Построение 2+1-мерных интегрируемых уравнений | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 26 октября, печатный экземпляр отправим 30 октября.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №12 (59) декабрь 2013 г.

Дата публикации: 29.11.2013

Статья просмотрена: 53 раза

Библиографическое описание:

Редькина Т. В., Кучукова Н. Н. Построение 2+1-мерных интегрируемых уравнений // Молодой ученый. — 2013. — №12. — С. 20-24. — URL https://moluch.ru/archive/59/8486/ (дата обращения: 15.10.2019).

Введение.

Большинство процессов и явления окружающего мира представляются в виде нелинейных моделей. В связи с этим появилась необходимость научиться решать именно нелинейные уравнения, не пытаясь заменить их слишком упрощенными приближенными линейными уравнениями. Одним из направлений, которое сыграло важную роль в формировании современных представлений о свойствах нелинейных волновых процессов, является теория солитонов. Набор солитонных моделей весьма узок и содержит не более двух десятков важных для практики солитонных уравнений, например, уравнение Кортевега-де-Вриза (КдВ), Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), Кадомцева-Петвиашвилли (КП). Sin -Gordon (SG) и т. д. [1] В связи с этим остро встал вопрос о сводимости достаточно широкого класса уравнений к солитонным уравнениям (задача редукции).

Рассмотрим способы построения двумерных интегрируемых уравнений, имеющих солитонные решения и интегрируемых с помощью обратной задачи рассеивания.

Метод построения двумерного интегрируемого уравнения, связанный с уравнением Лакса.

Пусть - оператор Шрёдингера,

                                                                (1)

— кососимметрический оператор третьего порядка, где - неизвестная функция. Функции и  необходимо найти из уравнения Лакса .

Коммутатор операторов L и A имеет вид

                        (2)

Тогда уравнение Лакса эквивалентно системе уравнений

 

                       (3)

Уравнения во второй строке (3) являются следствиями уравнений первой строки, в результате находим

 .                                                                   (4)

Будем полагать, что. Тогда уравнений (3) примет вид

                                                                                  (5)

Для функций вида уравнение (5) переходит в уравнение Кортевага-де Вриза на функцию

                                                                                               (6)

Для функций вида уравнение (3) переходит в уравнение

                                                                                  (7)

Оно также является интегрируемым модельным уравнением для распространения длинных волн в среде с нелинейной дисперсией. Если к оператору (1) добавить оператор

,                                                                              (8)

то из уравнения Лакса получим нелинейное уравнение вида

                                             (9)

Уравнение (9) эквивалентно уравнению (5) и преобразуется в него заменой координат .

Метод построения нового двумерного интегрируемого уравнения

Пусть функция зависит от трех переменных, L — оператор Шрёдингера, оператор А — сумма операторов

                             (10)

Тогда операторное уравнение

                                                                                              (11)

будет эквивалентно следующему уравнению

.                                              (12)

Это новое двумерное дифференциальное уравнение, так же как и уравнение (5), может быть решено методом обратной задачи рассеивания. [2]

Большинство известных солитонных уравнений описывают поведение функций, зависящих от двух пространственно — временных переменных. Вследствие этого актуальность приобретает задача посроения 2+1-мерного дифференциального уравнения. Рассмотрим способ получения такого уравнения из операторного уравнения Лакса

.                                                                                                  (13)

Теорема. Уравнение

    (14)

обладает парой Лакса с операторами L и А вида

,

.

где ,  — произвольная функция.

Доказательство. Рассмотрим частный случай, когда оператор L не содержит дифференцирования по х и имеет структуру

 ,                                                                            (15)

                                                     (16)

где , k –произвольные постоянные, vij, uij — произвольные функции трех переменных х, у и t. Такой выбор операторов обуславливает равенство нулю коэффициентов при дифференциалах , , , .

Выведем уравнение в частных производных, эквивалентное операторному уравнению Лакса. Для этого найдем элементы матричного уравнения , используя обозначение  и принимая во внимание условие :

                           (17)

                                                       (18)

                                                                                                   (19)

                          (20)

С учетом равенства (18) определим дополнительные условия так чтобы

,                                                                                                    (21)

                                                                                                (22)

Подставим найденные значения в оставшуюся систему (10.6–9)

            (23)

                                            (24)

                            (25)

Найдем разность (23) и (25):

,

или ,

что позволяет определить функцию

.                                                                            (26)

Выразим  из (25)

.                           (27)

и выполним подстановку найденной функции (26)

Найденное соотношение (27) подставим в (24)

и умножим все члены на

тогда выделяя полные производные, имеем

или

,

в результате можно найти функцию

.                                                                                  (28)

И так, в ходе преобразований системы (10.12–14) из (24) найдена функция , а из (25) — , поэтому осталось единственное уравнение (23), связывающее две функции  и

,   (29)

где .

В последующих исследованиях будем считать произвольную функцию  тогда уравнение примет вид

                   (30)

Полученное уравнение в частных производных имеет вид локального закона сохранения, при этом функция  является произвольной и может описывать некоторое возмущение уравнения. При подстановке в (15), (16) найденные значения , , ,  из равенств (21), (22), (28), (26) получим операторы Лакса.

Уравнения  и (29) имеют общей оператор рассеяния L, а, следовательно, уравнения на собственные значения совпадают формально, но при этом собственное значение оператора L в одном случае являются постоянными, а во втором представляют собой некоторые функции, зависящие от дополнительной переменной у.

Литература:

1.                  Журавлев В. М. Нелинейные волны в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией. Точно решаемые модели. Ульяновск: УлГУ, 2001.

2.                  Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. М.: Наука. 1991.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, операторное уравнение, функция, вид, двумерное интегрируемое уравнение, обратная задача рассеивания, оператор, произвольная функция, функция вида.


Похожие статьи

Об одном свойстве уравнения Фаддеева для модельного...

уравнение, собственная функция оператора, нетривиальное решение, оператор умножения, оператор, модельный дискретный оператор, одномерная решетка, операторное уравнение, собственное значение оператора...

Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера...

обратная задача рассеяния, решение задачи, равенство, уравнение, система уравнений, верхняя полуплоскость, основание равенств, несамосопряженный оператор, дифференциальное уравнение...

Возможные методы решения математических задач...

функция, уравнение, фазовое пространство, сингулярное множество, обобщенное решение, решение, момент времени, уравнение Навье-Стокса, интегральное соотношение, газовая динамика.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Рассматривается вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения в предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; , — измеримая функция, такая...

Построение периодических решений для квазилинейных...

Пусть уравнение (10) имеет решение не являющееся простым, т. е. пусть. (12). Тогда обратная матрица не существует.

и мы не можем гарантировать при произвольных функциях порядка и выше существование решения полного уравнения, обращающегося в при .

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

Рассматривается модельный оператор , ассоциированный с системой трех частиц на решетке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Получен аналог уравнения Вайнберга для собственных функций оператора .

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Рассмотрим уравнение или. . Видно, что функции вида , где любая функция, а функция ортогональна к функции . Очевидно, что подпространство таких функций имеет размерность равный бесконечности.

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Ясно, что оператор возмущения оператора является самосопряженным двумерным оператором.

Отметим, что функции вида. где — любые вещественные числа, удовлетворяют условию (1) с параметрами Действительно, пусть есть функция как в условии 1. Тогда имеем.

Похожие статьи

Об одном свойстве уравнения Фаддеева для модельного...

уравнение, собственная функция оператора, нетривиальное решение, оператор умножения, оператор, модельный дискретный оператор, одномерная решетка, операторное уравнение, собственное значение оператора...

Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера...

обратная задача рассеяния, решение задачи, равенство, уравнение, система уравнений, верхняя полуплоскость, основание равенств, несамосопряженный оператор, дифференциальное уравнение...

Возможные методы решения математических задач...

функция, уравнение, фазовое пространство, сингулярное множество, обобщенное решение, решение, момент времени, уравнение Навье-Стокса, интегральное соотношение, газовая динамика.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Рассматривается вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения в предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; , — измеримая функция, такая...

Построение периодических решений для квазилинейных...

Пусть уравнение (10) имеет решение не являющееся простым, т. е. пусть. (12). Тогда обратная матрица не существует.

и мы не можем гарантировать при произвольных функциях порядка и выше существование решения полного уравнения, обращающегося в при .

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

Рассматривается модельный оператор , ассоциированный с системой трех частиц на решетке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Получен аналог уравнения Вайнберга для собственных функций оператора .

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Рассмотрим уравнение или. . Видно, что функции вида , где любая функция, а функция ортогональна к функции . Очевидно, что подпространство таких функций имеет размерность равный бесконечности.

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Ясно, что оператор возмущения оператора является самосопряженным двумерным оператором.

Отметим, что функции вида. где — любые вещественные числа, удовлетворяют условию (1) с параметрами Действительно, пусть есть функция как в условии 1. Тогда имеем.

Задать вопрос