Библиографическое описание:

Салиев Э. А., Савурбаев А., Ташпулатов М. А., Кувандиков Ж. Т. Численное моделирование и исследование переходных процессов при высокоскоростном ударе цилиндрического тела о жесткую преграду // Молодой ученый. — 2013. — №6. — С. 138-142.

Разработаны алгоритмы и комплекс программ для моделирования на ПК переходных процессов в твёрдом деформируемом теле. Решается задача об ударе цилиндрического тела о жесткую преграду с учётом выхода переднего фронта волны за зону контакта, когда на границе заданы предельные условия взаимодействия: 1) полное прилипание и 2) отсутствие трения.

Algorithms and complex of programs for modeling on the IT of transients process in rigid deformable body are developed. The task about impact of a cylindrical body to rigid barrier is solved in content of exit of a forward wave front out of a zone of contact when on boundary conditions of interaction are set: 1) a full adhesion and 2) lack of friction.

Интерес к задачам высокоскоростного соударения деформируемых тел продиктован необходимостью детального изучения протекающих при этом переходных процессов. Именно в эти промежутки времени происходят возрастания напряжений и температур до максимальных значений, переход материалов из одного состояния в другое, развивается зона контакта. Знание этих закономерностей служат при расчётах на прочность деталей машин, подвергающихся в процессе работы ударным нагрузкам и различного рода конструкций, внедряющихся с малыми и большими скоростями в деформируемую среду, при создании противометеоритной защиты космических аппаратов и. т.п.

Как известно, стремления к математическому моделированию переходных процессов при ударе в особенности проявляется в тех областях знания, где прямой эксперимент, позволяющий собрать достаточно полную и объективную информацию об исследуемой реальности, практически невозможен. Кроме того, в случаях когда уравнения состояния среди часто самоопределяется путём изучения распространения пластических волн, возникают трудности правильной интерпретации экспериментальных данных, полученных в условиях высоких скоростей нагружения, когда необходимо учитывать процесс распространения волн. Объяснения этих явлений способствуют развитию теории распространения упругопластических волн и распространения ударных волн, допущениях и позволяющем в то же время ставить разрешаемые математические задачи.

При классическом подходе исследование сплощных сред, начинают обычно с изучения свойств бесконечно малых элементов рассматрываемой области, устанавливают соотношения между средними значениями различных величин, связанных с рассматриваемыми бесконечно малыми элементами, а затем, устремляя размеры элементов к нулю при неограниченном возрастании их числа, получают дифференциальные уравнения в частных производных описывающие поведение области.

В противоположность классическому подходу в настоящее время широко используется подход, основанной на представлении сплощной среды в виде множества конечного числа элементов, соединенных между собой в конечном числе узлов на границе между ними [1]. При такой пространственной дискретизации геометрия объекта с достаточной полнотой сохраняется в идеализированной модели.

При установлении свойств отдельных элементов могут использоваться уравнение, описывающие поведения области, но размеры элементов все время остаются конечными, дифференциальные уравнения в частных производных заменяются системами алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений.

При этом, если удовлетворяются некоторые условия полноты, то с увеличением числа элементов и уменьшением их размеров поведения дискретной системы приближается к поведению «непрерывной системы», т. е. сплошной среды.

Рассматривается плоская динамическая контактная задача о нормальном ударе цилиндрического полукольца о недеформируемому полуплоскость. Исследуется распространение волн в твердом теле при различных значениях скорости V0 с предельными условиями взаимодействия в упругом материале:

1)     полное прилипание и 2) отсутствие трения.

Пусть тело, имеющее в сечении форму полукольца с внутренним R0 и внешним Rм радиусами движется с постоянной скоростью V0 и в момент времени t=0 встречает абсолютно жесткую неподвижную преграду. В декартовой системе координат (х,у), связанной с телом, направление вектора скорости совпадает с осью Х, которая нормальна к поверхности преграды.

При решении задачи удобно обратить движение и считать, что деформируемое тело до удара находиться в состоянии покоя, а жесткая преграда налетает на него со скоростью — V0. Для упругой среды из геометрии задачи (рис.1) определяется границы критической области, где скорость расширения зоны контакта будет превосходить скорость продольной вольны.

Требуется определить параметры движения в предположении, что первоначальное касание произошло в момент времени t=0 в точке и при различных допущениях относительно характера взаимодействия тел в процессе соударения.

Уравнение движения дискретной модели выводится в декартовой системе координат на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Для более точной аппроксимации области тела конечно-элементная(КЭ) модель строится в цилиндрической системе координат с помощью регулярной сетки образованной

, ,

координатными линиями: r= R0+i•?r, φj =j•?φ, а в некоторых случаях для удобства удовлетворения граничных условий переход из цилиндрической системы координат в декартовую осуществляется по формулам: x= R•cosφ, y=R•sinφ.

Уравнение движения для i-го узла сетки имеет вид:

где введены обозначения: , , , ;

U(1), U(2)-проекции вектора перемещений материальных частиц на оси декартовой системы координат; ψk(x,y)-функции формы используемого конечного элемента [1]. k-соответст-вующие локальные номера узла — i в кратных элементах данного узла; σpq-компоненты тензора напряжений (pq=11, 22, 12); p1, p2-нормальные и касательные к преграде составляющие поверхностных сил.

Границы тела вне зоны контакта считаются свободными от усилий. Вне зоны контакта удовлетворяются условия полного прилипания и отсутствия трения. В терминах скоростей и внешних сил эти условия соответственно записываются так:

Vni=-V0•cosα, Vti=0; Vni=-V0•cosα, Pεi=0,

где i-принимает все значения из множества граничных узлов зоны контакта.

В качестве начальных условий берутся нулевые.

Шаг интегрирования ?tрас(n) определяется с учётом ограничений. С одной стороны этот шаг должен удовлетворят условию:  где 0≤  =const≤1,

?L-минимальный линейный размер элемента, amax-максимальная скорость распространения возмущения, с другой стороны необходимо определить такой шаг ?tрас(n)≤ ?tкр(n), который обеспечил бы достаточно точное попадания граничных узлов в зону контакта. Предусмотрен вариант перерасчёта в случае перелёта узла за преграду.

Расчёты для линейной среды проведены в цилиндрической системе координат в расчётной области R0=0,5; Rm=1; φ0=0; φn=0,4; ?r=0,01; ?φ=0,01 со скоростями удара V0=-0,05 и V0=-0,1, когда параметры, характеризующие экспериментальные функции взяты в виде [2]:

σ=(λ+2/3•µ)•ε; σi=3•µ•εi;где λ=0,43; µ=0,285; ε-объёмная деформация, εi-интенсивность деформации.

На рис.2 для сопоставления кривых, описывающих зависимости крайней точки зоны контакта от времени в случаях полного прилипания (линия-2) и отсутствия трения (линия-1), приводятся результаты, полученные с идентичными параметрами расчёта. Расчёты показали, что эти кривые в сверхзвуковом режиме расширения крайней точки зоны контакта (t`=0,05) полностью совпадают и начиная с t≥t`в случае отсутствия трения кривая проходит чуть выше, чем во втором случае.

На рис.3 приведены эпюры касательной к преграде, составляющей вектора скорости для различных моментов времени. Звёздочкой на оси абсцисс помечены положения крайней точки зоны контакта для соответствующих моментов времени.

В зоне контакта при гладкой преграде нет монотонного изменения тангенциальной составляющей скорости частиц. Расчёты показывают, что Ú(2) с течением времени и расширением зоны контакта меняет знак. Если в начальный момент времени (0≤t≤0,15) между осью симметрии и φ*, Ú(2)<0 и увеличивается при приближении к φ*, то при t ≥0,2 в зоне контакта есть точки где Ú(2)>0. Справа и слева от крайней точки зоны контакта тангенциальная скорость имеет разные знаки. Причём знаки таковы, что точки тела движутся в противоположные стороны от точки контакта. В самой точке разрыв.

Дополнительные возмущения, порожденные крайней точкой зоны контакта, распространяются вдоль границы контакта и со временем достигают оси симметрии φ=0.

При этом в интервале времени (0,2; 0,25) скорости Ú(2) вточках вблизи оси φ=0 меняют знак. В частности, в точке (r=0; φ=0,05) положительные значения появляются, начиная с момента времени t ≥0,22. Это видно из рис.4(б) где показано изменение во времени тангенциальной составляющей вектора скорости в точках ((r=1; φ=0,05) –сплошная линия) и ((r=0,9; φ=0,15) –пунктирная линия) на границе и во внутренней точках тело соответственно.

На рис.5 приведены графики изменения во времени компонент тензора напряжений σ11 и σ22 вхарактерных точках (r=1; φ=0), (r=0,8; φ=0) на оси симметрии, в сечении r=1, (r=1; φ=0,05) внутри тела (r=0,9; φ=0,15). Здесь в отличии от случая полного прилипания, в точках на внешней поверхности тела имеет место колебания указанных величин. При этом момент его появления совпадает со временем начала изменения знака кривой Ú(2) в данных точках.

Изменение во времени вертикальной составляющей вектора скорости Ú(1) в фиксированных точках (r=0,05; φ=0); (r=0,8; φ=0); (r=1; φ=0,05); (r=0,9; φ=0,05) кривая Ú(1) подвергается изменению в сверхзвуковом режиме расширения зоны контакта с момента времени подходе данной точки к преграде и скачком возрастает, определяя величину скорости удара V0=-0,1 и в дальнейшем остается постоянной. Вертикальное движение в точке (r=0,95; φ=0) на оси симметрии появляется на фронте продольной вольны, на котором скорость Ú(1) скачком возрастает до значения в точке (r=1; φ=0,05). На фронте поперечной волны кривая изменяется непрерывно. Это продолжается до момента времени (t≈0,25) прихода в данную точку возмущений, распространяющихся вдоль границы контакта. Влияние последнего, как подтвердили расчёты, с глубиной уменьшается.

Таким образом поставленная цель разработки алгоритмов и комплекс программ, представляющие интегрированную среду, как инструмент организации и проведения вычислительных экспериментов по исследованию переходного процесса при ударе цилиндрического кольца о жесткую преграду достигнута.

Литература:

1.                       Зенкевич О., Чанч И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. -М.: Недра, 1974. -240 с

2.                       Рахматуллин Х. А. Сагомонян А. Я., Алексеев Н. А. Вопросы динамики грунтов. –М.: Недра, 1967. — 232 с

3.                       Бадалов Ф. А. Метод степенных рядов в линейной теории вязко упругости. — Ташкент.: Фан, 1980. -221 с.

Основные термины (генерируются автоматически): зоны контакта, точки зоны контакта, ударе цилиндрического, крайней точки зоны, переходных процессов, расширения зоны контакта, составляющей вектора скорости, ударе цилиндрического тела, системе координат, ударе цилиндрического кольца, границы контакта, узлов зоны контакта, и расширением зоны контакта, зоны контакта тангенциальная, зоны контакта с момента, точкой зоны контакта, в цилиндрической системе координат, зону контакта, Похожая статья, оси симметрии.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос