Автор: Шустов Виктор Владимирович

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №7 (111) апрель-1 2016 г.

Дата публикации: 05.04.2016

Статья просмотрена: 96 раз

Библиографическое описание:

Шустов В. В. О квадратурных формулах, использующих значения производных заданного порядка // Молодой ученый. — 2016. — №7. — С. 5-11.



Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее приближения двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы для квадратур, использующие значения функции и ее производных до m-го порядка включительно, заданных в концевых точках отрезка интегрирования. Приведен пример вычисления определенного интеграла функции f(x)= sinxдля различных порядков производных, используемых при численном интегрировании.

Ключевые слова: квадратура функций, определенный интеграл, двухточечный многочлен Эрмита, квадратурные формулы с использованием производных.

Известными методами вычисления определенных интегралов — квадратуры функций -являются методы трапеций, Симпсона, Гаусса, Чебышева и другие, изложенные в [1–3].

Одним из подходов к нахождению определенных интегралов от заданной функции является подход, связанный с заменой данной функции, другой, более простой и к последующему вычислению интеграла от этой упрощенной функции. За приближенное значение интеграла от заданной функции принимается значение интеграла от приближающей функции.

Одним из направлений приближения функций является использования интерполяционных многочленов Эрмита, в котором используется данные о значениях не только функции, но и о ее производных до определенного порядка, заданных в узловых точках. Приближение функций с использованием частного вида многочленов Эрмита, именно двухточечных многочленов, когда значения функции и ее производных заданы только в двух концевых точках отрезка, рассмотрено в [4].

Целью данной работы является построение квадратурных формул, основанных на использовании двухточечных многочленов Эрмита.

1. Постановка ирешение задачи

Пусть функция f(x) определена на отрезке [x0,x1] и имеет достаточный набор производных на этом отрезке. Пусть также в обеих концевых точках отрезка [x0,x1] заданы значения функции f(x) и ее производных до порядка αi-1 включительно:

(1.1)

Из условия существования производных следует, что для функции f(x) существует определенный интеграл

. (1.2)

Необходимо приблизить этот интеграл интегралом, построенным по функции, которая является приближением к заданной функции f(x). В качестве приближающей функции будем использовать двухточечный многочлен Эрмита, рассмотренный в работе [7].

Согласно результатам работы [4, с. 1097] такой приближающий многочлен Hm(x), удовлетворяющий условиям (1.1) можно представить в различных формах, в частности, как:

. (1.3)

В формуле (1.3) для многочлена Hm(x) буквой ξ обозначена относительная переменная, связанная с исходной переменной x соотношением

, (1.4)

используется условие, что α01=α, и буквой m обозначены порядки наивысших производных, используемых для построения двухточечного многочлена Hm(x), т. е. α — 1= m, откуда α = m +1, (1.5)

а коэффициент определен соотношением

. (1.6)

В соответствие с формулой (1.6) коэффициент выражается через биноминальный коэффициент (например, [5, с. 163])

согласно соотношению:

(1.7)

Обозначим через L длину отрезка [x0,x1], определенную соотношением

L=x1-x0. (1.8)

Тогда формулу (1.3) с учетом формулы (1.4) и (1.8) для двухточечного многочлена можно переписать с использованием только относительной переменной ξ в виде:

(1.9)

Для двухточечного многочлена Hm(x) можно построить определенный интеграл Im по отрезку [x0,x1], определенный соотношением

, (1.10)

или, переходя к относительной переменной ξ, и используя (1.4) и (1.8), в виде:

. (1.11)

Подставляя (1.9) в (1.11) для определенного интеграла Im получим соотношение:

. (1.12)

Формулу (1.12) можно переписать в виде:

, где (1.13)

коэффициенты и определяются формулами

и (1.14)

. (1.15)

Сделав замену переменной в формуле (1.15) вида , учтя, что при этой замене имеет место равенство -dξ=dξ1 и изменятся пределы интегрирования, получим:

.

Поменяв местами пределы интегрирования, эту формулу в силу свойств интеграла можно записать в виде:

(1.16)

Из равенства правых частей формул (1.14) и (1.16) следует равенство левых частей, т. е.

,

поэтому в формуле (1.13) достаточно найти выражение, например, для коэффициента .

Формулу (1.14) для коэффициента , пользуясь свойством интеграла и степеней с одинаковыми основаниями, можно записать в виде:

(1.17)

Интеграл вида с использованием формул, представленных в [7, с. 743], можно записать в виде

. (1.18)

Из формулы (1.17) с использованием формул (1.18) и (1.7) для коэффициента получим соотношение:

.(1.19)

Проведя суммирование в правой части формулы (1.19) получим компактное выражение для коэффициента :

. (1.20)

Введя коэффициент , связанный с коэффициентом соотношением:

, (1.21)

для его значения получим формулу:

. (1.22)

В таблице 1 представлены коэффициенты для начальных значений m и j.

Таблица 1

Коэффициенты

j

m

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

Формулу (1.13) для представления интеграла Im можно записать в виде:

. (1.23)

С использованием формулы (1.23) и коэффициентов, приведенных в таблице 1, получаются формулы для интеграла Im, которые представлены в таблице 2.

Таблица 2

Формулы численного интегрирования

s

m

Формулы для интеграла Im

1

0

3

1

5

2

7

3

9

4

В первом столбце приводится значения s — степени двухточечного многочлена, определенной в соответствии с (1.9) соотношением:

s=2m+1.

Во втором столбце приведены значения m — максимального порядка производной, используемой для построения двухточечного многочлена.

Из формул, представленных в таблице 2, видно, что интеграл Im, выражается через значения функции и ее производных до m-го порядка включительно, заданных на концах отрезка интегрирования. Отметим, что коэффициенты перед производными зависят от m и j.

Случай m=0 соответствует известному методу трапеций [3, с. 6]. В этом случае двухточечный многочлен H0(ξ) имеет вид:

, а интеграл I0 вычисляется как:

,

что соответствует формуле для интеграла, представленной в [1, с. 106].

2. Пример численного интегрирования заданной функции

В качестве примера применения полученных квадратурных формул и оценки их погрешности вычислим значение интеграла от функции y= sinx на отрезке [0,π], т. е.

. (2.1)

Находя первообразную функции y= sinx и используя формулу Ньютона-Лейбница [6, с. 408], определяем точное значение этого интеграла:

.

Используя квадратурные формулы, представленные в табл. 2, и значения производных подынтегральной функции, определяемые соотношением (см. [6, с.149]):

, (2.2)

вычислим значения интегралов Im, которые можно рассматривать как последовательные приближения к заданному интегралу I, определенному формулой (2.1).

Полученные значения Im для параметра m=0–4 представлены в третьем столбце таблицы 3. В четвертом столбце приведена погрешность приближения δIm, как модуль разности между точным и приближенными значениями интегралов, определенная по формуле

.

Таблица 3

Значения интеграла Im иего погрешности δIm

m

Im

δIm

0

0.000000000

2.000000000

1

1.644934067

0.355065933

2

1.973920880

0.026079120

3

1.998952025

0.001047975

4

1.999973416

0.000026584

Из таблицы 3 видно, что по мере увеличения порядка используемых производных m, которые определяют порядок метода, значения интегралов Im стремятся к точному значению интегралаI, соответственно, погрешность δIm также стремится к нулю.

Можно показать, что для определенных классов функций, в частности, для функции y= sinx последовательность интегралов Im сходится к интегралу I, т.е .

Сходимость интегралов для рассмотренной функции y= sinx обусловлена ограниченностью производных этой функции на отрезке интегрирования.

Литература:

  1. Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие для вузов. — 2-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 248 с.
  2. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. — 2-е изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. — 500 с.
  3. Никольский С. М. Квадратурные формулы. — 4-е изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 256 с.
  4. Шустов В. В. О приближении функций двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита // ЖВММФ, 2015, № 7, С. 1091–1108.
  5. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. СПб.: Изд. Лань, 2010–608 с.
  6. Кудрявцев Л. Д.. Математический анализ. т. 1. М.: Высшая школа, 1970. — 592 с.
  7. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984–832 с.
Основные термины (генерируются автоматически): значения функции, функции y= sinx, определенного интеграла, концевых точках отрезка, значение интеграла, двухточечный многочлен Эрмита, интегралов im, интеграла im, значения интегралов im, многочленов Эрмита, значения производных, определенного интеграла функции, приближающей функции, определенного интеграла im, производных подынтегральной функции, нахождения определенного интеграла, квадратурные формулы, определенных интегралов, приближенное значение интеграла, квадратурных формул.

Ключевые слова

определенный интеграл, квадратура функций, двухточечный многочлен Эрмита, квадратурные формулы с использованием производных.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос