Решение некоторых классических пространственных задач теории упругости в напряжениях | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №3 (62) март 2014 г.

Дата публикации: 22.02.2014

Статья просмотрена: 252 раза

Библиографическое описание:

Гасратова Н. А. Решение некоторых классических пространственных задач теории упругости в напряжениях // Молодой ученый. — 2014. — №3. — С. 1-6. — URL https://moluch.ru/archive/62/9451/ (дата обращения: 17.08.2018).

В данной статье представлено решение в напряжениях некоторых осесимметричных задач для упругого пространства с единственной сферической неоднородностью единичного радиуса (которая может представлять собой полость, упругое или жесткое включение) при одноосном растяжении на бесконечности.

Сферические неоднородности являются концентраторами напряжений (например, включения в композиционных материалах), определение напряженно-деформированного состояния вблизи которых имеет важное практическое значение. Часто такие задачи являются осесимметричными и обычно решаются при помощи уравнений Ламе [6–11]. В отличие от известных подходов к решению подобных задач [1] в данной работе использована постановка и метод решения, предложенный в работах [2–5]. Суть подхода состоит в следующем:

1.         Основными уравнениями являются два уравнения равновесия и два уравнения сплошности, записанные в напряжениях. В напряжениях записываются статические и кинематические граничные величины.

2.         Решение представлено в виде степенных рядов по косинусу угла между осью вращения и радиусом сферы. Коэффициенты этих рядов, зависящие от радиальной координаты сферической системы координат, вычисляются при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа Эйлера.

Преимущество даннного подхода заключается в том, что неизвестные данной системы совпадают с кинематическими и статическими краевыми величинами, а это, в свою очередь, упрощает удовлетворение краевых условий на сферической поверхности.

Постановка задачи для трех задач отличается только граничными условиями, для её формулировки воспользуемся соотношениями, приведенными в [2].

Тензор напряжений представлен в виде

                              (1)

вектор перемещений

Здесь  — цилиндрические координаты с ортами ;  — сферические координаты с ортами (см. рисунок 1). Ось  совпадает с осью вращения тела.

Описание: Fig1.eps

Рис. 1. Система координат

Таким образом, тензор напряжений хоть и записан в цилиндрических координатах, но независимыми аргументами являются координаты . Компоненты тензора напряжений (1) удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

(2)

Здесь

                                                        (3)

 и -физические постоянные Ламе.

Осевую составляющую перемещения находим при помощи следующих уравнений [3]:

(4)

Наличие в пространстве:

-          полости означает, что на границе  при , где  — радиус полости.

-          жесткого включения означает, что на границе  при , где  — радиус жесткого включения.

-          упругого включения означает, что в данном случае на границе упругого включения должны выполняться условия сопряжения: (индекс  соответствует матрице, а -включению)

                                                                                                      (5)

Считаем, что на бесконечности задано напряженное состояние

Искомые напряжения представим следующим образом:

                                                                                                                         (6)

где

Тогда компоненты тензора (6) можно представить в виде

а  в соответствии c (3)

Компоненты тензора  удовлетворяют системе (2). Соответствующие граничные условия при

                                                                                                              (7)

. (8)

Рассматриваемая задача симметрична относительно плоскости , и решение будем искать в виде рядов [4]

                               (9)

Далее систему (2) преобразуем путем введения новых величин по формулам

                    (10)

В итоге основная система уравнений примет вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа Эйлера:

,

,

,                                                                  (11)

где

Решение системы уравнений (11) при отсутствии массовых сил и конечном числе членов ряда (9) представляют собой конечные ряды по отрицательным и положительным степеням , неопределенный коэффициенты которых находятся из граничных условий. Кроме того, эти ряды должны тождественно удовлетворять условию

Краевые условия в терминах системы имеют вид:

для полости

,                                                                   (12)

для жесткого включения

       (13)

упругого включения

                                                            (14)

Во всех трех задачах оказалось, что в рядах (9) можно удержать не более трех членов ряда. Так как все искомые величины системы (11), как было сказано выше, представляют собой конечные ряды по отрицательным и положительным степеням , то неопределенные коэффициенты величин  с учетом вида граничных условий определяются из системы линейных алгебраических уравнений.

В случае, упругого включения, когда , решение системы (11) при граничных условиях (14) будет следующим:

,

Соответственно по обратным формулам к (15), а именно

                                           (15)

можем записать искомые напряжения и перемещения. Далее для краткости изложения ниже представлены графики напряжения  на границе упругого включения в зависимости от . Как видно из рис. 2, график при  совпадает с графиком , что соответствует случаю, когда шаровидная неоднородность является полостью. Кроме того, график при  совпадает с графиком , что соответствует случаю, когда шаровидная неоднородность является жестким включением. Точка пересечения графиков , соответствует примерно , полученные аналитические решения совпали с [1], но различие сред описывается одним параметром , что удобнее для численных расчетов. Корме того, из графика видно, что при  и  упругим включением можно пренебречь и рассматривать задачу как частный случай полости или жесткого включения соответственно.

Описание: G1FA222.eps

Рис. 2: График напряжения

Предложенный подход к решению осесимметричных задач для сферы можно использовать и несферических неоднородностей в упругом пространстве.

Литература:

1.         Goodier J. N. Concentration of stress around spherical and cylindrical inclusions and flaws. J Appl Mech 1933;APM-55–7:39–44.

2.         Гасратова Н. А., Шамина В. А. Решение в напряжениях линейной осесимметричной задачи для сферы и упругого пространства со сферической полостью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2008. Вып. 2 С. 122–128.

3.         Шамина В. А. Постановка линейной осесимметричной задачи механики деформируемого тела в напряжениях // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2000. Вып.1 (№ 1). С. 145–148.

4.         Гасратова Н. А., Шамина В. А. Об одном подходе к решению осесимметричных задач линейной теории упругости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2007. Вып. 2. С. 101–107.

5.         Гасратова Н. А. Напряженно-деформируемое состояние упругого пространства со сферическим жестким включением. //Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер.10, 2009. С. 14–18,

6.         Hamid R. Sadraie, Steven L. Crouch, Sofia G. Mogilevskaya. A boundary spectral method for elastostatic problems with multiple spherical cavities and inclusions//Engineering Analysis with Boundary Elements 31 (2007) p.425–442.

7.         Noda Nao-Aki, Nozomu Ogasawara, Tadatoshi Matsuo. Asymmetric problem of a row of revolutional ellipsoidal cavities using singular integral equations.//International Journal of Solids and Structures 40 (2003) p. 1923–1941.

8.         Noda Nao-Aki, Yasuhiro Moriyama. Stress concentration of an ellipsoidal inclusion of revolution in a semi-infinite body under biaxial tension. //Archive of Applied Mechanics 74 (2004) p. 29–44.

9.         Edwards R. H. Stress concentrations around spherical inclusions and cavities.// J. Appl. Mech., 1951, 18, p. 19–30.

10.     Sadowsky M. A., Sternberg E. Stress concentration around a triaxial ellipsoidal cavity.// J. Appl. Mech., 1949, v. 16, p. 149–157.

11.     Олегин И. П. Осесимметричное напряженное состояние в трансверсально-изотропной упругой среде с двумя жесткими эллипсоидальными включениями//Сибирский журнал индустриальной математики. Январь–март, 2002. Том V, № 1(9).С.127–132.

Основные термины (генерируются автоматически): упругое включение, жесткое включение, график, упругое пространство, тензор напряжений, компонент тензора, задача, дифференциальное уравнение типа, График напряжения, шаровидная неоднородность.


Похожие статьи

Исследование статической задачи несимметричной теории...

Тензор напряжений несимметричен.

Эллиптичность системы дифференциальных уравнений.

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши для симметрической гиперболической системы.

Антиплоская задача для упругой полуплоскости с жестким...

Пусть в упругом полупространстве со свободной от напряжений границей имеется включение в виде полосы: , , расположенное в плоскости .

При переходе через включение касательное напряжение терпит разрыв, а смещения непрерывны и постоянны, то есть.

Модели блочной среды для исследования колебательных...

Система записана относительно проекций вектора скорости и компонента тензора напряжения .

Упругая прослойка между стоящими рядом в вертикальном направлении блоками с индексами и описывается с помощью уравнений.

Осесимметричная динамическая задача о нагружении...

Осесимметричная динамическая задача о нагружении упруго-пластической сферы под действием подвижной нагрузки.

Здесь обобщенные модули являются функциями инвариантов тензора деформаций

где — компоненты псевдовязкостных напряжений.

Косой удар цилиндрического кольца о жесткое полупространство

Рис. 2. Графики изменения компонент тензора напряжений в сечении ; ... __ . ; ; На рассмотренном промежутке времени характер изменения кривой качественно совпадает со случаем и отличается количественно.

Распространение волн в вязкоупругих пластинках переменной...

где ρ – плотность материала; i — компоненты перемещений; ij и ij — компоненты тензора напряжений и деформаций; V — объем, занимаемый телом.

Подставляя (12) в (7), получим систему дифференциальных уравнения в частных производных, разрешенную относительно...

Колебания упругого полупространства с цилиндрическими...

Ūj, , — соответственно вектору перемещения компоненты тензоров напряжение и деформации; δ Ūj, — вариации перемещения и деформации; , — плотность материала элементов

Задача сводится к решению системы неоднородных алгебраических уравнений.

Алгоритм расчета переходного процесса при ударе...

Для того, чтобы уравнение (2) можно было применить к расчету разрывных движений компоненты тензора упругих напряжений заменяются величинами, учитывающими искусственную вязкость

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Исследование статической задачи несимметричной теории...

Тензор напряжений несимметричен.

Эллиптичность системы дифференциальных уравнений.

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши для симметрической гиперболической системы.

Антиплоская задача для упругой полуплоскости с жестким...

Пусть в упругом полупространстве со свободной от напряжений границей имеется включение в виде полосы: , , расположенное в плоскости .

При переходе через включение касательное напряжение терпит разрыв, а смещения непрерывны и постоянны, то есть.

Модели блочной среды для исследования колебательных...

Система записана относительно проекций вектора скорости и компонента тензора напряжения .

Упругая прослойка между стоящими рядом в вертикальном направлении блоками с индексами и описывается с помощью уравнений.

Осесимметричная динамическая задача о нагружении...

Осесимметричная динамическая задача о нагружении упруго-пластической сферы под действием подвижной нагрузки.

Здесь обобщенные модули являются функциями инвариантов тензора деформаций

где — компоненты псевдовязкостных напряжений.

Косой удар цилиндрического кольца о жесткое полупространство

Рис. 2. Графики изменения компонент тензора напряжений в сечении ; ... __ . ; ; На рассмотренном промежутке времени характер изменения кривой качественно совпадает со случаем и отличается количественно.

Распространение волн в вязкоупругих пластинках переменной...

где ρ – плотность материала; i — компоненты перемещений; ij и ij — компоненты тензора напряжений и деформаций; V — объем, занимаемый телом.

Подставляя (12) в (7), получим систему дифференциальных уравнения в частных производных, разрешенную относительно...

Колебания упругого полупространства с цилиндрическими...

Ūj, , — соответственно вектору перемещения компоненты тензоров напряжение и деформации; δ Ūj, — вариации перемещения и деформации; , — плотность материала элементов

Задача сводится к решению системы неоднородных алгебраических уравнений.

Алгоритм расчета переходного процесса при ударе...

Для того, чтобы уравнение (2) можно было применить к расчету разрывных движений компоненты тензора упругих напряжений заменяются величинами, учитывающими искусственную вязкость

Задать вопрос