Оптимизация алгоритмов обработки акселерометрических сигналов для повышения точности начальной выставки бортовой инерциальной навигационной системы



В статье автор предлагают усовершенствованный метод определения истинного направления вектора ускорения свободного падения по данным акселерометров, выходные сигналы которых подвержены влиянию аддитивных коррелированных шумов. Метод даёт возможность при заданном времени начальной выставки инерциальной навигационной системы повысить в несколько (в 3 и более) раз точность измерения ускорения по заданной оси акселерометрической триады.

Ключевые слова: акселерометр, начальная выставка, коррелированный шум, среднеквадратическая ошибка, обеляющий фильтр, цифровая система обработки сигналов.

На сегодняшний день прогресс в авиаприборостроении, в том числе в области проектирования и производства радиоаппаратуры для беспилотных летательных аппаратов (ЛА), достиг такого уровня развития, что известные ранее методы цифровой обработки радиотехнических сигналов бортовых систем не отвечают возросшим требованиям по определению истинных значений тех или иных параметров, необходимых для выполнения поставленных перед ЛА задач. Так, например, необходимо повышать как точность, так и скорость (сокращать время) выполнения требуемых вычислительных операций, учитывать влияние мешающих факторов, в том числе наличие аддитивных коррелированных шумов в акселерометрических сигналах, вызываемых вибрациями корпуса ЛА, работой его силовой установки, а также функционированием других систем и устройств, установленных на борту, а также воздействие некоррелированного шума, характерного для компактных акселерометров на основе технологии iMEMS [1].

Устройством, которое лежит в основе навигационной системы любого летательного аппарата, является акселерометрическая триада [1], служащая датчиком первичной навигационной информации, на базе которой функционирует бортовая навигационная система для управления ЛА. Пример навигационной системы, включающей в свой состав 3D-акселерометр, магнитометр и микромеханический гироскоп, представлен на рисунке 1.

Рис. 1. Инерциальная навигационная система iMEMS

В современной авиационной технике широкое распространение получили цифровые навигационные инерциальные бесплатформенные системы, имеющие очень компактные размеры (см. рисунок 1), что немаловажно для небольших ЛА, в том числе и беспилотных. Как и любая навигационная система, источник сигналов управления ЛА требует начальной настройки (выставки), которая происходит ещё до старта, за время предполётной подготовки. От точности начальной выставки зависит и то, насколько корректно будет осуществляться навигация и управление аппаратом на всем протяжении полёта, т. к. оперативная коррекция навигационной информации во время полёта затруднена [2].

Отметим, что большое влияние на точность установления истинных значений начальных выставок оказывают аддитивные коррелированный и некоррелированный шумы. Это хорошо заметно на осциллограмме, снятой с акселерометра при включении этого источника (см. рисунок 2). На рисунке 2 показана осциллограмма, получаемая после обработки показаний акселерометра, снимаемых вдоль вертикальной оси OZ.

Рис. 2. Показания акселерометра с вибрациями

На показаниях акселерометров видны сильные искажения, возникающие при воздействии коррелированного и некоррелированного шумов (вибраций). В этом случае осуществление начальной выставки затруднено, и необходимо прибегать к методам, которые позволяют вычислить искомые значения начальных выставок с требуемой точностью.

В рамках данной статьи ограничимся расчетом начальных выставок вдоль одной, близкой к вертикали оси OZ, относительно которой и будут проводиться все дальнейшие компьютерные вычисления.

Пусть искомое значение ускорения, действующего вдоль оси OZ, равно число отсчетов за анализируемый промежуток времени равно N, номера отсчетов n=0…N−1. Предположим, что на акселерометр действует некоррелированный гауссовский шум с нулевым средним и относительной мощностью Pn и гармоническая помеха со следующими параметрами:

A — амплитуда помехового воздействия (вибрации), F — относительная частота колебаний, выраженная через число наблюдаемых периодов за интервал анализа из N отсчётов.

Аналитическое выражение, характеризующее сигнал xn,k с выхода акселерометра имеет вид:

где cn — гармоническая помеха, k — номер реализации, zn,k — некоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением

. Гармоническая помеха может быть охарактеризована следующим образом:

Отметим, что всего возможно бесконечное число K реализаций данного процесса. Мы же ограничимся конечным числом K таких реализаций xn,k с номерами k =0… K −1.

Исходные данные при моделировании сведены в таблицу 1.

Таблица 1

Исходные значения при моделировании

Параметр	А	P n	F
Значение	1	10 −3	20,5

В данном случае xk — результирующий сигнал, формируемый на выходе акселерометра для k‑й реализации. Графики моделируемых сигналов с амплитудой X ( n ), под которыми подразумевается зависимость амплитуды сигнала X от отсчета n , представлены на рисунке 3.

Рис. 3. Графики мгновенной амплитуды ускорения свободного падения

На рисунке 3 толстой штрихпунктирной линией 1 показано искомое значение ускорение свободного падения s _n , сплошной линией 2 — сигнал x _k , получаемый на выходе акселерометра.

Возможны несколько способов вычисления приближенного к истинному значения ускорения с требуемой точностью.

Критерием эффективности оценивания обычно служит величина среднеквадратического отклонения (СКО) E _k найденной величины от её истинного значения:

где N‑мерный вектор Δk невязки для k‑й реализации при для всех n=0…N−1, k=0…K−1, ^T — знак транспонирования.

Известным способом расчёта оценки случайной величины при воздействии аддитивного стационарного шума с нулевым математическим ожиданием является поиск для конкретной k‑й реализации математического ожидания M _k путем сложения значений всех отсчетов xn,k наблюдений x _k и последующим делением этой суммы на общее количество N отсчетов:

.(1)

Для поиска величины Δ _k отклонения от истинного значения (невязки), необходимо найти разницу между искомым значением s _n и математическим ожиданием М _k :

откуда можно получить среднеквадратическую погрешность Ε _k оценки для k‑й реализации:

Однако погрешность Ε _k при известном методе (1) вычисления будет слишком велика, в результате чего он мало применим при решении поставленной задачи, для которой характерно воздействие не только белого шума zn,k, но и коррелированной помехи cn. Поэтому известная методика плохо подходит для случаев, где есть коррелированная составляющая шума, так как её наличие приводит к росту СКО Ε _k .

Для устранения данной проблемы существуют два пути ее решения:

1) увеличить количество N отсчетов, что можно достичь за счет наращивания времени анализа, но такой подход неприменим в тех случаях, когда время на предстартовую подготовку строго ограничено различными требованиями (например, в условиях боевой обстановки);

2) применять дополнительные средства, направленные на снижение влияния коррелированной помехи на результат обработки полученных данных без наращивания количества N анализируемых отсчетов.

Об одном из таких вариантов решения поставленной задачи, в основе которого лежит второй путь, и пойдет речь ниже. Он заключается в пропускании принимаемого от акселерометра сигнала сквозь цифровой обеляющий фильтр, на выходе которого коррелированный шум cn становится белым, что значительно уменьшает его дальнейшее деструктивное воздействие, т. к. мощность шума на выходе обеляющего фильтра снижается [4].

Предлагаемый алгоритм обработки включает в себя следующую последовательность математических операций:

1) нахождение математического ожидания M _k по k ‑й реализации x _k процесса с выхода акселерометра с последующим её центрированием, которое заключается в вычитании величины M _k из каждого элемента x _{n , k} вектора x _k :

где x̃ _{n , k} — элементы вектора x ̃ _k k ‑й реализации центрированного процесса;

2) выбор порядка q обеляющего фильтра (ОФ);

3) поиск коэффициентов автокорреляции и поиск коэффициентов импульсной характеристики ОФ с помощью смещённой оценки по k ‑й реализации x̃ _n,k теплицевой автокорреляционной матрицы R _k с элементами крайнего левого столбца r _j,k :

где j — номер (порядок) коэффициента r _{j , k} автокорреляции. Далее эти коэффициенты нормируются по наибольшему из них, и уже на основе этих нормированных коэффициентов формируется теплицева автокорреляционная матрица R _k размера ( q +1)×( q +1);

4) нахождение обратной к R _k матрицы R _k ⁻¹ , чей первый вектор-столбец служит в качестве вектора W _k коэффициентов числителя передаточной функции (нулей) нерекурсивного обеляющего фильтра, из W _k путем нормирования находятся коэффициенты W̃ _k ОФ с единичным коэффициентом усиления:

где ^T — знак транспонирования;

5) обработка сигнала с выхода акселерометра с целью подавления помехи с учетом переходного процесса в виде сокращения количества временны́х отсчетов на число, равное порядку q обеляющего фильтра (номера отсчетов с его выхода теперь берутся как n=q…N−1):

где ỹ _{n , k} — n ‑й элемент вектора y ̃ _k сигнала на выходе обеляющего фильтра для k‑й реализации, w̃ _{i , k} — i ‑й элемент вектора w ̃ _k , i =0… q .

Для лучшего понимания, в чем заключается суть данной обработки, необходимо обратится к спектральным характеристикам P ( F ), под которыми подразумевается зависимость нормированной к своему максимальному значению мощности P от относительной частоты F , синтезированного в п. 3 обеляющего фильтра и центрированного сигнала на его входе (см. рисунок 4).

Рис. 4. Спектральные характеристики ОФ и сигнала на его входе

На рисунке 4 сплошной линией 1 показана спектральная плотность мощности центрированного процесса с выхода акселерометра, пунктирной кривой 2 — квадрат амплитудно-частотной характеристики обеляющего фильтра.

Как видно из рисунка 4, один из нулей ОФ находится на том месте, где спектральная плотность помехи имеет максимум, в результате чего на выходе фильтра будет сигнал, чья спектральная характеристика будет относительно равномерной, без значительных перепадов, т. е. близкой к белому шуму. Именно такой сигнал и называется выбеленным [5].

После обработки к выбеленному сигналу ỹ _n,k добавляется вычтенное в процессе центрирования математическое ожидание M _k :

где y _{n , k} — составляющие вектора y _k k ‑й реализации обеленного сигнала после добавления метаматематического ожидания. Результат обработки сигнала x _k обеляющим фильтром представлен на рисунке 5.

Рис. 5. Истинное значение, исходный сигнал с помехой и сигнал после прохождения через обеляющий фильтр

Как видно из рисунка 5, сигнал на выходе ОФ (см. пунктирную линию 3) лучше соответствует истинной амплитуде s _n , обозначенной сплошной прямой 1, нежели исходная реализация сигнала x _k , поступающая на вход обеляющего фильтра с акселерометра и представленная сплошной кривой 2.

Окончательная обработка сигнала xk с выхода акселерометра состоит в нахождении математического ожидания M̃ _k для k ‑й реализации обеленного сигнала yk с учетом переходного процесса обеляющего фильтра по формуле:

Вычисление значений невязки ε̃ _k и суммарной погрешности Ε̃ _k осуществляется по формулам, аналогичным используемым в общепринятом методе:

Блок-схема описанной процедуры приведена на рисунке 6.

Рис. 6. Блок-схема процедуры обработки выходного сигнала акселерометра

Произведём анализ эффективности предлагаемого подхода по сравнению с известным методом. В качестве критерия оценки, выступающего в роли показателя эффективности предлагаемого метода над общеизвестным, целесообразно использовать параметр μ (выигрыш), вычисляемый как отношение СКО оценки от истинного значения для предлагаемого Ε̃ _k и известного Ε _k методов:

под известным методом подразумевается расчёт математического ожидания по исходной реализации xk без подавления её коррелированной мешающей компоненты.

Величина μ выигрыша показывает, во сколько раз предлагаемый метод эффективнее общепринятого с точки зрения СКО оценки. График функции G ( μ ) плотности распределения вероятности представлен на рисунке 7.

Рис. 7. Функция плотности распределения вероятностей выигрышей μ

Как видно из рисунка 7, наибольшая вероятность значений μ выигрышей для гистограммной оценки функции G ( μ ), график которой показан сплошной линией 2, достигается в диапазоне μ ≈ [3; 3,7], что подтверждает высказанную гипотезу о возможности получения улучшения точности обработки сигнала с выхода акселерометра в 3 и более раз. Улучшение в десятки и сотни раз тоже возможно, но как следует из графика, маловероятно. Отметим, что также возможно получение μ ≤1 при определенных условиях, но с малой вероятностью (15…16 %).

Характер плотности распределения указывает на то, что возможна аппроксимация гистограммной оценки функции G ( μ ) законом распределения χ ² . При этом по критерию согласия Колмогорова [6], закон распределения χ ² имеет параметр 6. Аппроксимация показана на рисунке 7 пунктирной линией 2.

Также необходимо отметить и характер плотности распределения оценок значений математического ожидания М̃ _k , которые могут быть получены в ходе эксперимента. Гистограммная оценка функции плотности распределения вероятности Q ( М̃ _k ) показана на рисунке 8 сплошной линией 1.

Рис. 8.Функция плотности распределения вероятностей оценок математического ожидания М̃ _k

Исходя из формы гистограммной оценки функции плотности распределения, было выдвинуто предположение о нормальном (гауссовском) законе распределения значений оценок математического ожидания М̃ _k . Данная гипотеза подтвердилась при аппроксимации гауссовским законом распределения плотности вероятности со смещенным на величину ускорения свободного падения математическим ожиданием.

Таким образом, предлагаемый подход к обработке сигналов с выхода акселерометрических датчиков даёт возможность существенно (в 3 и более раз) повысить точность оценивания ускорения при начальной выставке инерциальной навигационной системы в условиях жестких временны́х ограничений и наличии периодических возмущений, вызванных, например, работой двигательной установки летательного аппарата. Выигрыши μ=3,0…3,7 достигаются за счёт учёта априорной информации о коррелированности мешающего воздействия и оценок его статистических параметров (автокорреляционной функции), что сопряжено с дополнительными вычислительными затратами, требующимися для осуществления начальной выставки навигационной системы. Так, например, при порядке q=4 обеляющего фильтра требуется только на обращение автокорреляционной матрицы Rk при использовании метода исключения гаусса приблизительно (q+1) ³ =125 вычислительных операций, а при использовании быстрых рекуррентных процедур Левинсона — Дербина 2(q+1) ² =50 операций [7]. С учётом необходимости оценки коэффициентов r _{j , k} дискретной автокорреляционной функции, предлагаемая методика существенно (в сотни раз) более требовательна к числу необходимых вычислительных затрат, т. к. традиционный алгоритм предполагает лишь (N‑1) суммирований и одно деление.

Литература:

1. Власенко, А. Интегральные гироскопы iMEMS — датчики угловой скорости фирмы Analog Devices / А. Власенко. — Текст: непосредственный // Электронные компоненты. — 2003. — № 2. — С. 36–38.
2. Нагин, И. МЭМС акселерометры, магнитометры и углы ориентации / И. Нагин. — Текст: электронный // Хабр: [сайт]. — URL: https://habr.com/ru/articles/491476/ (дата обращения: 20.07.2023).
3. Вакуров, А. В. Авиационное оборудование / А. В. Вакуров, В. А. Осадчий, А. И. Шевченко. — М.: Типография ВВИА имени проф. Н. Е. Жуковского, 1982. — 236 c. — Текст: непосредственный.
4. Орлов, П. В. Выделение сигнала на фоне коррелированных помех и некоррелированного шума / П. В. Орлов, В. Г. Андреев. — Текст: непосредственный // Молодой ученый. — 2019. — № 24 (262). — С. 145–148. — URL: https://moluch.ru/archive/262/60714/ (дата обращения: 23.07.2023).
5. Ван, Т. Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции, Т.1. Теория обнаружения, оценок и линейной модуляции. / Т. Г. Ван. — М.: Советское радио, 1972. — 744 с. — Текст: непосредственный.
6. Лемешко, Б. Ю. Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Компьютерный подход / Б. Ю. Лемешко. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. — 888 c. — Текст: непосредственный.
7. Марпл-мл, С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С. Л. Марпл-мл. — М.: Мир, 1990. — 584 c. — Текст: непосредственный.