GeoGebra — это математическая программа, которая позволяет строить графики функций без знаний правил их построения, исследовать свойства функций и решать задачи, связанные с функциями, в том числе в формате ОГЭ. Эта программа дает возможность готовиться к заданиям повышенной сложности, например к заданию 22 ОГЭ, где требуется построить график функции и провести его исследование.

Алгоритм исследования графика функции с помощью GeoGebra

№ 1. Построим график функции определим, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Упростим данную функцию:

,

при .

Графиком функции y = x + 2 является прямая с выколотой точкой.

При x = 2 функция не определена (знаменатель обращается в ноль).

2. Построим график функции y = x + 2 в GeoGebra (рис. 1).

Рис. 1.

3. Построим прямую у = kx .

Проанализируем точки пересечения прямых.

1) Прямая проходит через выколотую точку (2; 4). Подставим координаты точки в уравнение прямой: 4 = k ⋅ 2 ⇒ k = 2.

Если прямая проходит через точки (2; 4) и (0; 0), то прямые у = х + 2 и у = 2 х не имеют общих точек при k = 2 (рис. 2).

Рис. 2.

2) Прямая y = kx будет параллельна графику функции y = x + 2 при k = 1. В этом случае графики не имеют общих точек.

Итак, при k = 1 и k = 2 прямая y = kx не имеет общих точек с графиком функции (рис. 3).

Рис. 3.

Во всех других случаях прямые будут пересекаться, то есть иметь одну общую точку (рис. 4).

Рис. 4.

Ответ: при k ≠ 1 и k ≠ 2 прямая y = kx имеет ровно одну общую точку с графиком заданной функции.

GeoGebra в этом примере дает наглядность: сразу видно выколотую точку и можно наблюдать, как при изменении k меняется количество точек пересечения. Инструмент в программе «Пересечение» дает точные координаты точек, что исключает ошибки при визуальной оценке; можно подставить найденное значение k = 2 в уравнение и убедиться, что прямая действительно проходит через точку (2; 4).

Разберем пример задания с функцией, содержащей модуль, с использованием GeoGebra.

№ 2. Построим график функции и определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Функция содержит модуль: y = ∣ x ² − 4∣. Чтобы построить ее график, рассмотрим два случая.

1) y = x ² − 4, если x ² – 4 ≥ 0, ( х – 2)( х + 2) ≥ 0, т. е. ∣ x ∣ ≥ 2.

График функции — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0; −4). Рассмотрим график при x ≤ −2 и при x ≥ 2.

2) y = −( x ² − 4)

у = 4 – x ², если x ² – 4 <0, ( х – 2)( х + 2) < 0, т. е. ∣ x ∣ < 2.

График функции — парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0; −4). Рассмотрим график при −2 < x < 2. Точки перехода: y = 0 при x = −2 и x = 2 (рис. 5).

Рис. 5.

Построим график функции у = m и проанализируем перемещение прямой относительно оси у .

Наблюдаем следующие случаи.

1. При m < 0 прямая у = m не имеет с графиком общих точек.
2. При m = 0 прямая у = m проходит через точки (−2; 0) и (2; 0) и, значит, имеет с графиком функции две общие точки (рис. 6).

Рис. 6.

3. При 0 < m < 4 прямая у = m пересекает график в четырех точках, то есть имеет с графиком четыре общие точки (рис. 7).

Рис. 7

4. При m = 4 прямая у = m имеет с графиком три общие точки: (0; 4), (−2√2; 4) и (2√2; 4) (рис. 8).

Рис. 8.

5. При m > 4 прямая у = m пересекает график только в двух точках (рис. 9).

Рис. 9.

Ответ: прямая y = m имеет с графиком функции ровно три общие точки при m = 4.

Использование GeoGebra в этом примере показывает, как меняется количество точек пересечения при изменении m . Особенно хорошо видно «критическое» положение при m = 4, когда прямая касается вершины. Можно плавно менять m и наблюдать за изменением количества точек пересечения; инструмент «Пересечение» дает точные координаты точек, что исключает ошибки при визуальной оценке. Проверку можно провести, подставив m = 4 в уравнение ∣ x ² − 4∣ = m и показав, что оно имеет три решения.

Преимущества использования GeoGebra при подготовке к ОГЭ

1. Наглядность.

Визуализация графиков помогает лучше понять свойства функций и их преобразования.

2. Интерактивность.

Возможность менять параметры и мгновенно видеть изменения.

3. Экономия времени.

Строить графики в программе быстрее, чем вручную, что позволяет сосредоточиться на анализе и решении задачи.

4. Проверка решений.

GeoGebra можно использовать для проверки аналитически полученных результатов.