, из которых можно составлять наборы задач, ориентированные на разные классы и на разных учащихся.
Но:
1) математические задачи, содержащиеся в основных разделах школьных учебников, как правило, ограничены одной темой. Их решение требует от учащихся знаний, умений и навыков по какому-нибудь одному вопросу программного материала и не предусматривает широких связей между различными разделами школьного курса математики. Функция таких задач — иллюстрация изучаемого теоретического материала, разъяснение его смысла. Поэтому учащимся нетрудно найти метод решения данной задачи. Этот метод иногда подсказывается названием раздела учебника или задачника, темой, изучаемой на уроке, указаниями учителя и т. д. Самостоятельный поиск метода решения учеником здесь минимален. Сам процесс решения задачи становится, таким образом, рутинным и оставляет школьнику мало возможностей для творчества.
2) В подавляющем большинстве учебников и дидактических пособий для средней школы практически отсутствуют задачи, которые способствовали бы подготовке учеников к деятельности творческого характера (в различных областях) и формированию у них соответствующих интеллектуальных умений.
3) С точки зрения организации деятельности учащихся, развивающие учебники математики для начальной школы и учебники математики для 5–6 классов моделируют учебные процессы разного характера.
Анализ учебников математики системы развивающего обучения для начальных классов показывает, что все они в той или иной мере сориентированы на развитие познавательной активности учащихся и их творческого потенциала, на формирование учебной деятельности и таких качеств мышления, как гибкость и критичность. Об этом свидетельствует вариативность учебных заданий, выполнение которых предполагает наблюдение, анализ, обобщение, выявление разнообразных зависимостей и закономерностей, установление соответствия между предметными, вербальными, схематическими и символическими моделями.
Но перечисленные направления не получают должного логического продолжения в учебниках математики для 5–6 классов, используемых в массовой практике, в которых объяснительные тексты, содержащие примеры-образцы и система репродуктивных упражнений на закрепление новых знаний ориентируют учителя на информационно-сообщающий и объяснительный методы преподавания, а ученика — на исполнительский и репродуктивный методы учения.
Рассмотрим, к примеру, формулировки заданий в учебнике Н. Я. Виленкина: выполни действия, реши уравнения, вычисли, упрости.
|
Учебник |
Характеристика учебника |
|
Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд «Математика 5» |
Текстовые задачи встречаются почти в каждом пункте учебника, но среди них нет ни одной логической задачи. |
Все задачи, содержащиеся в учебнике внутри одной темы, классифицированы по степени сложности и расположены, как правило, в порядке её возрастания.
Но одна из классификаций почти не находит отражения в действующих учебниках. Речь идёт о классификации по характеру условия задачи — определённые, неопределённые и переопределённые. Школьникам преимущественно предлагаются задачи определённые, т. е. задачи, содержащие в условии ровно столько данных, сколько их требуется для получения ответа, не больше и не меньше. Но почему не больше и не меньше?
И чемумогут научить задачи с «аномальным»- нестандартным условием?
Нестандартные задачи — задачи с «аномальным» условием:
1. Неопределённые задачи — задачи с неполным условием, в котором для получения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или каких–то указаний на свойства объекта или его связи с другими объектами.
Примеры:
1. В треугольнике одна сторона имеет длину 10 см, а другая 8 см. Найти длину третьей стороны.
Задача 1 не может иметь решения, потому что в ней не хватает данных.
Но, если вспомнить неравенство треугольника и записать его для данного треугольника, обозначив неизвестную сторону через а, получим:
10 + 8 > a;
a + 10 > 8;
a + 8 > 10;
а из этой системы следует, что
2 < a < 18.
Таким образом, удалось уточнить ответ с фразы «задачу невозможно решить» до вполне определённого интервала, что следует признать ответом более высокого уровня.
Такое решение требует более высокого уровня умственной деятельности, чем примитивное «Задача не имеет решения, потому что данных не хватает».
2. Задача про автобус.
Куда едет автобус?
Чтобы ответить на вопрос этой задачи нужно:
- уточнить, в какой стране происходит действие (левостороннее, правостороннее движение);
- вспомнить, что у автобуса есть двери (причем двери находятся слева (либо справа), если стоять лицом по направлению движения).
Значит, автобус едет справа налево, если движение — правостороннее; едет слева направо — если левостороннее.
Вывод: решение неопределённой задачи обычно заканчивается неопределённым ответом, в котором искомая величина может принимать значения из некоего числового множества. Выявление этого множества и должно стать целью решения такой задачи, что достигается вдумчивым анализом текста задачи и взаимосвязей между данными величинами.
Задачи этого типа требуют от ученика мобилизации практически всего набора знаний, умения анализировать условие, строить математическую модель решения, находить данные к задаче «между строк» условия. Практически, одной специально подобранной задачей этого типа можно проверить знания ученика по целой теме.
(Результаты с точки зрения формирования личностных УУД: проявление внимания, удивления, желания больше узнать; оценивание своих достижений, самостоятельности, причины неудач; регулятивные УУД: оценивание весомости приводимых доказательств и рассуждений (убедительно, ложно, истинно, существенно, не существенно); корректирование деятельности внесение изменения в процесс с учетом возникших трудностей и ошибок; познавательные УУД: осуществление итоговый контроля; выполнение учебных задач, не имеющие однозначного решения; коммуникативные УУД).
2. Задачи переопределённые — задачи с избыточным составом условия, с лишними данными, без которых ответ может быть получен, но которые в той или иной мере маскируют путь решения.
Данные в таких задачах могут быть противоречивыми и выявление этой противоречивости или непротиворечивости является обязательным элементом решения такой задачи.
Пример:
«Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 40 см и гипотенузой 41 см».
Мало найти ответ, как половину произведения 9 на 40. Надо ещё выявить, будет ли у прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 40 см гипотенуза равной 41 см. Без этого выяснения решение задачи не может быть признано полным.
Задачи этого типа требуют от ученика умения анализировать условие, находить в нём нужные данные и отбрасывать ненужные.
3. Нереальные (или противоречивые) задачи.
Пример: Найти площадь треугольника со сторонами 10 см, 19 см и 8 см.
Не имеет решения. Достаточно проверить условие на противоречивость при помощи неравенства треугольника и убедиться, что задача не может иметь решения.
Некоторые из задач этого типа позволяют выявить противоречие данных еще при анализе условия, в результате чего процесс решения становится излишним. Достаточно частое повторение таких ситуаций приведёт учащихся к необходимости анализировать условие перед началом решения, чтобы избавить себя от лишней работы.
Итак, каждый из указанных типов задач несёт в себе определённую развивающую функцию:
- переопределённые задачи требуют умения анализировать условие и строить решение задачи при помощи минимального числа данных;
- противоречивые задачи заставляют делать проверку решения, более внимательно анализировать данные задачи;
- неопределённые задачи требуют достаточно обширных знаний об объекте задачи, о связях его с другими математическими объектами, которые могут оказаться полезными при получении пусть неопределённого, но всё же ограниченного некими рамками ответа.
В школе невозможно, да и не нужно, рассматривать все виды и алгоритмы решения математических задач. Сколько бы задач ни решали в школе, всё равно учащиеся в своем будущем встретятся с новыми видами задач. Общий подход к решению любых математических задач — это и есть, по сути дела, модель разумного подхода к решению любых бытовых, практических, научных, технических и иных задач, которые будут повседневно встречаться человеку в его деятельности на протяжении всей его жизни.
Поэтому школа должна вооружить учащихся общим подходом к решению любых задач; не просто «снабдить» учащихся багажом знаний, а активно включить их в творческую, исследовательскую деятельность (сформировать УУД). И именно нестандартные задачи по математике сегодня могут сыграть роль средства формирования универсальных учебных действий учащегося.
