Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №16 (75) октябрь-1 2014 г.

Дата публикации: 03.10.2014

Статья просмотрена: 1212 раз

Библиографическое описание:

Алишев А. Г., Якубова Н. М. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков // Молодой ученый. — 2014. — №16. — С. 1-4. — URL https://moluch.ru/archive/75/12860/ (дата обращения: 14.12.2018).

В литературе освещен вопрос о существования и построения асимптотических решений систем линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков [1;3]. Что же касается систем уравнений высших порядков, то они изучены мало. Сведение таких систем к системам первого порядка повышает степень характеристического уравнения. Кроме того, такие сведение приводит к очень громоздким вычислениям.

Системы линейных дифференциальных уравнений высших порядка изучены в работе [4].

В данной работе исследуются системы нелинейных дифференциальных уравнений порядка  вида

(1)

где х, f — n- мерный векторы, из них  искомый, A(τ,ε) — n- мерный квадратный матрицы, ε>0малые параметр, медленные время,  натуральный, L>0 данный число, A(τ,ε) — квадратная матрица n-го порядка, допускаются разложения

(2)

Известно, что структура формальных, в смысле [1,2]частных решений системы (1) тесно связана с поведением корней так называемого характеристического уравнения

det [A(τ)-λE]=0,                                                                                                         (3)

где E — единичная матрица.

В настоящей работе рассматривается вопрос построения решения системы (1) при наличии нулевого корня уравнение (3), т. е. так называемый критический случай [5]. Этот случай, для системы вида (1) в литературе не рассматривались. Поэтому несомненно представляет определенный интерес исследование систем вида (1), к которым приводятся некоторые задачи физики и техники.

В дальнейшем будем считать, что выполняются условия:

1.         Матрицы на отрезке [0,L] неограниченное число раз дифференцируемы;

2.         ƒ(τ,x,ε) вектор в области , где P(τ,x) — некоторая область пространства переменных τ, x неограниченно дифференцируемых;

3.         При  корни уравнение (3) удовлетворяют условия

(4)

4.         ,                                                                    (5)

где (см. [3]), для функции дадим пояснение несколько позже.

Справедлива теорема.

Теорема 1. Если для системы дифференциальных уравнений (1) выполняются условия 1–4, то уравнения (1) имеет формальные частные решение вида

(6)

Доказательства. Подставляя (6) в (1), раскладывая векторƒ(τ,u(τ,ε),o) в ряд Тейлора в окрестности точки ив полученном разложении собираем члены с одинаковыми степенями ε. Итак, имеет соотношение

(7)

где элементы матрицы  и компоненты вектора  вычисляются в точке ,авектор(s=2,3,…) выражаются определённым образом через .

Приравнивая коэффициенты при, одинаковых степенях ε в равенства (7), получим рекуррентные уравнения для определения неизвестных элементов ряда (6).

,(8)

,(9)

,(10)

..................…………………………………………….                                               

,(11)

где

Покажем разрешимость этих уравнений, из уравнения (8) согласно [6], находим

,(12)

где - произвольные, отличные от нуля , функции, которые определяем на следующем иначе.

Уравнение (9), с учетом (12) имеет вид

(13)

Для разрешимости уравнения (13) необходимо и достаточно для выполнения условия разрешимости вида

(14)

Отсюда имеем

(15)

Таким образом, получаем нелинейное алгебраическое уравнение относительно неизвестных функции .

Предположим, что для уравнения (15) выполняются все условия теоремы о неявной функции [7] и определим . Так как условие разрешимости для уравнения (13)имеет место, то находим

,(16)

где

,

 — неизвестная функция, которая определяется наследующем шаге, а  — обобщенно-обратная матрица к матрице , имеющая вид

,                                                                        (17)

здесь - знак тензорного произведения векторов и  из .

Учитывая (16), уравнение (10)запишем так

(18)

Согласно условию разрешимости вида (14), получаем алгебраическое уравнение для определения

.                                                   (19)

Отсюда с учетом (5) имеем

                                                                            (20)

Условие (19) для уравнения (18) имеет место, то из уравнения (18) находим

,                                                                                            (21)

где

,

а , как предыдущая неизвестная функция, определяется на следующем шаге.

Продолжая этот процесс, из (11) получаем уравнения для определения элементов ряда (6), т. е.

,                                    (22)

где

.

Пусть для уравнения (22) выполняется условие вида (14)

.                                              (23)

Отсюда получим

.                                          (24)

Из уравнения (24) определим неизвестная функции :

.                                                                   (25)

Так как для уравнения (22) условия (23) выполняются, то находим

,                                                                                              (26)

где

,

а  неизвестная функция, определяется на следующем шаге.

Описанная здесь схема решения показывает, как можно найти элементы формального ряда (6), т. е. векторы  с любым номером . Теорема 1 доказана.

В заключение рассматриваемого вопроса сформулируем теорему, указывающую на асимптотический характер построенного решения (6).

Теорема 2. Пуст для системы дифференциальных уравнений(1) выполняются условия теоремы 1 и вектор-функция  удовлетворяет условия Липшица с постоянной l:

                                                                  (27)

а также

, , ,                                           (28)

где  — точное,  — m- приближенное решение системы (1). Тогда для произвольногоL>0 существует постоянная c>0, независящая от ε и такая, что ,  имеют место неравенства

,                                                                                          (29)

                                                                                               (30)

Литература:

1.       Боголюбов Н. И., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974, — 504 с.

2.       Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Ныколенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. — К: Наукова думка, 1966, — 252 с.

3.       Сотниченко Н. А., Фешенко С. Ф. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений. — К: 1980, — 48 с. — /Препринт/ А. Н. УCCР, Ин-т математики; 80. 3/.

4.       Шкиль Н. И., Кушнир В. А. Об асимптотическом решении систем линейных дифференциальных уравнений высших порядков в случае кратных корней характеристического уравнения. — В сб.: Суммирование расходящихся рядов и дифференциальные уравнения с малым параметром. К.: КГПН, 1985, с. 112–118.

5.       Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярной возмущение уравнения в критических случаях. — Изд. МГУ, 1978. — 107 с.

6.       Алишев А. Г. Решение нелинейных дифференциальных уравнений. Дробного ранга. ДАН. УССР. Сер А, № 6, 1982, с. 6–9.

7.       Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — М: Наука, т.1. 1968, –464 с.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, неизвестная функция, система, система вида, теорема, условие теоремы.


Похожие статьи

Теорема 2. Пусть для системы дифференциальных уравнении...

Тогда уравнение (1) имеет формальные частные решение вида. (6). Для доказательство теоремы-1, подставляем (6) в систему (1), раскладываем

. (16). Так как для уравнение (12) выполнятся, условия (13) то находим. (17). где неизвестная функция, определяющаяся на...

Построение формальных решений системы нелинейных...

уравнение, неизвестная функция, система, вектор, точное решение системы, условие теоремы, Теорема, матрица, вид, частное решение системы.

Построение асимптотических решений системы нелинейных...

(16). получаем относительно неизвестной функции , однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида. (17).

Теорема 2. Пусть для системы (1) выполнены условия теоремы 1 и следующие

Теорема 2. Пусть , тогда система уравнений (11) имеет закон...

Теорема 1. Система уравнений (1), которая имеет закон сохранения нулевого порядка (3), точечными преобразованиями приводится к системе вида: (3). Доказательство.

Исследование статической задачи несимметричной теории...

Теорема. Если уравнения равновесия (1.16), (1.17) удовлетворяются только на границе

2. Условия эллиптичности системы обобщенных уравнений совместности.

Пусть задана система уравнений [4] с неизвестными функциями с независимыми переменными .

Качественное исследование двумерной системы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений. (1). где. - вещественное числа. Система (1) исследована в работе [2] при условии , а также в роботе [3]

Т.о. имеет место: Теорема 2. Пусть , -нечетное число. Тогда нулевое решение системы (1) при асимптотически устойчиво.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

Определение 2. Регулярным в области решением системы (1) назовем функцию , удовлетворяющую условиям (3) – (5), и, кроме того, производные непрерывны на множествах соответственно. Теорема.

Построение периодических решений для квазилинейных...

(16). Уравнение (11), представляющее условие существования периодического решения этой системы, запишется в виде. (17).

Теорема Пусть функция дважды дифференцируема по и пусть вместе с уравнением (20) рассматривается другое решение. (22).

Разрешимость одной краевой задачи для...

Оператор называется коэрцитивным, если для любого выполняется неравенство , где — некоторая функция, удовлетворяющая условию .

Будут получены признаки разрешимости задачи (3), основанные на теореме Браудера [3]. Определение 6.1–6.2.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Теорема 2. Пусть для системы дифференциальных уравнении...

Тогда уравнение (1) имеет формальные частные решение вида. (6). Для доказательство теоремы-1, подставляем (6) в систему (1), раскладываем

. (16). Так как для уравнение (12) выполнятся, условия (13) то находим. (17). где неизвестная функция, определяющаяся на...

Построение формальных решений системы нелинейных...

уравнение, неизвестная функция, система, вектор, точное решение системы, условие теоремы, Теорема, матрица, вид, частное решение системы.

Построение асимптотических решений системы нелинейных...

(16). получаем относительно неизвестной функции , однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида. (17).

Теорема 2. Пусть для системы (1) выполнены условия теоремы 1 и следующие

Теорема 2. Пусть , тогда система уравнений (11) имеет закон...

Теорема 1. Система уравнений (1), которая имеет закон сохранения нулевого порядка (3), точечными преобразованиями приводится к системе вида: (3). Доказательство.

Исследование статической задачи несимметричной теории...

Теорема. Если уравнения равновесия (1.16), (1.17) удовлетворяются только на границе

2. Условия эллиптичности системы обобщенных уравнений совместности.

Пусть задана система уравнений [4] с неизвестными функциями с независимыми переменными .

Качественное исследование двумерной системы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений. (1). где. - вещественное числа. Система (1) исследована в работе [2] при условии , а также в роботе [3]

Т.о. имеет место: Теорема 2. Пусть , -нечетное число. Тогда нулевое решение системы (1) при асимптотически устойчиво.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

Определение 2. Регулярным в области решением системы (1) назовем функцию , удовлетворяющую условиям (3) – (5), и, кроме того, производные непрерывны на множествах соответственно. Теорема.

Построение периодических решений для квазилинейных...

(16). Уравнение (11), представляющее условие существования периодического решения этой системы, запишется в виде. (17).

Теорема Пусть функция дважды дифференцируема по и пусть вместе с уравнением (20) рассматривается другое решение. (22).

Разрешимость одной краевой задачи для...

Оператор называется коэрцитивным, если для любого выполняется неравенство , где — некоторая функция, удовлетворяющая условию .

Будут получены признаки разрешимости задачи (3), основанные на теореме Браудера [3]. Определение 6.1–6.2.

Задать вопрос