Логарифмический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №7 (54) июль 2013 г.

Статья просмотрена: 752 раза

Библиографическое описание:

Пономаренко А. Н. Логарифмический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка // Молодой ученый. — 2013. — №7. — С. 3-5. — URL https://moluch.ru/archive/54/7336/ (дата обращения: 19.09.2018).

Статья посвящена новому методу решения некоторых видов дифференциальных уравнений, в частности, обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Перед рассмотрением метода надлежит указать некоторые известные формулы и провести некоторые уточнения.

Формула интегрирования неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка

 

имеет вид

                                                                                                    (1)

Формула интегрирования уравнения Бернулли

 

имеет вид

                                                                     (2)

В этой статье будут рассматриваться лишь обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида .

Функция , в данной статье, всегда будет функцией от переменной , и соответственно, будут рассматриваться лишь производные функций по переменной ,

т. е. ,

,

где  — некоторые функции от переменной x.

Изложение логарифмического метода.

Суть метода состоит в использовании свойства сложения натуральных логарифмов и свойства сложения производных.

Как мы знаем,

, где ,- функции от ,

Исходя из этих двух простых свойств сложения производных и сложения натуральных логарифмов, будем иметь тождество

                                                             (3)

Таким образом, если в некотором дифференциальном уравнении удалось преобразовать некоторые два слагаемых в виде , то тождеством (3) возможно воспользоваться, что существенно облегчает процесс решения дифференциального уравнения в некоторых случаях.

Рассмотрим три относительно простых случая, когда логарифмический метод применим к решению дифференциальных уравнений первого порядка:

1.                 Интегрирование неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка логарифмическим методом.

Пусть дано уравнение:

Его можно преобразовать следующим образом:

Так как

,

то уравнение легко можно преобразовать в следующем виде:

,

после чего воспользоваться свойствами сложения суммы производных и сложения суммы натуральных логарифмов:

Учитывая тождество:

будем иметь:

*        

* 

Доказательством логарифмического метода в данном случае служит сходство конечной формулы метода с формулой (1).

Пример 1:

Окончательный ответ:

Интегрирование данного уравнения сразу по формуле

дает аналогичный результат:

  1. Интегрирование уравнений Бернулли логарифмическим методом:

 

Решение аналогично с первым, ранее рассмотренным, случаем:

Выполним подстановку:

Тогда уравнение примет вид:

Поскольку , то окончательно находим:

Пример 2:

Окончательно: .

Тогда полным решением будет система:

3.      Интегрирование логарифмическим методом уравнения вида:

 (4)

Выполним несколько простых действий:

*

*  

далее подстановка:

*

*

Интегрируя и возвращаясь к подстановке, будем иметь

*

*

Пример 3:

*

*

*

Подстановка:

*

*

Возвращаясь к подстановке,

*

Окончательный результат:

*

Следует отметить, что существует более общий вид уравнения (4):

  (5)

Уравнение (5) сводиться к уравнению (4) подстановкой:

После подстановки уравнение (5) приобретает вид:

 

и, очевидно, интегрируется указанным ранее методом.

Литература:

1.                  Чарльз Генри Эдвардс и Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. 3-е издание.: Пер. с англ. — М.: ООО «И. Д. Вильямс», 2008. — 1104 с.

2.                  Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Изд-во: Физматгиз, 1959 г.

3.                  Натансон И. П. Краткий курс высшей математики. Изд-во: Лань, 2001 г. — 727 с.

Основные термины (генерируются автоматически): логарифмический метод, дифференциальное уравнение первого порядка, функция, уравнение, вид, подстановка, неоднородное линейное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение.


Похожие статьи

Улучшение логарифмического метода для дифференциальных...

В статье представлены усовершенствованные варианты логарифмических методов решения некоторых видов дифференциальных уравнений. Здесь и далее: , ... — известные интегрируемые функции, — неизвестная функция, , – вещественные постоянные...

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод...

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков. Логарифмический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Решение дифференциальных уравнений методом...

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, уравнение, функция, решение, обыкновенное дифференциальное уравнение, область Г плоскости, неизвестная

Улучшение логарифмического метода для дифференциальных уравнений.

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных...

Метод дифференциальной прогонки развивается для решения широкого класса краевых задач дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами. В ряде прикладных задач показывается эффективность предлагаемого метода как способа алгоритм...

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений...

В литературе освещен вопрос о существования и построения асимптотических решений систем линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков [1;3]. Что же касается систем уравнений высших порядков, то они изучены мало.

Классификация линейных однородных систем...

В статье получен алгоритм решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений, который использует жорданову нормальную форму матрицы этой системы и получено классификацию решений такой системы третьего порядка.

Система дифференциальных уравнений с частными...

Познакомимся с системой линейных дифференциальных уравнений с частными производными с запаздывающим аргументом. Покажем решения таких систем методом последовательных приближений.

Расчет дифференциальных уравнений химической кинетики...

Решение дифференциальных уравнений методом последовательностей.

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков. Улучшение логарифмического метода для дифференциальных уравнений.

О методе решения линейных интегральных уравнений...

Эта статья посвящена изложению метода решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных высшего порядка с запаздывающим аргументом.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Улучшение логарифмического метода для дифференциальных...

В статье представлены усовершенствованные варианты логарифмических методов решения некоторых видов дифференциальных уравнений. Здесь и далее: , ... — известные интегрируемые функции, — неизвестная функция, , – вещественные постоянные...

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод...

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков. Логарифмический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Решение дифференциальных уравнений методом...

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, уравнение, функция, решение, обыкновенное дифференциальное уравнение, область Г плоскости, неизвестная

Улучшение логарифмического метода для дифференциальных уравнений.

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных...

Метод дифференциальной прогонки развивается для решения широкого класса краевых задач дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами. В ряде прикладных задач показывается эффективность предлагаемого метода как способа алгоритм...

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений...

В литературе освещен вопрос о существования и построения асимптотических решений систем линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков [1;3]. Что же касается систем уравнений высших порядков, то они изучены мало.

Классификация линейных однородных систем...

В статье получен алгоритм решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений, который использует жорданову нормальную форму матрицы этой системы и получено классификацию решений такой системы третьего порядка.

Система дифференциальных уравнений с частными...

Познакомимся с системой линейных дифференциальных уравнений с частными производными с запаздывающим аргументом. Покажем решения таких систем методом последовательных приближений.

Расчет дифференциальных уравнений химической кинетики...

Решение дифференциальных уравнений методом последовательностей.

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков. Улучшение логарифмического метода для дифференциальных уравнений.

О методе решения линейных интегральных уравнений...

Эта статья посвящена изложению метода решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных высшего порядка с запаздывающим аргументом.

Задать вопрос