Библиографическое описание:

Пономаренко А. Н. Логарифмический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка // Молодой ученый. — 2013. — №7. — С. 3-5.

Статья посвящена новому методу решения некоторых видов дифференциальных уравнений, в частности, обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Перед рассмотрением метода надлежит указать некоторые известные формулы и провести некоторые уточнения.

Формула интегрирования неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка

 

имеет вид

                                                                                                    (1)

Формула интегрирования уравнения Бернулли

 

имеет вид

                                                                     (2)

В этой статье будут рассматриваться лишь обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида .

Функция , в данной статье, всегда будет функцией от переменной , и соответственно, будут рассматриваться лишь производные функций по переменной ,

т. е. ,

,

где  — некоторые функции от переменной x.

Изложение логарифмического метода.

Суть метода состоит в использовании свойства сложения натуральных логарифмов и свойства сложения производных.

Как мы знаем,

, где ,- функции от ,

Исходя из этих двух простых свойств сложения производных и сложения натуральных логарифмов, будем иметь тождество

                                                             (3)

Таким образом, если в некотором дифференциальном уравнении удалось преобразовать некоторые два слагаемых в виде , то тождеством (3) возможно воспользоваться, что существенно облегчает процесс решения дифференциального уравнения в некоторых случаях.

Рассмотрим три относительно простых случая, когда логарифмический метод применим к решению дифференциальных уравнений первого порядка:

1.                 Интегрирование неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка логарифмическим методом.

Пусть дано уравнение:

Его можно преобразовать следующим образом:

Так как

,

то уравнение легко можно преобразовать в следующем виде:

,

после чего воспользоваться свойствами сложения суммы производных и сложения суммы натуральных логарифмов:

Учитывая тождество:

будем иметь:

*        

* 

Доказательством логарифмического метода в данном случае служит сходство конечной формулы метода с формулой (1).

Пример 1:

Окончательный ответ:

Интегрирование данного уравнения сразу по формуле

дает аналогичный результат:

  1. Интегрирование уравнений Бернулли логарифмическим методом:

 

Решение аналогично с первым, ранее рассмотренным, случаем:

Выполним подстановку:

Тогда уравнение примет вид:

Поскольку , то окончательно находим:

Пример 2:

Окончательно: .

Тогда полным решением будет система:

3.      Интегрирование логарифмическим методом уравнения вида:

 (4)

Выполним несколько простых действий:

*

*  

далее подстановка:

*

*

Интегрируя и возвращаясь к подстановке, будем иметь

*

*

Пример 3:

*

*

*

Подстановка:

*

*

Возвращаясь к подстановке,

*

Окончательный результат:

*

Следует отметить, что существует более общий вид уравнения (4):

  (5)

Уравнение (5) сводиться к уравнению (4) подстановкой:

После подстановки уравнение (5) приобретает вид:

 

и, очевидно, интегрируется указанным ранее методом.

Литература:

1.                  Чарльз Генри Эдвардс и Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. 3-е издание.: Пер. с англ. — М.: ООО «И. Д. Вильямс», 2008. — 1104 с.

2.                  Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Изд-во: Физматгиз, 1959 г.

3.                  Натансон И. П. Краткий курс высшей математики. Изд-во: Лань, 2001 г. — 727 с.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнения первого порядка, дифференциальных уравнений, нелинейных дифференциальных уравнений, дифференциального уравнения, систем нелинейных дифференциальных, сложения производных, асимптотическом поведении решений, решений систем нелинейных, поведении решений систем, дифференциального уравнения первого, натуральных логарифмов, дифференциального уравнения в некоторых, дифференциальные уравнения первого, сложения натуральных логарифмов, дифференциальных уравнений первого, и свойства сложения производных, свойств сложения производных, Дифференциальные уравнения и краевые, производных высшего порядка, уравнения вида.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос