Развитие логического мышления посредством решения нестандартных задач

«Век живи — век учись» — гласит народная мудрость. Но школа должна не только формировать у учащихся прочную основу знаний, умений и навыков, но и максимально развивать их умственную активность: учить мыслить, самостоятельно обновлять и пополнять знания, сознательно использовать их при решение теоретических и практических задач.

Логическое мышление характеризуется обычно умением выводить следствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, умением теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы и т. п. Все выше перечисленные умения необходимы не только школьнику, но и взрослому человеку в его профессиональной, бытовой и других видах деятельности. Поэтому развитие логического мышления — важная задача современной школы.

Математика является одной из самых теоретических наук изучаемых в школе, именно этим определяется ее исключительная роль в развитии логического мышления. Развивать его нужно как можно раньше на различном материале.

Актуальность данной темы определяется следующими обстоятельствами. Никто не будет спорить с тем, что каждый учитель должен развивать логическое мышление учащихся. Об этом говорится в методической литературе, в объяснительных записках к учебным программам. Однако, как это делать учитель не всегда знает. Нередко это приводит к тому, что развитие логического мышления в значительной мере идет стихийно, поэтому большинство учащихся не овладевает начальными приемами логического мышления (анализ, сравнение, синтез, абстрагирование и др.). Роль математики в развитии логического мышления исключительно велика, но, к сожалению, не все ее любят. Поэтому задача учителя не только подобрать соответствующий материал, но и сделать процесс его изучения интересным школьнику.

В школьных учебниках математики (и не только ныне действующих) мало задач, с помощью которых можно показать учащимся роль наблюдения, аналогии, индукции, эксперимента.

Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов и других нестандартных задач. Какая задача называется нестандартной?

Прежде всего, отметим, что научить учащихся решать задачи (в том числе и нестандартные) можно только в том случае, если у учащихся будет желание их решать, то есть если задачи будут содержательными и интересными с точки зрения ученика. Поэтому проблема первостепенной важности, стоящая перед учителем, — вызвать у учащихся интерес к решению той или иной задачи. Необходимо тщательно отбирать интересные задачи и делать их привлекательными для учащихся. Как это сделать — решать самому учителю. Наибольший интерес вызывают у учащихся задачи, взятые из окружающей их жизни, задачи, естественным образом связанные со знакомыми учащимся вещами, опытом, служащие понятной ученику цели.

Решение нестандартной задачи — очень сложный процесс, для успешного осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться. Необходимо также хорошее знание фактического материала, владение общими подходами к решению задач, опыт в решении нестандартных задач.

В процессе решения каждой задачи и ученику, решающему задачу, и учителю, обучающему решению задач, целесообразно четко разделять четыре ступени: 1) изучение условия задачи; 2) поиск плана решения и его составление; 3) осуществление плана, то есть оформление найденного решения; 4) изучение полученного решения — критический анализ результата

Даже при решении несложной задачи учащиеся много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задач, учитель должен уметь поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений, направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач.

Хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи. Умение подбирать вспомогательные задачи свидетельствует о том, что учащийся уже владеет определенным запасом различных приемов решения задач. Если этот запас не велик (что вполне очевидно для учащихся VII—VIII классов), то учитель, видя затруднения учащегося, должен сам предложить вспомогательные задачи. Умело поставленные вспомогательные вопросы, вспомогательная задача или система вспомогательных задач помогут понять идею решения. Необходимо стремиться к тому, чтобы учащийся испытал радость от решения трудной для него задачи, полученного с помощью вспомогательных задач или наводящих вопросов, предложенных учителем.

Так, когда учащиеся затруднялись решить с помощью составления уравнения задачу “К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число в 23 раза большее первоначального. Найдите это двузначное число”, то в качестве вспомогательных задач мы предлагали следующие:

К числу х приписали справа цифру 4. Представьте полученное число в виде суммы, если х: а) двузначное число; б) трехзначное число.

К числу у приписали слева цифру 5. Представьте полученное число в виде суммы, если у: а) двузначное число; б) трехзначное число.

Конечно, думающий ученик задастся вопросом: как самому, без помощи учителя, находить вспомогательные задачи?

Безусловно, учащихся следует приучать самим составлять вспомогательные задачи, или упрощать условия предложенных задач так, чтобы без помощи учителя найти способы их решения.

Умение находить вспомогательные задачи, как и вообще умение решать задачи, приобретается практикой. Предлагая учащимся задачу, следует посоветовать выяснить, нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным решением или с задачей, решающейся проще.

Для приобретения навыков решения довольно сложных задач нужно приучать школьников больше внимания уделять изучению полученного решения. Для этого мы предлагали учащимся видоизменять условия задачи, чтобы закрепить способ ее решения, придумывать задачи аналогичные решенным, более или менее трудные, с использованием, найденного при решении основной задачи способа решения.

Общеизвестна роль, которая отводится индукции и наблюдениям при обучении математике учащихся. Позднее индуктивный метод уступает место дедуктивному. При этом часто индуктивный способ решения задачи не проводится, решение выполняется дедуктивным способом. В результате от учащихся ускользают пути поиска решения задачи, что отрицательно сказывается на математическом развитии.

А между тем учитель должен знать, и по возможности довести до сознания учащихся тот факт, что математика является экспериментальной, индуктивной наукой, что наблюдение и индукция играли и играют большую роль при открытии многих математических фактов. Еще Л. Эйлер писал, что свойства чисел, известные сегодня, по большей части были открыты путем наблюдения и открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена строгими доказательствами.

Поэтому при обучении математике (да и другим предметам) надо учить школьников наблюдениям, прививать им навыки исследовательской творческой работы, которые могут пригодиться в дальнейшем, какой бы вид деятельности они не избрали после окончания школы. Подчеркивая роль дедуктивных доказательств (доказательств в общем виде), учитель должен обратить внимание учащихся на роль наблюдений и неполной индукции при “открытии” математических закономерностей, при нахождении способа решения самых разнообразных математических задач, на роль полной индукции при обосновании найденных индуктивным путем закономерностей.

Поясним сказанное примерами. Рассмотрим задачу:

“Может ли: а) сумма пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом; б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?”

Прежде, чем решать эту задачу в общем виде, целесообразно на нескольких частных примерах выяснить, каким числом (простым или составным) могут быть указанные в задаче суммы. С помощью примеров можно получить гипотезы: а) сумма пяти последовательных натуральных чисел — число составное; б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел — число составное.

Полученные на примерах (с помощью неполной индукции) гипотезы легко доказываются в общем виде.

Другая задача: “Может ли разность двух трехзначных чисел, из которых второе записано теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, быть квадратом натурального числа?”

На занятиях, прежде чем решать эту задачу в общем виде, учащийся должен был на частных примерах, с помощью неполной индукции, получить предполагаемый ответ (высказать гипотезу): рассматриваемая разность не может быть равна квадрату какого-либо натурального числа. Дедуктивное обоснование этой гипотезы, как правило, не вызывает у учащихся затруднений.

Учащиеся должны понимать, что на частных примерах никакого утверждения доказать нельзя. Частный пример ничего не доказывает в математике, но он может подвести к правильному выводу.В отличие от неполной индукции полная индукция имеет доказательную силу, и ее роль при решении многих алгебраических задач (прежде всего на делимость), трудно переоценить.

Развивать логическое мышление можно с помощью специальных логических упражнений. К ним относятся задачи на нахождение пропущенной фигуры, на продолжение ряда фигур и знаков, на поиск закономерностей, исключение понятий, магические квадраты, логические задачи, решаемые с помощью таблиц и т. д.

Приведём примеры некоторых таких заданий.

Пример. Установите закономерность и в соответствии с ней впишите ещё три числа:

а)                      2 3 4 5 6 7 …

б)                     3 7 11 15 18 …

в)                     9 1 7 1 5 1 …

г)                      4 5 8 9 12 13 …

д)                     1 2 4 8 16 …

е)                      21 18 16 13 15 14 16 …

ж)                    12 14 13 15 14 16 …

з)                      16 12 15 11 14 10 …

и)                     4 8 10 20 22 44 …

 

Исключите лишнее понятие в строке и дайте объяснение:

а)                      тюльпан, лилия, фасоль, ромашка, фиалка;

б)                     река, озеро, море, мост, пруд;

в)                     кукла, прыгалка, песок, мяч, юла;

г)                      тополь, берёза, орешник, липа, осина;

д)                     курица, петух, орёл, гусь, индюк;

е)                      Саша, Витя, Стасик, Петров, Коля;

ж)                    число, деление, сложение, вычитание, умножение;

з)                      весёлый, быстрый, грустный, вкусный, осторожный;

и)                     горький, горячий, кислый, солёный, сладкий;

к)                     холодный, горячий, кислый, солёный, сладкий.

Решение всякой задачи по математике — это, прежде всего цепь рассуждений. Вычисления, преобразования, построения, которыми так часто приходится пользоваться при решении задач, невозможны без логических рассуждений: они направляются рассуждениями. Значит, в математике невозможно обойтись без логики.

 

Литература:

 

1.         Екимова М. А. Программа по развивающей логике для 5–7 классов //Современные проблемы методики преподавания математики и информатики: Материалы III Сибирских методических чтений (23–26 ноября 1999 г.). — Омск: ОмГУ, 2000. С. 105–111.

2.         Екимова М. А. Проблема оценки уровня развития логического мышления //Вестник Омского университета. -2002. № 1. — С. 119–122.

3.         Екимова М. А. Задачи с геометрическим содержанием как средство развития логического мышления в учебниках математики для 5–6 классов //Вестник Омского университета. -2002. № 4. — С.94–97.

4.         Екимова М. А., Кукин Г. П. Задачи на разрезание. — М.: МЦМНО, 2002. -120с.

5.         Воронцова Л. Я. Развитие логического мышления на уроках математики //Образование в современной школе. — 2007. — № 2.

6.         Гаврилова И. Логические задачи //Математика. -.2009. — № 5