Статья посвящена новому методу решения некоторых видов дифференциальных уравнений, в частности, обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Перед рассмотрением метода надлежит указать некоторые известные формулы и провести некоторые уточнения.
Формула интегрирования неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка
имеет вид
(1)
Формула интегрирования уравнения Бернулли
имеет вид
(2)
В этой статье будут рассматриваться лишь обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида 
.
Функция 
, в данной статье, всегда будет функцией от переменной 
, и соответственно, будут рассматриваться лишь производные функций по переменной ,
т. е. 
,
,
где 
— некоторые функции от переменной x.
Изложение логарифмического метода.
Суть метода состоит в использовании свойства сложения натуральных логарифмов и свойства сложения производных.
Как мы знаем,
, где 
,
- функции от ,
Исходя из этих двух простых свойств сложения производных и сложения натуральных логарифмов, будем иметь тождество
(3)
Таким образом, если в некотором дифференциальном уравнении удалось преобразовать некоторые два слагаемых в виде 
, то тождеством (3) возможно воспользоваться, что существенно облегчает процесс решения дифференциального уравнения в некоторых случаях.
Рассмотрим три относительно простых случая, когда логарифмический метод применим к решению дифференциальных уравнений первого порядка:
1. Интегрирование неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка логарифмическим методом.
Пусть дано уравнение:
Его можно преобразовать следующим образом:
Так как
,
то уравнение легко можно преобразовать в следующем виде:
,
после чего воспользоваться свойствами сложения суммы производных и сложения суммы натуральных логарифмов:
Учитывая тождество:
будем иметь:
Доказательством логарифмического метода в данном случае служит сходство конечной формулы метода с формулой (1).
Пример 1:
Окончательный ответ:
Интегрирование данного уравнения сразу по формуле
дает аналогичный результат:
- Интегрирование уравнений Бернулли логарифмическим методом:
Решение аналогично с первым, ранее рассмотренным, случаем:
Выполним подстановку: 
Тогда уравнение примет вид: 
Поскольку , то окончательно находим:
Пример 2:
Окончательно: 
.
Тогда полным решением будет система: 
3. Интегрирование логарифмическим методом уравнения вида:
(4)
Выполним несколько простых действий:
далее подстановка: 
Интегрируя и возвращаясь к подстановке, будем иметь
Пример 3:
Подстановка: 
Возвращаясь к подстановке,
Окончательный результат:
Следует отметить, что существует более общий вид уравнения (4):
(5)
Уравнение (5) сводиться к уравнению (4) подстановкой: 
После подстановки уравнение (5) приобретает вид:
и, очевидно, интегрируется указанным ранее методом.
Литература:
1. Чарльз Генри Эдвардс и Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. 3-е издание.: Пер. с англ. — М.: ООО «И. Д. Вильямс», 2008. — 1104 с.
2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Изд-во: Физматгиз, 1959 г.
3. Натансон И. П. Краткий курс высшей математики. Изд-во: Лань, 2001 г. — 727 с.
