Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера с самосогласованным источником интегрального типа | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Рейимберганов А. А. Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера с самосогласованным источником интегрального типа // Молодой ученый. — 2016. — №9.5. — С. 1-7. — URL https://moluch.ru/archive/113/29726/ (дата обращения: 23.09.2018).



В 1967 году американские учёные К.С. Гарднер, Дж.М.Грин, М.Крускал и Р.Миура [1] открыли замечательное свойство уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Они предложили нелинейную замену переменных в этом уравнении, после которой оно становится линейным и явно решается. В описании этой замены участвует формализм прямой и обратной задач рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля, т.е. в нем существенно используется решение задачи о восстановлении по­тенциала оператора Штурма-Лиувилля на всей оси, по данным рассеяния. Этот метод получил название метода обратной задачи рассеяния. В работе [2] П.Лакс показал, универсальность метода обратной задачи рассеяния и обобщил уравнение КдФ, введя понятие высшего (общего) уравнения КдФ. Затем МОЗР был успешно применен и для многих других нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений, таких как: нелинейное уравнение Шредингера, модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение sin-Гордон.

Рассмотрим линейную систему уравнений

(1)

на всей оси (), с «быстроубывающим» потенциалом :

.(2)

Здесь , является комплексным сопряжением к .

Прямая и обратная задача рассеяния для оператора изучены в работах М.Г.Гасымова, Б.М.Левитана [3], В.Е.Захарова, А.Б.Шабата [4], И.С.Фролова [5], Л.П.Нижника, Фам Лой Ву [6], Л.А.Тахтаджяна, Л.Д.Фаддеева [7], А.Б.Хасанова [8] и др.

В данной работе рассматривается система уравнений

, (3)

,(4)

, (5)

при начальном условии

,(6)

где определяется из следующих реккурентных соотношений

, , .

Здесь начальная функция обладает следующими свойствами:

1) (7)

2) Оператор не имеет спектральных особенностей и в верхней полуплоскости комплексной плоскости имеет ровно N собственных значений с кратностями .

В рассматриваемой задаче вектор-функции и решения системы уравнений и соответственно, которые обладают следующими асимптотиками при

, ,(8)

где заданные непрерывные функции, удовлетворяющие условию:

при .(9)

Предполагается, что при всех

(10)

Пусть функция обладает достаточной гладкостью, т.е. и достаточно быстро стремится к своим пределам при , так что

.(11)

Основная цель данного работы – получить эволюции данных рассеяния несамосопряженного оператора с потенциалом являющимся решением уравнения (3).

Допустим, что решение задачи (3)-(11) существует. Рассмотрим систему уравнений

(12)

с потенциалом . Пусть вектор-функции и решения уравнений и соответственно с асимптотиками (8) при . С помощью решений Йоста и уравнений (12), определим вектор-функции

, (13)

.(14)

Здесь и ,

.

По определению, вектор-функции и аналитические функции от параметра в верхней полуплоскости . При любых действительных вектор-функции и имеют особенности в точке . Чтобы определить предельные значение вектор-функций и при , используем формулы Сохоцкого. В силу (13), (14) имеем

,(15)

.(16)

Здесь v.p. означает, что интеграл понимается в смысле главного значения.

Согласно (8) имеем

,

,

поэтому при :

,(17)

.(18)

Нетрудно заметить, что справедливы равенства

.

Следовательно, и линейно зависимы с и соответственно, т.е. существуют такие и , что имеют место соотношения

,(19)

. (20)

По определению матрицы , из равенств (10) и асимптотик (8), (17) и (18), получим

,

где .

Введем следующее обозначение

.

На основании равенств (19), (20) вектор можно переписать в виде

.(21)

С другой стороны, из соотношений (15) и (16) имеем

.

Используя равенство получим

. (22)

Сравнивая равенства (21) и (22) имеем

(23)

,

следовательно

.

Заметим, что дифференциальное уравнение (23) справедливо при . Легко заметить, что при справедливо равенство

.(24)

Решая дифференциальное уравнение (24) получим

.

Отсюда следует, что нули функции , т.е. собственные значения оператора не зависят от .

Перейдем к нахождению эволюции нормировочной цепочки соответствующей кратным собственным значениям

Заметим, что при справедливы равенства

, (25)

.(26)

Теперь определим функцию в виде

.

В силу равенств (25) и (26) имеем

. (27)

Равенство (27) можно переписать в виде

,(28)

где ,

Следовательно, согласно

.

С другой стороны, на основании равенств (13) и (14) имеем

.(29)

Сравнивая равенства (28) и (29), получим

,

Таким образом доказана следующая

Теорема. Если функции являются решением задачи (3)-(11), то данные рассеяния несамосопряженного оператора с потенциалом меняются по следующим образом

,

,

Полученные равенства полностью определяют эволюцию данных рассеяния, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (3)-(11).

Литература:

  1. Gardner C.S., Сreen I.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. – USA, 1967. – v.19 – p. 1095-1097.
  2. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure and Appl. Math. – USA, 1968. – v.21. – p. 467-490.
  3. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Обратная задача для системы Дирака // ДАН СССР. – Москва, 1966. – Т.167, № 5. – C. 967-970.
  4. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде // ЖЭТФ. – Москва, 1971. – Т.61. № 1. – C.118-134.
  5. Фролов И.С. Обратная задача рассеяния для системы Дирака на всей оси // ДАН СССР. – Москва, 1972. – Т.207, № 1. – С.44-47.
  6. Нижник Л.П., Фам Лой Ву. Обратная задача рассеяния на полуоси с несамосопряженной потенциальной матрицей // Укр. матем. журнал. – Киев, 1974. – Т.26, № 4. – С.469-486.
  7. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов.–/ М.:, Наука. 1986. – 528 с.
  8. Хасанов А.Б. Об обратной задаче теории рассеяния для системы двух несамосопряженных дифференциальных уравнений первого порядка // ДАН СССР – Москва, 1984. – Т.277, № 3. – C. 559-562.
  9. Хасанов А.Б., Рейимберганов A.A. Конечно плотные решения высшего нелинейного уравнения Шредингера с самосогласованным источником // Уфимский матем. журнал. – Уфа 2009, том 1. № 4. – С. 133-143.
Основные термины (генерируются автоматически): обратная задача рассеяния, решение задачи, равенство, уравнение, система уравнений, верхняя полуплоскость, основание равенств, несамосопряженный оператор, дифференциальное уравнение, эволюция данных рассеяния.


Похожие статьи

Построение 2+1-мерных интегрируемых уравнений

Это новое двумерное дифференциальное уравнение, так же как и уравнение (5), может быть решено методом обратной задачи рассеивания.

Вследствие этого актуальность приобретает задача посроения 2+1-мерного дифференциального уравнения.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Рассматривается вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения в предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; , — измеримая функция, такая...

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

, ( ). Решение задачи Коши для уравнений (12) можно построить с применением различных численных методов [22, 26, 28, 34, 52-57, 70, 72, 76, 80], разработанных для интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

..., Точное решение задачи имеет вид: Пример 2. Рассмотрим следующую начальную задачу с неоднородным линейным ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами.

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Возможные методы решения математических задач...

В настоящей работе мы коснемся некоторых аспектов другой задачи из этого списка — проблемы решения системы уравнений Навье-Стокса. Поскольку система Навье-Стокса описывает движение жидкости...

Некоторые общие положения методики составления и решения...

дифференциальное уравнение, задача, техническая система, радиоактивное вещество, условие задачи, дополнительная информация, математическая модель, общее решение, искомое решение, обратная задача.

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Введение ипостановка задачи. Исследованиеасимптотического поведения решений линейного разностного уравнения третьего порядка.

Случай 1. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе . Общее решение уравнения (1) имеет вид .

Решение краевой задачи для линейных дифференциальных...

В качестве дискретной задачи мы берем конечно-разностную схему (КРС), и тогда дискретная задача есть система алгебраических уравнений (СЛАУ), и элементы есть таблица значений функций.

Об одном методе решения линейных интегральных уравнений

Решению интегрального уравнения удовлетворяет соответствующее ему дифференциальное уравнение.

Здесь пока неизвестные функции. Их определение означает нахождение решение задачи. Пример 3. Задано следующее. (10).

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Построение 2+1-мерных интегрируемых уравнений

Это новое двумерное дифференциальное уравнение, так же как и уравнение (5), может быть решено методом обратной задачи рассеивания.

Вследствие этого актуальность приобретает задача посроения 2+1-мерного дифференциального уравнения.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Рассматривается вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения в предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; , — измеримая функция, такая...

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

, ( ). Решение задачи Коши для уравнений (12) можно построить с применением различных численных методов [22, 26, 28, 34, 52-57, 70, 72, 76, 80], разработанных для интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

..., Точное решение задачи имеет вид: Пример 2. Рассмотрим следующую начальную задачу с неоднородным линейным ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами.

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Возможные методы решения математических задач...

В настоящей работе мы коснемся некоторых аспектов другой задачи из этого списка — проблемы решения системы уравнений Навье-Стокса. Поскольку система Навье-Стокса описывает движение жидкости...

Некоторые общие положения методики составления и решения...

дифференциальное уравнение, задача, техническая система, радиоактивное вещество, условие задачи, дополнительная информация, математическая модель, общее решение, искомое решение, обратная задача.

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Введение ипостановка задачи. Исследованиеасимптотического поведения решений линейного разностного уравнения третьего порядка.

Случай 1. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе . Общее решение уравнения (1) имеет вид .

Решение краевой задачи для линейных дифференциальных...

В качестве дискретной задачи мы берем конечно-разностную схему (КРС), и тогда дискретная задача есть система алгебраических уравнений (СЛАУ), и элементы есть таблица значений функций.

Об одном методе решения линейных интегральных уравнений

Решению интегрального уравнения удовлетворяет соответствующее ему дифференциальное уравнение.

Здесь пока неизвестные функции. Их определение означает нахождение решение задачи. Пример 3. Задано следующее. (10).

Задать вопрос