Теорема о спектральном разложении самосопряженных линейных операторов, по мнению многих авторов, является одной из самых удачных математических абстракций. Она имеет множество приложений в функциональном анализе и в математической физике и играет существенную роль в обосновании квантовой механики. С тех пор как эта теорема была впервые доказана Д. Гильбертом, ее содержание значительно расширилось. В настоящем сообщении построено спектральное разложение симметрического оператора, порожденного в гильбертовом пространстве, функций суммируемых с квадратом модуля, некоторой обобщенной квазидифференциальной операцией.
Рассмотрим симметрический оператор 
, действующий в гильбертовом пространстве 
и имеющий плотную в пространстве область определения 
. Оператор 
не предполагается самосопряженным, так что он является частью сопряженного с ним оператора 
. В общем случае 
.
Функция 
, определенная для любого вещественного 
, называется спектральной функцией оператора , если выполнены следующие условия:
а) для любого вещественного 
есть позитивный оператор;
б) для любого элемента 
гильбертова пространства в котором рассматриваются и , 
не убывает при возрастании параметра 
;
в) для любого элемента гильбертова пространства есть непрерывная слева в смысле нормы элемента функция параметра 
;
г) для любого элемента гильбертова пространства 
, если
, и 
, если 
. Причем эти предельные соотношения рассматриваются в смысле нормы элемента;
д) если 
— любой конечный промежуток и - любой элемент из пространства , то имеют место соотношения:
(1)
где 
.
1. Спектральная функция называется ортогональной, если есть оператор ортогонального проектирования при любом вещественном значении . Если оператор - самосопряженный, то он имеет только одну спектральную функцию и она — ортогональна. Обратно, всякая ортогональная спектральная функция однозначно определяет самосопряженный оператор . Если же оператор несамосопряженный, то он имеет неортогональные спектральные функции.
Согласно известной теореме М. А. Наймарка, для любой спектральной функции 
оператора 
существует в некотором гильбертовом пространстве 
такое самосопряженное расширение 
оператора , что ортогональная спектральная функция 
оператора связана с формулой
(2)
где 
— оператор ортогонального проектирования.
Учитывая (1), можно рассматривать равенство
(3)
как разложение по обобщенным собственным элементам оператора .
Для спектральных функций симметрического оператора , действующих в абстрактном гильбертовом пространстве, показано, что и в этом случае имеются «краевые условия», зависящие от параметра , которым удовлетворяют обобщенные собственные элементы оператора , участвующие в разложении (3).
Пусть — какое-либо разложение единицы в , а 
и 
— фиксированные вещественные числа. Обозначим через 
линейное многообразие векторных функций 
, принимающих значения в гильбертовом пространстве и допускающих представление 
, где 
— произвольные непрерывные комплекснозначные функции параметра , а 
— произвольные элементы из пространства . Для различных векторных функций эти элементы и их число могут быть разными.
Для любых вектор-функций 
существует интеграл
, (4)
где 
.
Введем в рассмотрение совокупность 
вектор-функций , которые принимают значения в пространстве , и, кроме того, удовлетворяют следующему условию: при любом 
для функции существует такая функция 
, что выполняется следующее условие: 
, где 
и 
имеют прежний смысл. Множество 
является, очевидно, линейным многообразием и вместе с векторной функцией ему принадлежит также 
, какова бы ни была непрерывная комплекснозначная функция 
. Легко убедиться, что при любых 
и 
из совокупности существует интеграл (4).
Если значения интеграла (4) принять за скалярное произведение 
векторных функций и , то превратится в гильбертово пространство, в общем случае — неполное. Пополнение пространства является, очевидно, пополнением и для пространства
в этой же метрике. Заметим, что пополнение пространства 
совпадает по существу с пространством 
, которое можно использовать при оценке кратности спектра самосопряженного расширения оператора [1].
Лемма. Если есть спектральная функция симметрического оператора , то для любых вектор-функций , 
существует операторный интеграл Стилтьеса 
и имеет место формула 
=
.
2. Пусть матрица 
имеет размерность 
и составлена из комплекснозначных функций, определенных на интервале 
и удовлетворяющих следующим условиям:
(i) 
в интервале 
для индексов, удовлетворяющих неравенствам 
;
(ii) 
— локально суммируемы, т. е. 
для 
;
(iii) 
в для 
.
Определим квазипроизводные 
следующим образом:
.
Этот подход к определению квазипроизводных и соответствующего формально самосопряженного квазидифференциального выражения предложен в работе [2]. В дальнейшем предполагаем, что функции 
и их квазипроизводные до 
- го порядка включительно абсолютно непрерывны на любом компактном подынтервале промежутка . Поскольку в дальнейшем будем рассматривать только симметрические квазидифференциальные выражения, то предположим, что матрица 
, кроме требований (i), (ii) и (iii), удовлетворяет также условию симметричности: 
, где 
— матрица, сопряженная к матрице , 
— символ Кронекера. Легко убедиться, что 
, где 
— натуральное число. Матрица 
— косоэрмитова, если натуральное число — четно, а матрицы 
— косоэрмитовы, если натуральное число — нечетно. Можно считать, что скалярное дифференциальное выражение 
, где 
— мнимая единица, порождается матрицей . Квазидифференциальная операция 
определяет минимальный замкнутый симметрический оператор 
в гильбертовом пространстве 
.
Пусть, например, 
симметрический квазидифференциальный оператор с минимальной областью определения в пространстве 
, порожденный квазидифференциальным выражением 
порядка . Концы рассматриваемого промежутка 
не предполагаются регулярными, т. е. могут быть сингулярными. В этом случае формула (3) реализуется в виде разложения по решениям уравнения
, (5)
Решения уравнения (5) играют роль обобщенных собственных элементов оператора 
.
Для любых функций и 
, к которым применима квазидифференциальная операция , имеет место обобщенная формула Лагранжа
, (6)
где 
. Интегрируя почленно левую и правую части формулы Лагранжа (6), получим формулу Грина
,
где 
. Пусть 
— квазипроизводные функции , а 
, составленный из этих квазипроизводных, — вектор-столбец. Заметим, что 
, где 
— скалярное произведение в - мерном евклидовом пространстве. Матрица 
, если - четно, и 
, если — нечетно, позволяет тождество Лагранжа можно переписать в виде 
.
Теорема 1. Пусть — матрица-функция, удовлетворяющая условиям: (i), (ii), (iii). Квазидифференциальная операция 
задана обычным образом. Дополнительно предположим, что функции 
— локально суммируемы на рассматриваемом промежутке. Кроме того, предположим, что функция 
положительна на промежутке . Тогда для любого комплексного числа , любого вещественного числа 
и любых комплексных чисел 
, существует единственное решение , заданное на промежутке , начальной задачи 
при условии 
.
Доказательство в целом повторяет рассуждения, приведенные в [3, 4].
Теорема 2. Пусть 
, , матрица , удовлетворяет требованиям (i) — (iii) и условию симметричности. Тогда для любых комплексных чисел 
существует функция 
, принадлежащая области определения 
операции , такая что 
3. Как известно, каждой спектральной функции 
оператора
отвечает некоторая обобщенная резольвента 
, определяемая формулой
.
При помощи формулы обращения Стилтьеса спектральная функция 
однозначно восстанавливается по обобщенной резольвенте ; для любых функций 
и 
из и любых вещественных и имеет место равенство:
. (7)
Равенство (7) позволяет построить формулу всех спектральных функций оператора .
Пусть — какая-либо обобщенная резольвента оператора и 
— ее характеристическая матрица. При любых вещественных 
определим матрицу 
формулой
. (8)
Формула (8) имеет смысл при любом вещественном и является неубывающей матричной функцией. Матрицу называют спектральной функцией распределения оператора , соответствующей обобщенной резольвенте .
Пусть 
— гильбертово пространство - мерных векторных функций 
, которые будем рассматривать как одностолбцевые матричные функции; скалярное произведение в пространстве определяется формулой 
.
Теорема 3. Для любой функции 
имеет место равенство 
, где 
; а несобственный интеграл 
сходится в смысле метрики пространства .
Литература:
1. Филиппенко В. И. Линейные квазидифференциальные операторы в гильбертовом пространстве // Исследования по функциональному анализу и его приложениям.- М.: Наука, 2006. С. 293–344.
2. Everitt, W. N. Generalized symmetric ordinary differential expressions 1: The general theory / W. N. Everitt, A. Zettl // Nieuw Archief Vood Wiskunde, 1979. — V. 27, № 3. — P. 363–397.
3. Филиппенко В. И. Обобщенные резольвенты неплотно заданного квазидифференциального симметрического оператора // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, 5–11 сентября 2006 года. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2006. — С. 167–169.
4. Фетисов В. Г. Исследования по теории операторов и их приложениям. Монография [Текст] / В. Г. Фетисов, В. И. Филиппенко. — Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2008. — 185 с.
