Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом вариационных итераций | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №6 (140) февраль 2017 г.

Дата публикации: 14.02.2017

Статья просмотрена: 85 раз

Библиографическое описание:

Абдурашидов А. А. Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом вариационных итераций // Молодой ученый. — 2017. — №6. — С. 8-12. — URL https://moluch.ru/archive/140/39475/ (дата обращения: 26.09.2018).



В этой работе метод вариационных итераций использован к приближенному решению типичных линейных и нелинейных интегральные уравнения Волтерры. Результаты этого метода сходится быстрее к точному решению для некоторых нелинейных проблем. Метод вариационных итераций очень эффективные и простой.

Ключевые слова: интегральные уравнения, метод вариационных итераций, коррекция функционала, начальное приближение, последовательность функции, точное решение

Нелинейные явления, которые появляются во многих приложениях науки и техники, таком как гидро-аэродинамика, физика твердого тела, физика плазмы, математическая биология и химическая кинетика, может быть смоделирован обыкновенными уравнениями или уравнениями частными производных и интегральными уравнениями. Анализ научных работ, опубликованные ряд зарубежными учеными [1–5] показывают, что метод вариационных итераций (МВИ) и его модификации успешно применены ко многим приложениям прикладных наук. Новый метод был предложен ученым J. H. He в 1997 и систематический описан в 2000. До недавнего времени, приложение МВИ в нелинейных проблемах был разработан учеными и инженерами, потому что этот метод — самые эффективные и удобные и для слабо и для строго нелинейные уравнения. Метод является мощное устройство для решения различных видов уравнений, линейных или нелинейных. Интегральные уравнения Волтерры были решены классическим, числовым и теоретическим методы [4, 5]. Ниже МВИ применен для линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра.

Постановка задачи. Нелинейные уравнения в общем имеет вид

, (1)

где L, N — линейный и нелинейный оператор соответственно; g(t) — неоднородная часть уравнения; у — неизвестная функция.

Исходя из этого требуется решить следующую интегральную уравнению Вольтерра методом вариационных итераций [3]

, , (2)

где y(x) — искомая функция; f(x), F(y) — известные функции; K(x,t) — ядро интегрального уравнения (2).

Алгоритм метода вариационных итераций (МВИ). Для уравнения (1) методом вариационных итераций допускает коррекции функционала в виде [5]:

(3)

где — множитель Лагранжа.

Для приближенного решения уравнения (2) методом вариационных итераций сначала ее дифференцируем один раз по x, тогда

. (4)

Применяя идею МВИ к (3) имеем

. (5)

Вариации стационарного функционала

.

Для нахождения значения множителя Лагранжа составим уравнение Эйлера-Лагранжа , а для граничного значения . Отсюда .

Окончательная итерационная формула:

. (6)

Приложение. Ниже решены несколько примеры посвященные к решению проблемы (1) методом вариационных итераций.

Пример 1. Сначала рассмотрим самый простой пример. Требуется решить следующую линейную интегральную уравнению Вольтерра [5, 6]:

. (7)

Сначала дифференцируем уравнение (7) один раз по х: .

Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:

. (8)

Выбираем начальное приближение как . Дальнейшие приближения вычисляем по (8):

;

;

;..., .

Тогда . Это и есть точное решение уравнение (7).

Результаты ошибки аппроксимации (8) при n = 3 представлен на рис. 1.

Пример 2. Теперь рассмотрим чуть сложнее пример. Требуется решить следующую линейную интегральную уравнению Вольтерра [6]:

. (9)

Сначала дифференцируем уравнение (9) один раз по х:

.

Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:

. (10)

Выбираем начальное приближение как . Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (10):

; ; ,....

Точное решение уравнение (9): . Результаты ошибки аппроксимации (10) при n = 3 представлен на рис. 2.

Рис. 1.

Рис. 2.

Пример 3. Теперь усложняем пример. Требуется решить следующую простую нелинейную интегральную уравнению Вольтерра [5]:

. (11)

Сначала дифференцируем уравнение (11) один раз по х:

.

Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:

. (12)

Выбираем начальное приближение как . Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (12): ; ;....

Точное решение уравнение (11): .

Пример 4. Требуется решить следующую нелинейную интегральную уравнению Вольтерра [6]:

. (13)

Сначала дифференцируем уравнение (13) один раз по х:

.

Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:

. (14)

Выбираем начальное приближение из разложения в ряд Тейлора функции , т. е. . Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (14) с помощью математического пакета Maple и получим следующие результаты: ; ;....

Тогда точное решение уравнение (13): .

Пример 5. Требуется решить следующую нелинейную интегральную уравнению Вольтерра [5]:

, . (15)

Сначала дифференцируем уравнение (15) один раз по х:

.

Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:

. (16)

Выбираем начальное приближение из разложения в ряд Тейлора функции , т. е. . Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (16) с помощью математического пакета Maple и получим следующие результаты: ; ;....

Тогда точное решение уравнение (15): .

Пример 6. Требуется решить следующую нелинейную интегральную уравнению Вольтерра [4]:

, . (17)

Сначала дифференцируем уравнение (17) один раз по х: .

Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:

. (18)

Выбираем начальное приближение из разложения в ряд Тейлора функции , т. е. . Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (18) с помощью математического пакета Maple и получим следующие результаты: ; ;....

Тогда точное решение уравнение (17): .

Выводы. Вэтой работе метод вариационных итераций успешно применен к решению интегральных уравнений Волтерры. Метод полезен и для линейных и для нелинейных уравнений. Этот метод очень силен и эффективен для нахождения точных и приближенных решений для широких классов проблемы. Этот метод не требует утомительных алгебраических вычислений. Для нелинейного уравнения это возникает часто, чтобы выразить нелинейное явление. МВИ облегчает вычислительную работу и дает решение быстро. Результаты показал, что метод очень точен и прост.

Литература:

  1. He. J.H., A new approach to nonlinear partial differential equations, Commum. Nonlinear Sci. Numer. Simulation, 2(4), 1997, 230–235.
  2. He. J.H., Variational iteration method a kind of non-linear analyticaltechnique: some examples, International Journal of Non-Linear Mechanics, 34(4), 1999, 699–708.
  3. He. J.H., Variational iteration method-Some recent results and new interpretations, Journal of Computational and Applied Mathematics, 207, (2007), 3–17.
  4. Wazwaz A. M. A First Cours in Integral Equations. Second Edition. Chicago: Saint Xavier University, 2015. — 331 p.
  5. Wazwaz A. M. Linear and Nonlinear Integral Equations: Method and Applications. Chicago: Saint Xavier University, 2011. — 658 p.
  6. Mamatov Sh.S., Abdirashidov A. Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari. Uslubiy qo‘llanma. — Samarqand: SamDU nashri, 2014. — 124 bet.
Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, точное решение, начальное приближение, итерационная формула, формула, математический пакет, итерация, результат ошибки аппроксимации, коррекция функционала, работа метод.


Похожие статьи

Решения нелинейных волновых уравнений методом...

Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных проихводных, метод вариационных итераций, коррекция функционала, начальное приближение, последовательность функции, точное решение.

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод вариационных итераций, коррекция функционала, начальное приближение, последовательность функции, точное решение.

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы

На данном этапе значение корней уравнения, определенных ранее, уточняется. Как правило на этом этапе используются итерационные методы.

Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет найдено его точное значение.

Численная реализация разностного метода решения одной...

Как правило, для решения системы (5) применяются различные итерационные методы, например, метод простой итерации или метод Зейделя.

Положить ; задать начальное приближение искомого решения во внутренних узлах

Организация приближённого решения интегральных уравнений...

приближенное решение, метод трапеций, метод итераций, квадратурная формула трапеций, команда, математическая система, метод моментов, квадратурная формула, правая часть, вырожденное ядро.

Восстановление простых линейных и итерационных функций...

Описанный в данной работе метод основан на анализе данных, получаемых в результате работы с

Проще всего обнаружить, какие переменные входят в искомую формулу в качестве слагаемых.

Однако для небольших функций, как линейных, так и итерационных, имеющих...

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале...

«начальная итерация и уравнение. «ссылка к внутренней функции и вывод решения.

Пример 3. Метод итерации. Решим уравнение . Решение

Все методы, внутренние функции дают достаточно хорошее приближение к решению.

Одномерная оптимизация методом Пауэлла и онлайн-реализация...

В основе метода Пауэлла лежит идея аппроксимирования заданной функции квадратичным полиномом. Далее покажем вывод формулы аппроксимации точки минимума некоторой функции f(x).

Решения нелинейных волновых уравнений методом вариационных итераций.

Сравнительный анализ численного решения задач оптимального...

Данная работа посвящена анализу численных методов решения задач оптимального управления: метода последовательных приближений и метода вариации.

Метод итерационный и итерация заключается в следующем

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Решения нелинейных волновых уравнений методом...

Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных проихводных, метод вариационных итераций, коррекция функционала, начальное приближение, последовательность функции, точное решение.

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод вариационных итераций, коррекция функционала, начальное приближение, последовательность функции, точное решение.

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы

На данном этапе значение корней уравнения, определенных ранее, уточняется. Как правило на этом этапе используются итерационные методы.

Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет найдено его точное значение.

Численная реализация разностного метода решения одной...

Как правило, для решения системы (5) применяются различные итерационные методы, например, метод простой итерации или метод Зейделя.

Положить ; задать начальное приближение искомого решения во внутренних узлах

Организация приближённого решения интегральных уравнений...

приближенное решение, метод трапеций, метод итераций, квадратурная формула трапеций, команда, математическая система, метод моментов, квадратурная формула, правая часть, вырожденное ядро.

Восстановление простых линейных и итерационных функций...

Описанный в данной работе метод основан на анализе данных, получаемых в результате работы с

Проще всего обнаружить, какие переменные входят в искомую формулу в качестве слагаемых.

Однако для небольших функций, как линейных, так и итерационных, имеющих...

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале...

«начальная итерация и уравнение. «ссылка к внутренней функции и вывод решения.

Пример 3. Метод итерации. Решим уравнение . Решение

Все методы, внутренние функции дают достаточно хорошее приближение к решению.

Одномерная оптимизация методом Пауэлла и онлайн-реализация...

В основе метода Пауэлла лежит идея аппроксимирования заданной функции квадратичным полиномом. Далее покажем вывод формулы аппроксимации точки минимума некоторой функции f(x).

Решения нелинейных волновых уравнений методом вариационных итераций.

Сравнительный анализ численного решения задач оптимального...

Данная работа посвящена анализу численных методов решения задач оптимального управления: метода последовательных приближений и метода вариации.

Метод итерационный и итерация заключается в следующем

Задать вопрос