Автор: Пономаренко Артем Николаевич

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №9 (56) сентябрь 2013 г.

Дата публикации: 14.08.2013

Статья просмотрена: 122 раза

Библиографическое описание:

Пономаренко А. Н. Несобственные интегралы. Метод обратных координат // Молодой ученый. — 2013. — №9. — С. 1-6.

В данной статье представлена связь между несобственными интегралами первого рода и несобственными интегралами второго рода, а также особые приемы вычисления несобственных интегралов. Если имеется значение некоторого, не берущегося элементарно, несобственного  интеграла, то методом поворота координат и переходом к обратной функции можно отыскать значение еще нескольких не берущихся интегралов.

Перед изложением основных формул будет представлен несколько иной метод нахождения интеграла

Рассмотрим тождество:

                                                            (1)

которое очевидно справедливо, так как

С другой стороны:

В свою очередь,    (подстановка: )

Тогда ,

и исходя из этого,

Подставляя этот последний результат в формулу (1):

                                                                                                      (2)

Исходя из (2) и (1):

Лабиринт

                                                                                    (3)

Это тождество можно представить в виде: , так как .Если в интеграле  произвести подстановку , то он будет иметь вид: . Последний интеграл подстановкой  сводиться к интегралу:

Тогда , и на основании (3):

                                                                                   (4)

Теорема 1:

1) Пусть  непрерывна и строго возрастающая в , и . Тогда справедлива формула:

                                                                                                    (5)

 2) Пусть  непрерывна и строго спадающая в , и. Тогда справедлива формула:

                                                                                                    (6)

 Доказательство:

Ограничимся вторым случаем. Так как функция  непрерывна и строго спадающая в , то она необходимо имеет и обратную функцию . Это дает возможность преобразовать несобственный интеграл первого рода в несобственный интеграл второго рода с особой точкой  .

Сходимость или расходимость несобственных интегралов при подобных преобразованиях не нарушается.

Отыскание обратной функции  к функции осуществляется по такому правилу: функцию  следует преобразовать явно в виде , после чего поменять в ней переменные  и местами, т.е. представить в виде . Последняя функция и будет обратной к функции , и обозначается: .

Лабиринт

Пример 1: Пусть дана функция:. Найти функцию обратную к ней.

, и меняя  и местами:

В дальнейших примерах (кроме примера 5-го и 6-го) будет показано, как имея значения лишь двух интегралов:  и , возможно определить специальными методами, в особенности поворотом координат, значения многих других интегралов, которые так же не берутся элементарно.

Пример 2: Вычислить , если известно, что          

Решение: 

      (подстановка

Применяя формулу (5):

 

Тогда:

                                                                                                                  (7)

Как известно,

                     (Подстановка )

Лабиринт

Исходя из последнего тождества и (7) выходит система из двух уравнений:

Прибавляя первое уравнение системы ко второму, находим:

,

и окончательно:

                                                                                                 (8)

Исходя из (7) и (8):

                                                                                                 (9)

И, исходя из (8) и (9), легко вывести окончательный результат:

                                                                                                               (10)

В данном примере для отыскания решения интеграла (10) была применена в начале метода вычисления первая из формул теоремы 1, что сыграло немаловажную роль в отыскании значения данного интеграла.

Теорема 2:

Лабиринт

Пусть  непрерывна и строго спадающая (или строго возрастающая) в ,  – особая точка, , . Тогда справедлива формула:

                                                                                                 (11)

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 1. Только в этом случае несобственный интеграл второго рода преобразуеться в несобственный интеграл первого рода.

Пример 3: Вычислить  в конечном виде.

С одной стороны ; с другой стороны, по формуле (11):

Применение формулы (11) оправдано, так как  и особая точка:

     (подстановка: ).

Тогда:

И окончательный результат будет иметь вид:

Теорема 3: Пусть  непрерывна и строго спадающая (или строго возрастающая) в промежутке , ,  – особая точка. Тогда имеет место формула:

                                                                              (12)

Лабиринт

Доказательство: начальные рассуждения аналогичны с теоремой 2, но в этом случае, в точке  функция  не достигает значения . Поэтому, если рассмотреть данный вопрос с геометрической точки зрения, т.е. усмотреть значение интеграла как площади, ограниченной некоторой осью с одной стороны и некоторой непрерывной интегрируемой функцией с другой, – то очевидно, уравнение (11) не будет полным, так как к значению интеграла от обратной функции  необходимо прибавить площадь оставшегося прямоугольника с вершинами: , , , .

Пример 4: Вычислить

Так как , то принимая этот интеграл за начальную функцию, а искомый интеграл за обратную функцию, по формуле (12):

Подставляя в последнее тождество значение интеграла  и преобразуя:

,

далее подстановка: , которая приводит к окончательному результату:

                                                                                              (13)

Исходя из (13) можно получить разложение:

Обобщенные формулы:

   ,  – особая точка                        (14)

   – особая точка                        (15)

Лабиринт

Обе формулы представляют собою преобразование несобственного интеграла второго рода в несобственный интеграл первого рода. Формула (14) выводиться из формулы (12) параллельным перемещением оси  из начального положения в особую точку . При этом все условия существования несобственного интеграла первого рода, полученного из несобственного интеграла второго рода – сохраняются. Формула (15) являет собою аналог (14) в случае особой точки .

Пример 5:

При преобразовании этого интеграла по формуле (14) – выходит аналогичный результат:

Пример 6:

Его вычисление по формуле (15) дает аналогичный результат:

Пример 7: Вычислить

Если обратиться вновь к тождеству  и провести ряд элементарных преобразований, то выходит:

Отсюда следует:

Согласно формуле (11), так как условия теоремы 2 в этом случае соблюдены:

Лабиринт

После подстановки: интеграл будет иметь вид:

Окончательная подстановка  приводит к ответу:

Таким образом, выходит результат:

                                                                                                 (16)

Литература:

1.      Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды, Изд-во: «Наука», 1981 г. 797 с.

2.      Бакельман И.Я. Высшая геометрия, Изд-во: «Просвещение», 1967 г. – 367 с.

Основные термины (генерируются автоматически): второго рода, первого рода, интеграла второго рода, интеграл первого рода, несобственного интеграла, несобственного интеграла второго, несобственный интеграл, несобственный интеграл первого, обратной функции, интеграла первого рода, интеграл второго рода, несобственных интегралов, метод нахождения интеграла, интегралами второго рода, обратную функцию, интегралами первого рода, несобственного  интеграла, преобразование несобственного интеграла, Похожая статья, несобственными интегралами.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос