Косая строфоида | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №2 (61) февраль 2014 г.

Дата публикации: 06.02.2014

Статья просмотрена: 78 раз

Библиографическое описание:

Омонов К. К. Косая строфоида // Молодой ученый. — 2014. — №2. — С. 170-172. — URL https://moluch.ru/archive/61/9280/ (дата обращения: 21.07.2018).

Рассматриваемая нами строфоида представляет собой частный, так называемый косой строфоид, на стереометрическом способе образования которой мы и хотим и остановится.

Рис. 1.

Представим себе конус с вершиной в точке V, образующими g1 иg2 икасательной к нему, проходящей через точку А перпендикулярно к g1 (рис. 1). Проведем секущую плоскость через эту касательную, и пусть точки М и М1будут фокусами полученного сечения. Представим теперь, что секущая плоскость поворачивается вокруг касательной, тогда точки М и М1опишут кривую, называемую косой строфоидой, которая будет лежать в плоскости, перпендикулярной к нашей касательной. Для определения положения образующих точек М и М1на прямой АР, являющейся линей пересечения секущей плоскости с плоскостью чертежа, достаточно, как известно, вписать в конус два шара, касающихся секущей плоскости; точки касания и будут фокусами конического сечения, т. е. точками М и М1. Построение кривой может быть однако упрощено и целиком переведено на плоскость чертежа на основании нижеследующих соображений. Обозначив середину отрезка АР через В замечаем, что точки, аналогичные В, будут лежать на прямой l, параллельной образующей g2. Очевидно, эта прямая пройдет также через точки N и С, являющиеся серединами отрезков AV иAK, причем точка К выбрана так, что AV=AK. Если обозначить теперь VA=a, VP=b иAP=c, то будем иметь и так как то по и следовательно, .

Рис. 2.

Получение соотношение определяет планиметрический способ построения косой строфоиды: пусть дан угол с вершиной в точке С; берем на одной из его сторон точку А и проводим через нее произвольный луч, который пересечет другую сторону в точке В; тогда точки М и М1этого луча, построенные так, что принадлежать строфоиде.

Рассмотренная нами прежде строфоида, в отличие от косой строфоиды, называется прямой. Она может быть получена, если вместо конуса взять цилиндр; именно, надо взять две параллели g1 иg2 на первой из них — точку А; провести затем прямую АР и на ней найти точки касания двух кругов, касающихся параллелей g1 иg2. Найденный точки будут принадлежать строфоиде (рис. 2). Построение можно упросить: пусть В — середина АР, геометрическое место точек В будет, очевидно, осью р цилиндра; если провести теперь через точку А прямую АК, перпендикулярную к g2, то треугольники ВМО1, ВМ1О2 и ВСА окажутся равными между собой следовательно, .

Способ построения прямой строфоиды на основание полученного равенств очевиден. Справедливость этого равенства убеждает нас также в том, что полученная кривая действительно является строфоидой, так как оно соответствует исходному определению этой кривой.

Убедится в том, что косая строфоида является обобщением прямой, модно также, составив уравнение косой строфоиды. Обозначим с этой целью угол ACN через α, точку A будем считать полюсом, а прямую АК — полярной осью; тогда из треугольники ABC (рис.1) получим;

, откуда, , а так как радиусы-векторы точек М и М1 принадлежащих строфоиде, определяются равенством , то полярное уравнение косой строфоиды запишется в виде

.

Полагая здесь , получим уравнение прямой строфоиды.

Литература:

1.         А. В. Бубенников. «НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Москва «Высшая школа» 1981 г.

2.         А. А. Савелов «ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ» систематика, свойство, применения. «Москва» 1960 г.

Основные термины (генерируются автоматически): секущая плоскость, ABC, ACN, плоскость чертежа, прямая.


Похожие статьи

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу...

В инженерной практике наряду с задачей нахождения положения секущих плоскостей, содержащих

Ось родства является прямая- A11B11, пара родственных точек- D11и111 [2.с.193]. Построим направление прямой O1211, отвечающей направлению касательной.

Обучение стереометрии студентов ССУЗов с использованием...

Например, для построения прямой на плоскости недостаточно использовать кнопку для построения прямой: при нажатой

Для решения данной задачи можно поэкспериментировать с моделью конструктора, задавая секущую плоскость двумя лучами и видя изображение...

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

б. боковые грани шара своими точками касания лежат на секущей плоскости, которая

в. для построения описанного шара, призме необходимо и достаточно: − быть прямой

− использование заданий, требующих построения чертежа в соответствии с условиями задачи.

Способ создания линии пересечения поверхностей вращения

Данный способ используется для определения общих точек линии пересечения при пересечении каждой поверхности с вспомогательными плоскостями по прямой линии или по окружностям.

Способ вращения геометрической фигуры вокруг оси плоскости...

Согласно свойству проецирования прямого угла, с проекции A' точки A (A', A''), полученной на следе PV проводится

Например, действительные размеры ∆ABC (A'B'C', A''B''C'') относящегося к плоскости Q(QN, QV) определяется путём приложения точек A, B и C к плоскости V.

Создание динамических изображений при помощи программы...

Например, при изучении топографического черчения при построении задач пересечения топографической поверхности с прямой и плоскостью, образование плоской фигуры на земной поверхности, требуется активная работа пространственного мышления.

Системный подход в изучении начертательной геометрии

Отсюда вытекает общая схема решения задач этой группы: Одним из способов преобразования комплексного чертежа привести обе заданные

Построить проекцию искомого отрезка на эту плоскость. Рисунок 7 – Решение задачи на определение расстояния от точки А до прямой l.

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Рассечем поверхность плоскостями z=h. Получим кривую , z=h, которая при всех значениях h≠0 является гиперболой. При h>0 оси параллельны оси OX; при h<0 ― параллельны оси OY; при h=0 линия пересечения распадается на пару пересекающихся прямых и...

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Ребёнку необходимо не только изобразить чертёж в тетради, но и правильно его прочитать, понять, что рисунок на бумаге не даёт

Однако, при решении стереометрических задач они не всегда эффективны: на моделях нельзя ставить точки, проводить прямые, плоскости и т. д.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу...

В инженерной практике наряду с задачей нахождения положения секущих плоскостей, содержащих

Ось родства является прямая- A11B11, пара родственных точек- D11и111 [2.с.193]. Построим направление прямой O1211, отвечающей направлению касательной.

Обучение стереометрии студентов ССУЗов с использованием...

Например, для построения прямой на плоскости недостаточно использовать кнопку для построения прямой: при нажатой

Для решения данной задачи можно поэкспериментировать с моделью конструктора, задавая секущую плоскость двумя лучами и видя изображение...

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

б. боковые грани шара своими точками касания лежат на секущей плоскости, которая

в. для построения описанного шара, призме необходимо и достаточно: − быть прямой

− использование заданий, требующих построения чертежа в соответствии с условиями задачи.

Способ создания линии пересечения поверхностей вращения

Данный способ используется для определения общих точек линии пересечения при пересечении каждой поверхности с вспомогательными плоскостями по прямой линии или по окружностям.

Способ вращения геометрической фигуры вокруг оси плоскости...

Согласно свойству проецирования прямого угла, с проекции A' точки A (A', A''), полученной на следе PV проводится

Например, действительные размеры ∆ABC (A'B'C', A''B''C'') относящегося к плоскости Q(QN, QV) определяется путём приложения точек A, B и C к плоскости V.

Создание динамических изображений при помощи программы...

Например, при изучении топографического черчения при построении задач пересечения топографической поверхности с прямой и плоскостью, образование плоской фигуры на земной поверхности, требуется активная работа пространственного мышления.

Системный подход в изучении начертательной геометрии

Отсюда вытекает общая схема решения задач этой группы: Одним из способов преобразования комплексного чертежа привести обе заданные

Построить проекцию искомого отрезка на эту плоскость. Рисунок 7 – Решение задачи на определение расстояния от точки А до прямой l.

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Рассечем поверхность плоскостями z=h. Получим кривую , z=h, которая при всех значениях h≠0 является гиперболой. При h>0 оси параллельны оси OX; при h<0 ― параллельны оси OY; при h=0 линия пересечения распадается на пару пересекающихся прямых и...

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Ребёнку необходимо не только изобразить чертёж в тетради, но и правильно его прочитать, понять, что рисунок на бумаге не даёт

Однако, при решении стереометрических задач они не всегда эффективны: на моделях нельзя ставить точки, проводить прямые, плоскости и т. д.

Задать вопрос