Косой удар цилиндрического кольца о жесткое полупространство

Рассматриваются и анализируются результаты расчетов переходных процессов при высокоскоростном ударе цилиндрического тела о жесткую преграду при различных углах  и скоростях удара  в линейной и нелинейной средах с учетом выхода переднего фронта волны за зону контакта.

Reviews and analyzes the results of calculations of transients at high velocity impact of a cylindrical body of a rigid barrier at different angles  and  speeds of impact in the linear and nonlinear media in the front of the wave output for the contact zone.

Данная работа является продолжением исследования переходных процессов при высокоскоростном нормальном ударе цилиндрического тело о жесткую преграду [1, 2], где численно моделируется и решается задача о нормальном ударе цилиндрического тела о жесткую преграду с учётом выхода переднего фронта волны за зону контакта, когда на границе заданы предельные условия взаимодействия: 1) полное прилипание и 2) отсутствие трения.

Дискретная модель также строится на основе метода конечных элементов [3, 4]. Исследуется распространение волн в твердом теле при различных значениях скорости  и угла удара  при условии полного прилипания в упругом и нелинейно-упругом материалах.

Уравнения движения выводятся на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского и имеют следующий вид:

Здесь  — узловые значения составляющих перемещений;

 — объем элемента;

 — компоненты тензора напряжений

 — площадь поверхности элемента;

 — заданные составляющие поверхностных сил;

 — множество кратных элементов в узле с номером i;

 — доля общей массы элемента, сосредоточенная в его k-м узле;

 — функции формы;

e — локальный номер узла i в k — м элементе.

Надо отметить, что при нормальном ударе задача обладает осевой симметрией и расчетная область представляется в виде четверти кольца [1], а в случаях  (угол удара) задача неосесимметричная и расчетная область имеет вид:

I.  — ось симметрии,

II.  — внутренняя граница,

III.  — боковые границы,

IV.  — внешняя граница.

Границы II, III и часть границы IV вне зоны контакта считаются свободными от усилий

где  — узлы в зоне контакта.

В данном случае взаимодействие с гладкой преградой не рассматривается, поскольку при этом задаче совпадает со случаем нормального удара.

Как было отмечено [2], случай прилипания при нормальном ударе удобно рассматривать в полярной системе координат. При этом условия на контакте имеют вид:

                                                                               (2)

Таким образом, решение нестационарной начально-краевой задачи косого удара сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядке, разрешенных относительно старших производных, которая решается с соответствующими граничными (1–2) и нулевыми условиями

При вычислительных экспериментах расчетная область

разбита на элементарные ячейки с регулярными шагами сетки разбиения  Вводится обозначение , соответственно координаты крайних точек контактной зоны.

1. Линейный случай.

Результаты расчетов в однородной изотропной линейно-упругой среде с различными  получены при параметрах:

 где коэффициенты искусственной вязкости,  — обобщенные модули упругости.

В силу неосесимметричности задачи, в процессе ее решения ищется закон расширения зоны контакта в обе стороны от точки начального соприкосновения тела с преградой. Полученные законы расширения зоны контакта (рис. 1) при  показывают, что точки тела в критической области (в случае, когда скорость расширения зоны контакта превосходит скорости звука в кэ) попадают в зону контакта симметрично, затем скорость расширения зоны контакта в правой части  постепенно начинает отставать от скорости  в левой части. Полученные расчеты при  показывают, что максимальная скорость расширения зоны контакта достигается при нормальном  ударе, а увеличение угла  при фиксированной скорости удара приводит к уменьшению скоростей как , так и . При этом интервал времени симметричного расширения зоны контакта также уменьшается

Рис.1. Законы изменения зоны контакта. Среда — линейная,  (а),  (б)

Изменения во времени компонент напряжений  в точках  в сечении  приводятся на рис.2. Здесь пунктирные и сплошные линии соответствуют расчетам, проведенным при  и . Кривая  в этих точках характеризуется скачкообразным и непрерывным изменением на фронтах продольной и поперечной волн соответственно и повторяют качественную картину при нормальном ударе. При этом интенсивность скачка по абсолютному значению при  больше, чем в случае . Уменьшение кривой  в приведенных точках обусловлена с приходом в данные точки, отраженной от внутренней границы волн.

Рис. 2. Графики изменения компонент тензора напряжений в сечении ; ^{_ _ _ _} ; ^_____ . ; ;

На рассмотренном промежутке времени характер изменения кривой  качественно совпадает со случаем  и отличается количественно. Компоненты касательных напряжений  в этих точках увеличиваются с ростом угла .

Изменения компонент напряжений в симметричных, относительно геометрической оси симметрии , точках  и  в сечении  приводятся на рис.3. Здесь пунктирные и сплошные линии также соответствуют расчетам при  и . Изменения компонент напряжений  в точке  характеризуются появлением растягивающих значений. При этом в отличии от случая  при  наблюдается интервал времени (0.22–0.29), где обе нормальные составляющие напряжений-растягивающие, что может привести к разрушению. По распределению этих компонент по линии контакта (Рис.3, 4) для фиксированных моментов времен ,  можно судить, что опасные зоны возникают в окрестности крайних точек зоны контакта , положения которых обозначены вертикальными пунктирными и непрерывными линями, которые соответствуют расчетам при  и . Увеличение угла удара  приводит к росту зоны растягивающих нормальных составляющих напряжений. Компонента  достигает своего максимального абсолютного значения в окрестности точки начального соприкосновения тела с преградой, а компонента  максимально по абсолютной величине в окрестности крайних точек зоны контакта, которые, как видно из рисунка, являются концентраторами напряжений на нормальных к преграде площадках. Увеличение угла  приводит к уменьшению значений  в контактной зоне и увеличению .

Рис. 3. Распределение компоненты тензора напряжений  по узлам линии контакта, для фиксированных моментов времен. Среда — линейная, ^{_ _ _ _} ; ^_____

Рис. 4. Распределение компоненты тензора напряжений по узлам линии контактной границы для фиксированных моментов времен. Среда — линейная, ^{_ _ _ _} ; ^_____ .

Распределение объемной деформации и интенсивности деформации по узлам контактной границы при фиксированных моментах времени ,  (рис. 5, 6) подтверждает предыдущие рассуждения.

Рис. 5. Распределение объемной деформации по узлам контактной границы, для фиксированных моментов времен. Среда — линейная, ^{_ _ _ _} ; ^_____ .

Рис. 6. Распределение интенсивности деформации по узлам контактной границы для фиксированных моментов времени. Среда — линейная, ^{_ _ _ _} ; ^_____ .

2. Нелинейный случай.

Законы расширения зоны контакта при различных значениях  когда в качестве функции, характеризующих объемное сжатие и деформацию сдвига, использованы экспериментальные кривые, аппроксимированные в виде вогнутой функции:

,  показаны на рис.7.

Рис. 7. Закон расширения зоны контакта. Среда — нелинейная,  (а);  (б).

Здесь для сопоставления приводится кривая  для линейной среды, полученной при нормальном ударе.

Колебательный характер изменения кривых  (рис.8) наблюдается в симметричных относительно сечения  точках , . Здесь зона растягивающих напряжений в отличии от точках геометрической оси симметрии, возникает как при , так и при .

Распределения по линии контакта инвариантов тензора деформаций  для фиксированных моментов времени ,  при  приводится на рис.9, 10. Эти кривые повторяют качественную картину линейного случая. Как видно из рисунка, на рассмотренных моментах времен не наблюдается расширение зоны контакта вправо, но величина скачка этих кривых увеличивается. За зоной контакта наблюдается сложное распределение величин, обусловленных влиянием дифрагированных и отраженных от свободной внешней границы волн. Расширение наблюдается в узлах, охваченных воздействием переднего фронта продольной волны и крайней точки зоны контакта .

Рис. 8. Графики тензора напряжений  (а),  (б) в симметричных точках при 0.95. Среда — линейная, _ _ _ _ ; _____ .

Рис. 9. Распределение объемной деформации по узлам контактной границы для фиксированных моментов времен. Среда — нелинейная, .

Рис. 10. Распределение интенсивности деформации по узлам контактной границы, для фиксированных моментов времени. Среда — нелинейная, .

Литература:

1.                  Салиев Э. А., Савурбоев А. и др. Численное моделирование и исследование переходных процессов при высокоскоростном ударе цилиндрического тела о жесткую преграду. «Молодой учёный» № 6(53) июнь. 2013 г. с 138–142.

2.                  Савурбоев А., Дангалов Н. А., Шертайлоков Г. М., Эшонкулов Ш. У. Алгоритм расчета переходного процесса при ударе цилиндрического кольца о жесткое полупространство. «Молодой учёный» № 8 (67) июнь. 2014 г. с 246–249.

3.                  Зенкевич О., Чанг И. — Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974. с 240.

4.                  Образцов И. Ф. и др. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. — М.: Высшая школа. -1985. -391.