Логарифмический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Статья посвящена новому методу решения некоторых видов дифференциальных уравнений, в частности, обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Перед рассмотрением метода надлежит указать некоторые известные формулы и провести некоторые уточнения.

Формула интегрирования неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка

 

имеет вид

                                                                                                    (1)

Формула интегрирования уравнения Бернулли

 

имеет вид

                                                                     (2)

В этой статье будут рассматриваться лишь обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида .

Функция , в данной статье, всегда будет функцией от переменной , и соответственно, будут рассматриваться лишь производные функций по переменной ,

т. е. ,

,

где  — некоторые функции от переменной x.

Изложение логарифмического метода.

Суть метода состоит в использовании свойства сложения натуральных логарифмов и свойства сложения производных.

Как мы знаем,

, где ,- функции от ,

Исходя из этих двух простых свойств сложения производных и сложения натуральных логарифмов, будем иметь тождество

                                                             (3)

Таким образом, если в некотором дифференциальном уравнении удалось преобразовать некоторые два слагаемых в виде , то тождеством (3) возможно воспользоваться, что существенно облегчает процесс решения дифференциального уравнения в некоторых случаях.

Рассмотрим три относительно простых случая, когда логарифмический метод применим к решению дифференциальных уравнений первого порядка:

1.                 Интегрирование неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка логарифмическим методом.

Пусть дано уравнение:

Его можно преобразовать следующим образом:

Так как

^,

то уравнение легко можно преобразовать в следующем виде:

,

после чего воспользоваться свойствами сложения суммы производных и сложения суммы натуральных логарифмов:

Учитывая тождество:

будем иметь:

        

 

Доказательством логарифмического метода в данном случае служит сходство конечной формулы метода с формулой (1).

Пример 1:

Окончательный ответ:

Интегрирование данного уравнения сразу по формуле

дает аналогичный результат:

2. Интегрирование уравнений Бернулли логарифмическим методом:

 

Решение аналогично с первым, ранее рассмотренным, случаем:

Выполним подстановку:

Тогда уравнение примет вид:

Поскольку , то окончательно находим:

Пример 2:

Окончательно: .

Тогда полным решением будет система:

3.      Интегрирование логарифмическим методом уравнения вида:

 (4)

Выполним несколько простых действий:

  

далее подстановка:

Интегрируя и возвращаясь к подстановке, будем иметь

Пример 3:

Подстановка:

Возвращаясь к подстановке,

Окончательный результат:

Следует отметить, что существует более общий вид уравнения (4):

  (5)

Уравнение (5) сводиться к уравнению (4) подстановкой:

После подстановки уравнение (5) приобретает вид:

 

и, очевидно, интегрируется указанным ранее методом.

Литература:

1.                  Чарльз Генри Эдвардс и Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. 3-е издание.: Пер. с англ. — М.: ООО «И. Д. Вильямс», 2008. — 1104 с.

2.                  Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Изд-во: Физматгиз, 1959 г.

3.                  Натансон И. П. Краткий курс высшей математики. Изд-во: Лань, 2001 г. — 727 с.