Библиографическое описание:

Пономаренко А. Н. Улучшение логарифмического метода для дифференциальных уравнений // Молодой ученый. — 2014. — №14. — С. 19-24.

В статье представлены усовершенствованные варианты логарифмических методов решения некоторых видов дифференциальных уравнений.

Здесь и далее: , ,

,

, ,

 — известные интегрируемые функции,  — неизвестная функция, ,

*– вещественные постоянные, – константы интегрирования.

1. Интегрирование улучшенным вариантом логарифмического метода уравнений вида:

  (1)

Улучшенный метод решения:

Полагая , и разделяя уравнение (1) на :

Далее действия очевидны:

 (1.1)

Интегрируя:

Окончательно:

Вторым решением будет, очевидно:

* 

1.1. Если , то уравнение (1) будет иметь вид

 (2)

Метод интегрирования: так как, по предположению, , то и , и уравнение (2) может быть представлено в виде

Далее действия сходные с предыдущими:

, что равносильно , далее

 (3)

В данном случае метод был показан только для целых чисел  в уравнении (1), за исключением . Действия, подобные указанным, очевидно, применимы и к случаю, когда  — любое вещественное число, не равное единице, если после шага (1.1) сразу дифференцировать первое слагаемое по правилу дифференцирования логарифма. Но это затем приведет к долгим и не интересным выкладкам. В 4-м пункте статьи будет показан менее громоздкий вариант метода, который устраняет лишние действия.

2. Улучшенный метод интегрирования уравнения вида:

 

Ход метода:

Интегрируя:

Окончательно:

3. Уравнения вида:

 

Метод интегрирования: в этом случае допустимо подставить , тогда уравнение будет иметь вид:

Далее действия очевидны:

Подстановка  приводит последнее уравнение к уравнению вида (1) [при , , ], и его решение по соответствующей формуле будет:

,

возвращаясь к подстановке:

, где

4. Частные случаи хода логарифмического метода:

4.1. Решая аналогично уравнение (2), придем (при ) к уравнению

Оно будет равносильно уравнению:

Его можно представить в виде:

 

В свою очередь, ,

Тогда, если , то .

Если , то ,

так как  — однозначная комплексная постоянная, а значит допустимо дифференцирование по комплексной функции, а дифференциал от комплексной постоянной равен нулю. Исходя из этого, во всех вариантах логарифмического метода решения дифференциальных уравнений, выражение  может быть в данных случаях всегда заменено выражением , и наоборот. На результат это не повлияет. Аналогично обстоит дело и с , которое при дифференцировании, так же как и , тоже обращается в . Исходя из этого, полученное уравнение  может быть заменено равносильным ему , где , в зависимости от того, предположено ли , или  соответственно. Далее, по формуле сложения производных: , или

, где

Далее действия очевидны:

,

4.2. Так как , то первый метод решения уравнений вида , где  — будет теперь любое вещественное число, удовлетворяющее условию , может быть заменен более облегченным;

Полагая , и разделяя уравнение на :

Интегрируя:

Окончательно:

В только что описанном варианте метода уже нет лишних элементарных преобразований, которые нисколько не интересны и лишь увеличивают количество действий.

4.3. Аналогичным пошаговым упрощенным методом для уравнений вида

будет (полагая ) следующий:

4.4. Уравнение

 (4)

тоже может быть решено логарифмическим методом, если избавится от модуля под знаком дифференциала логарифма. Если , то исходное уравнение будет равносильно ; затем пошаговыми действиями выводится конечное решение: , , после чего допустима подстановка .

Окончательное решение: , а также . Подстановка  дает то же решение.

Общим видом уравнения (4) является:

  (5)

Метод решения:

 

, где ,

а решением последнего уравнения служит формула (3).

Выбор же , или в качестве первого слагаемого в первом шаге решения уравнений (4), или (5), снова приводит ко многим лишним действиям.

Литература:

1.      Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Изд-во: Физматгиз, 1959 г.

2.      Пономаренко А. Н. Логарифмический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Журнал «Молодой ученый» (№ 7 (54), июль 2013 г.), с. 3–5.

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальных уравнений, решения уравнений, логарифмического метода, уравнений вида, решения дифференциальных уравнений, видов дифференциальных уравнений, метод решения уравнений, дифференциальных уравнений первого, Улучшение логарифмического метода, шаге решения уравнений, вещественное число, метод интегрирования уравнения, громоздкий вариант метода, правилу дифференцирования логарифма, логарифмических методов решения, пошаговым упрощенным методом, комплексной постоянной равен, знаком дифференциала логарифма, формуле сложения производных, однозначная комплексная постоянная.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос