Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №6 (65) май-1 2014 г.

Дата публикации: 11.04.2014

Статья просмотрена: 94 раза

Библиографическое описание:

Ибрагимова Б. М. Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора // Молодой ученый. — 2014. — №6. — С. 13-14. — URL https://moluch.ru/archive/65/10280/ (дата обращения: 16.10.2018).

В квантовой теории поля встречаются интегральные операторы вида

,                  (1)

где  ограниченные функции на . В монографии К. О. Фридрихса [1] описана типичная ситуация, приводящая к операторам вида (1). Аналогичные операторы встречаются, например, в работах [2, 3, 4] и др. С другой стороны, изучение разрешимости частных интегральных уравнений вида , в пространстве , где - заданная функция из , является важным при исследовании спектра решетчатых гамильтонианов много частичной системы [5, 6] и интересным с математической точки зрения. Надо отметить, что в 1975 г. Л. М. Лихтарников и Л. З. Витова [7] впервые начали изучать спектральные свойства частично интегральных операторов. В работе [7] исследован спектр самосопряженного частично интегрального оператора с ядрами из гильбертово пространства .

В данной работе подробно изучаются спектр и резольвента одного ограниченного самосопряженного частично интегрального оператора.

Рассмотрим частично интегральный оператор , заданный в гильбертовом пространстве  по правилу

,

где - вещественно значная непрерывная функция на . Тогда оператор  является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве , причем

.

Всюду в работе через  обозначена норма элемента из .

Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора  и их кратность.

Теорема 1. Число  является бесконечнократным собственным значением оператора , а число  является его простым собственным значением.

Доказательство. Сначала докажем . Рассмотрим уравнение  или

.

Видно, что функции вида , где  любая функция, а функция  ортогональна к функции . Очевидно, что подпространство таких функций  имеет размерность равный бесконечности. Поэтому число  является бесконечнократным собственным значением оператора .

Пусть теперь . Рассмотрим уравнение  или

.                                                                                   (2)

Так как , из уравнения (2) для  имеем

,                                                                                                   (3)

где

.                                                                                           (4)

Подставляявыражение (3) для  в равенству (4) получим, что уравнение (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда

.

Если , то в силу равенства (3) имеем . Это противоречие показывает, что , т. е. число  является собственным значением оператора  и соответствующая собственная функция имеет вид , где  произвольная функция. Теорема 1 доказана.

Таким образом имеет места равенства

.

Теперь сформулируем результат о явном виде резольвенты оператора .

Теорема 2. При каждом фиксированном  резольвента  оператора  определяется следующим образом:

.

Доказательство. Пусть . Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение  для любых , т. е.

.                                                                    (5)

Так как , из уравнения (5) для  имеем

,                                                                           (6)

где  определен по формуле (4). Подставляя полученное выражение (6) для  в равенству (3) имеем

или

.

Учитывая соотношение , для  имеем

Далее, подставляя полученное выражение для  в равенство (6) приходим к равенству , . Теорема 2 доказана.

Литература:

1.      К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

2.      В. А. Какичев, Н. В. Коваленко. К теории двумерных интегральных уравнений с частными интегралами // Украинский математический журнал, 1973, Т. 25, № 3, С. 302–312.

3.      J. Appell, E. V. Frolova, A. S. Kalitvin and P. P. Zabjenko. Partial integral operators on  // Integral Equations and Operator Theory, 1997, V. 27, No. 2, P. 125–140.

4.      A. S. Kalitvin and P. P. Zabjenko. On the theory of partial integral operators // J. Integral Equations Appl., 1991, V. 3, No. 3, P. 351–382.

5.      D. Mattis. The few-body problem in a lattice // Rev. Modern Phys., 1986, V. 58, No. 2, P. 361–379.

6.      A. I. Mogilner. Hamiltonians in solid-state physics as multi-particle discrete Scroedinger operators: problems and results // Adv. Soviet Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991, V. 5, P. 139–194.

7.      Л. М. Лихтарников, Л. З. Витова. О спектре интегрального оператора с частными интегралами // Литовск. Матем. Сб., 1975, Т. 15, № 2, С. 41–47.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, интегральный оператор, бесконечнократное собственное значение, оператор, полученное выражение, собственное значение оператора, теорема, уравнение, функция.


Похожие статьи

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

гильбертово пространство, интегральный оператор, бесконечнократное собственное значение, собственное значение оператора, полученное выражение, оператор, теорема, уравнение, функция.

Условия существования собственных значений одной...

Теорема 1. а) Если , то оператор не имеет собственных значений на

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

Основные термины (генерируются автоматически): собственное значение оператора, оператор, единственное собственное...

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Пусть — гильбертово пространство квадратично — интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на

Теорема 1. Для спектра оператора имеет место равенство , т. е. оно имеет чисто точечный спектр, где, — бесконечнократное собственное значение, а и...

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

Ключевые слова: модельный оператор, нелокальный потенциал, уравнение Вайнберга, собственное значение и собственная

Рассмотрим модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле. , где операторы определяются по правилам

О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса...

Чтобы доказать теоремы достаточно показать, что оператор имеет собственное значение

, имеем, что (т. е. число является бесконечнократным собственным значением оператора ) и.

4. К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Формула для числового образа одной операторной матрицы

Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения его числовой образ определяется следующим образом

. Это и означает, что число является бесконечнократным собственным значением оператора .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Теорема 2. Если один из операторов или имеет собственное значение тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на.

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972. С. Н. Лакаев.

Об одном свойстве уравнения Фаддеева для модельного...

В гильбертовом пространстве рассмотрим модельный дискретный оператор Шредингера действующий по формуле.

Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда оператор имеет собственное значение, равное единице, и их...

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

собственное значение оператора, нуль полинома, система уравнений, гильбертово пространство, кратное собственное значение, число.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

гильбертово пространство, интегральный оператор, бесконечнократное собственное значение, собственное значение оператора, полученное выражение, оператор, теорема, уравнение, функция.

Условия существования собственных значений одной...

Теорема 1. а) Если , то оператор не имеет собственных значений на

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

Основные термины (генерируются автоматически): собственное значение оператора, оператор, единственное собственное...

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Пусть — гильбертово пространство квадратично — интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на

Теорема 1. Для спектра оператора имеет место равенство , т. е. оно имеет чисто точечный спектр, где, — бесконечнократное собственное значение, а и...

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

Ключевые слова: модельный оператор, нелокальный потенциал, уравнение Вайнберга, собственное значение и собственная

Рассмотрим модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле. , где операторы определяются по правилам

О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса...

Чтобы доказать теоремы достаточно показать, что оператор имеет собственное значение

, имеем, что (т. е. число является бесконечнократным собственным значением оператора ) и.

4. К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Формула для числового образа одной операторной матрицы

Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения его числовой образ определяется следующим образом

. Это и означает, что число является бесконечнократным собственным значением оператора .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Теорема 2. Если один из операторов или имеет собственное значение тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на.

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972. С. Н. Лакаев.

Об одном свойстве уравнения Фаддеева для модельного...

В гильбертовом пространстве рассмотрим модельный дискретный оператор Шредингера действующий по формуле.

Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда оператор имеет собственное значение, равное единице, и их...

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

собственное значение оператора, нуль полинома, система уравнений, гильбертово пространство, кратное собственное значение, число.

Задать вопрос