Автор: Абдурашидов Акмалжон Аблакулович

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №6 (140) февраль 2017 г.

Дата публикации: 14.02.2017

Статья просмотрена: 27 раз

Библиографическое описание:

Абдурашидов А. А. Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом вариационных итераций // Молодой ученый. — 2017. — №6. — С. 8-12.



В этой работе метод вариационных итераций использован к приближенному решению типичных линейных и нелинейных интегральные уравнения Волтерры. Результаты этого метода сходится быстрее к точному решению для некоторых нелинейных проблем. Метод вариационных итераций очень эффективные и простой.

Ключевые слова: интегральные уравнения, метод вариационных итераций, коррекция функционала, начальное приближение, последовательность функции, точное решение

Нелинейные явления, которые появляются во многих приложениях науки и техники, таком как гидро-аэродинамика, физика твердого тела, физика плазмы, математическая биология и химическая кинетика, может быть смоделирован обыкновенными уравнениями или уравнениями частными производных и интегральными уравнениями. Анализ научных работ, опубликованные ряд зарубежными учеными [1–5] показывают, что метод вариационных итераций (МВИ) и его модификации успешно применены ко многим приложениям прикладных наук. Новый метод был предложен ученым J. H. He в 1997 и систематический описан в 2000. До недавнего времени, приложение МВИ в нелинейных проблемах был разработан учеными и инженерами, потому что этот метод — самые эффективные и удобные и для слабо и для строго нелинейные уравнения. Метод является мощное устройство для решения различных видов уравнений, линейных или нелинейных. Интегральные уравнения Волтерры были решены классическим, числовым и теоретическим методы [4, 5]. Ниже МВИ применен для линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра.

Постановка задачи. Нелинейные уравнения в общем имеет вид

, (1)

где L, N — линейный и нелинейный оператор соответственно; g(t) — неоднородная часть уравнения; у — неизвестная функция.

Исходя из этого требуется решить следующую интегральную уравнению Вольтерра методом вариационных итераций [3]

, , (2)

где y(x) — искомая функция; f(x), F(y) — известные функции; K(x,t) — ядро интегрального уравнения (2).

Алгоритм метода вариационных итераций (МВИ). Для уравнения (1) методом вариационных итераций допускает коррекции функционала в виде [5]:

(3)

где — множитель Лагранжа.

Для приближенного решения уравнения (2) методом вариационных итераций сначала ее дифференцируем один раз по x, тогда

. (4)

Применяя идею МВИ к (3) имеем

. (5)

Вариации стационарного функционала

.

Для нахождения значения множителя Лагранжа составим уравнение Эйлера-Лагранжа , а для граничного значения . Отсюда .

Окончательная итерационная формула:

. (6)

Приложение. Ниже решены несколько примеры посвященные к решению проблемы (1) методом вариационных итераций.

Пример 1. Сначала рассмотрим самый простой пример. Требуется решить следующую линейную интегральную уравнению Вольтерра [5, 6]:

. (7)

Сначала дифференцируем уравнение (7) один раз по х: .

Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:

. (8)

Выбираем начальное приближение как . Дальнейшие приближения вычисляем по (8):

;

;

;..., .

Тогда . Это и есть точное решение уравнение (7).

Результаты ошибки аппроксимации (8) при n = 3 представлен на рис. 1.

Пример 2. Теперь рассмотрим чуть сложнее пример. Требуется решить следующую линейную интегральную уравнению Вольтерра [6]:

. (9)

Сначала дифференцируем уравнение (9) один раз по х:

.

Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:

. (10)

Выбираем начальное приближение как . Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (10):

; ; ,....

Точное решение уравнение (9): . Результаты ошибки аппроксимации (10) при n = 3 представлен на рис. 2.

Рис. 1.

Рис. 2.

Пример 3. Теперь усложняем пример. Требуется решить следующую простую нелинейную интегральную уравнению Вольтерра [5]:

. (11)

Сначала дифференцируем уравнение (11) один раз по х:

.

Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:

. (12)

Выбираем начальное приближение как . Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (12): ; ;....

Точное решение уравнение (11): .

Пример 4. Требуется решить следующую нелинейную интегральную уравнению Вольтерра [6]:

. (13)

Сначала дифференцируем уравнение (13) один раз по х:

.

Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:

. (14)

Выбираем начальное приближение из разложения в ряд Тейлора функции , т. е. . Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (14) с помощью математического пакета Maple и получим следующие результаты: ; ;....

Тогда точное решение уравнение (13): .

Пример 5. Требуется решить следующую нелинейную интегральную уравнению Вольтерра [5]:

, . (15)

Сначала дифференцируем уравнение (15) один раз по х:

.

Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:

. (16)

Выбираем начальное приближение из разложения в ряд Тейлора функции , т. е. . Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (16) с помощью математического пакета Maple и получим следующие результаты: ; ;....

Тогда точное решение уравнение (15): .

Пример 6. Требуется решить следующую нелинейную интегральную уравнению Вольтерра [4]:

, . (17)

Сначала дифференцируем уравнение (17) один раз по х: .

Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:

. (18)

Выбираем начальное приближение из разложения в ряд Тейлора функции , т. е. . Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (18) с помощью математического пакета Maple и получим следующие результаты: ; ;....

Тогда точное решение уравнение (17): .

Выводы. Вэтой работе метод вариационных итераций успешно применен к решению интегральных уравнений Волтерры. Метод полезен и для линейных и для нелинейных уравнений. Этот метод очень силен и эффективен для нахождения точных и приближенных решений для широких классов проблемы. Этот метод не требует утомительных алгебраических вычислений. Для нелинейного уравнения это возникает часто, чтобы выразить нелинейное явление. МВИ облегчает вычислительную работу и дает решение быстро. Результаты показал, что метод очень точен и прост.

Литература:

  1. He. J.H., A new approach to nonlinear partial differential equations, Commum. Nonlinear Sci. Numer. Simulation, 2(4), 1997, 230–235.
  2. He. J.H., Variational iteration method a kind of non-linear analyticaltechnique: some examples, International Journal of Non-Linear Mechanics, 34(4), 1999, 699–708.
  3. He. J.H., Variational iteration method-Some recent results and new interpretations, Journal of Computational and Applied Mathematics, 207, (2007), 3–17.
  4. Wazwaz A. M. A First Cours in Integral Equations. Second Edition. Chicago: Saint Xavier University, 2015. — 331 p.
  5. Wazwaz A. M. Linear and Nonlinear Integral Equations: Method and Applications. Chicago: Saint Xavier University, 2011. — 658 p.
  6. Mamatov Sh.S., Abdirashidov A. Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari. Uslubiy qo‘llanma. — Samarqand: SamDU nashri, 2014. — 124 bet.
Основные термины (генерируются автоматически): вариационных итераций, интегральную уравнению Вольтерра, методом вариационных итераций, начальное приближение, следующую итерационную формулу, метод вариационных итераций, запишем следующую итерационную, Дальнейшие приближения, решение уравнение, Вольтерра методом вариационных, точное решение уравнение, следующую нелинейную интегральную, нелинейную интегральную уравнению, работе метод вариационных, следующую линейную интегральную, интегральных уравнений Вольтерра, ряд Тейлора функции, помощью математического пакета, Точное решение уравнение, нелинейных интегральных уравнений.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос