О понятии нечеткого интеграла | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №5 (16) май 2010 г.

Статья просмотрена: 143 раза

Библиографическое описание:

Макеева А. В. О понятии нечеткого интеграла // Молодой ученый. — 2010. — №5. Т.1. — С. 34-37. — URL https://moluch.ru/archive/16/1617/ (дата обращения: 18.10.2018).

Введение понятия нечеткого интеграла связано со стремлением к разработке в нечеткой математике аналогов, используемых в статистике и теории вероятностей понятий среднего и математического ожидания. Поскольку указанные понятия базируются на свойстве аддитивности вероятностной меры, а нечеткие меры более широкий класс мер, разработка указанных аналогов привела к построению принципиально новой математической конструкции [2].

Нечеткий интеграл от функции h : X → [0, 1] на множестве AX по нечеткой мере g определяется как

h(x)g = g ( A ∩ Hα)), (1)

где Hα={x | h(x)≥α}.

Нечеткий интеграл принято также называть нечетким ожиданием или FEV (fuzzy expected value).

Нечеткий интеграл от функции h : X → [0,1] на нечетком множестве A={x, μA(x)} по нечеткой мере g определяется как [3]

h(x)g = A (x)  h( x))g (2)

Отметим основные свойства нечетких интегралов.

Пусть a[0,1], (E, FX ) и h: X → [0,1].

 1. .

 2. .

 3. .

 4. .

 5. .

 6. .

Можно показать, что понятие нечеткого интеграла сходно с понятием интеграла Лебега. Для этого рассмотрим разбиение множества X на непересекающиеся подмножества (рис.1):, , i ≠ j, i=1,2,…,n.

 Рис. 1. Построение ступенчатой функции

 Пусть - ступенчатая возрастающая функция (h:X → [0,1]), где

αi [0,1], Ei  X , fEi - характеристическая функция обычного множества Ei, т. е. fEi (x) = 1, если xEi, fEi (x) = 0, x ∉ Ei. Пусть l есть мера Лебега. Интеграл Лебега от функции h по множеству A определяется как

, (3)

где i = {1, 2, 3 .... n}; α1 ≤ α2 ≤ α3 ≤ ... αn.

Введем множества Fi = , i=1,2,…, n. Тогда h(x) может быть представлена в виде . В этом случае нечеткий интеграл по аналогии с интегралом Лебега может быть определен в виде:

. (4)

Сопоставляя (3) и (4), можно обнаружить сходство между данными интегралами: операции сложения и умножения для интеграла (3) заменены операциями max и min соответственно для (4) [1].

Оба интеграла – лебегов и нечеткий – можно сравнить, используя вероятностную меру. Если (X, B, Р) – вероятностное пространство, а h: X → [0,1] есть B-измеримая функция, то имеем, что

. (5)

Сравнительно легко осуществлять расчет нечеткого интеграла в случае конечного множества X и соответственно конечного числа α, для которых требуется определить g(Hα). Для этого необходимо воспользоваться следующим утверждением.

Если функция h(x) принимает n+1 значение αi, то соответственно множество значений g(Hαi), отличных от 0 и 1, состоит из n элементов. В последовательности из 2n+1 элементов, составленной из элементов {αi} и {g(Hαi)}, расположенных в порядке возрастания, значение срединного n+1 элемента равно значению FEV(h).

На рис. 2 приведен пример графической интерпретации нахождения значения нечеткого интеграла для X = R [2]:

FEV(h)=, где Hα={x | h(x)≥α}.

 

 Рис. 2. Графическая интерпретация нечеткого интеграла

Для описания различных видов неопределенности в теории нечетких мер используется общее понятие "степень нечеткости". В общем случае оно включает в себя "степень важности", "степень уверенности" и как отдельный случай - "степень принадлежности" в теории нечетких множеств. Нечеткая мера, таким образом, может интерпретироваться различными способами в зависимости от конкретного применения.

Определение нечеткого множества, фиксирующего степень принадлежности элемента хХ подмножеству АF(X), где F(Х) - множество всех нечетких подмножеств Х, может быть представлено с использованием нечеткого интеграла следующим образом [3].

Пусть необходимо оценить степень принадлежности некоторого элемента  множеству . Очевидно, что для пустого множества эта степень принадлежности равна 0, а для равна 1, т.е. степень принадлежности для будет больше, чем для , если . Если степень принадлежности  равна g(x0,E), а вместе E задано нечеткое подмножество , то .

Это говорит о том, что степень нечеткости суждения “” равна степени принадлежности  нечеткому подмножеству . Таким образом, понятие степени нечеткости в теории нечетких мер включает в себя понятие степени принадлежности теории нечетких множеств.

Для непрерывного пространства X=R вычисление нечеткого интеграла может быть упрощено и сведено к нахождению значения на монограмме (или таблице).

Пусть выполняется условие:

{x|h(x)≥αi}=Fαi.

В этом случае справедливо следующее. Если f(x) – плотность нечеткой меры, значение нечеткого интеграла от h(x) по нечеткой мере равно значению , для которого справедливо:

, , (6)

где

.

Правая часть (6) зависит только от значений α и λ и может быть получена заранее в числовом виде в форме таблицы или графика. Левая часть (6) представляет собой отношение области, определяемой уровневым множеством Hα, ко всей области определения функции плотности нечеткой меры f(x).

Использование (6), таким образом, может облегчить организацию вычисления нечеткого интеграла [1].

В качестве примеров рассмотрим вычисления нечеткого интеграла для конечных множеств в случаях gλ- и gv-мep.

Пусть задано пятиэлементное множество X={хi}, i{1, 2, 3, 4, 5}. Каждому элементу хiX соответствуют значения нечетких плотнос­тей gi из табл.1.

 Таблица 1

i

1

2

3

4

5

gi

0,170

0,257

0,216

0,212

0,061

h(хi)

0,5

0,7

0,1

0,2

0,3

 

Согласно условию нормировки для gi-меры получаем λ=0,25. Зна­чение нечеткого интеграла , где , Θα={i|h(xi)≥α},, принимает значение S=0,4379.

Для gv-мepы из условия нормировки можно получить

При этом значение нечеткого интеграла для gv -меры S = 0,448 [2].

 

Литература

Бочарников В.П. Fuzzy-технология: Математические основы. Практика моделирования в экономике. Санкт-Петер6ург: «Наука» РАН, 2001.- 328 с.

Павлов А.Н., Соколов Б.В. Принятие решений в условиях нечеткой информации. ГУАП- СПб., 2006 - 72 с.

Яхъяева Г.Э. Нечеткие множества и нейронные сети.– М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008.- 320 с.

 

Основные термины (генерируются автоматически): нечеткий интеграл, нечеткая мера, FEV, множество, вероятностная мера, нечеткое множество, нечеткое подмножество, условие нормировки, интеграл, мера.


Похожие статьи

К вопросу о классификации пространств с нечеткими мерами

При решении многих задач анализа сложных систем в условиях неопределенности широко используются методы теории вероятностей и математической статистики. Эти методы предполагают вероятностную интерпретацию обрабатываемых данных и полученных...

Формирование методов и задач компьютерного зрения...

Рассмотрены методы и задачи повышения качества, выделения контуров и сегментация изображений на основе нечетких множеств. Разработана структурная схема основных функциональных подсистем с учетом “мягких вычислений”.

Применение теории нечетких множеств для диагностирования...

В статье представлены применения теории нечетких множеств, на основе FuzzyToolboxпрограммы Matlab-Simulinkдля диагностирования гидроусилителя рулевой системы транспортных средств.

Нечеткое управление элементом Пельтье | Статья в журнале...

Ключевые слова: термоэлектрический элемент, измерение температуры, нечеткое управление. На рынке представлено множество решений классических линейных пропорционально-интегрально-дифференцирующих регуляторов. ПИД-регулятор — это чаще...

Разработка алгоритма для управляющих действий боковым...

Нечеткое отношение R определяется как нечеткое подмножество, принимающее свои значения в М, то есть , где — плотность нечеткости, значение которой понимается как субъективная мера отношения...

Мягкая вероятность ошибки при приближённых описаниях объектов

Событием будем называть подмножество множества

Поэтому и понятие приближенной дисперсии удобно формулировать, как меру отклонения случайной величины от некоторого отрезка, а не от приближенного среднего.

Конечность одномерного интеграла, зависящего от параметра

В силу непрерывности функции на компактном множестве , существует число такое, что имеет место неравенство.

. Рассуждая аналогично можно указать условия существования интеграла.

О понятии нечеткого интеграла.

Применение экстремальных значений интеграла Шоке при...

В современных условиях экономического развития России, характеризующихся усиливающимися санкционными мерами

Целью задачи является нахождение подмножества допустимого множества, на котором значение интеграла лежит в некотором заданном варианте

О квадратурных формулах, использующих значения производных...

(1.1). Из условия существования производных следует, что для функции f(x) существует определенный интеграл.

Из таблицы 3 видно, что по мере увеличения порядка используемых производных m, которые определяют порядок метода, значения интегралов Im стремятся к...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

К вопросу о классификации пространств с нечеткими мерами

При решении многих задач анализа сложных систем в условиях неопределенности широко используются методы теории вероятностей и математической статистики. Эти методы предполагают вероятностную интерпретацию обрабатываемых данных и полученных...

Формирование методов и задач компьютерного зрения...

Рассмотрены методы и задачи повышения качества, выделения контуров и сегментация изображений на основе нечетких множеств. Разработана структурная схема основных функциональных подсистем с учетом “мягких вычислений”.

Применение теории нечетких множеств для диагностирования...

В статье представлены применения теории нечетких множеств, на основе FuzzyToolboxпрограммы Matlab-Simulinkдля диагностирования гидроусилителя рулевой системы транспортных средств.

Нечеткое управление элементом Пельтье | Статья в журнале...

Ключевые слова: термоэлектрический элемент, измерение температуры, нечеткое управление. На рынке представлено множество решений классических линейных пропорционально-интегрально-дифференцирующих регуляторов. ПИД-регулятор — это чаще...

Разработка алгоритма для управляющих действий боковым...

Нечеткое отношение R определяется как нечеткое подмножество, принимающее свои значения в М, то есть , где — плотность нечеткости, значение которой понимается как субъективная мера отношения...

Мягкая вероятность ошибки при приближённых описаниях объектов

Событием будем называть подмножество множества

Поэтому и понятие приближенной дисперсии удобно формулировать, как меру отклонения случайной величины от некоторого отрезка, а не от приближенного среднего.

Конечность одномерного интеграла, зависящего от параметра

В силу непрерывности функции на компактном множестве , существует число такое, что имеет место неравенство.

. Рассуждая аналогично можно указать условия существования интеграла.

О понятии нечеткого интеграла.

Применение экстремальных значений интеграла Шоке при...

В современных условиях экономического развития России, характеризующихся усиливающимися санкционными мерами

Целью задачи является нахождение подмножества допустимого множества, на котором значение интеграла лежит в некотором заданном варианте

О квадратурных формулах, использующих значения производных...

(1.1). Из условия существования производных следует, что для функции f(x) существует определенный интеграл.

Из таблицы 3 видно, что по мере увеличения порядка используемых производных m, которые определяют порядок метода, значения интегралов Im стремятся к...

Задать вопрос