Задача о нормальных колебаниях идеальной релаксирующей жидкости в упругом сосуде | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 14 декабря, печатный экземпляр отправим 18 декабря.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №14 (461) апрель 2023 г.

Дата публикации: 08.04.2023

Статья просмотрена: 15 раз

Библиографическое описание:

Бекгенов, С. Г. Задача о нормальных колебаниях идеальной релаксирующей жидкости в упругом сосуде / С. Г. Бекгенов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2023. — № 14 (461). — С. 2-4. — URL: https://moluch.ru/archive/461/101411/ (дата обращения: 02.12.2024).



В данной работе получены теоремы о кратной полноте и полноте части собственных функций (СФ) для задачи о нормальных колебаниях идеальной релаксирующей жидкости в неподвижном упругом сосуде. Отметим, что в работах [1, 2] исследована структура спектра для некоторых задач о нормальных колебаниях идеальной сжимаемой жидкости во вращающихся сосудах. Рассмотрены случаи, когда сосуд, заполненный жидкостью, представляет собой твёрдое тело упругое или упругую оболочку. Когда же вращения сосуда нет [3], то непрерывный спектр исчезает и остаётся лишь дискретный спектр, для которого естественным образом возникает задача о полноте (СФ). В работе [4] исследована спектральная задача о нормальных колебаниях вращающейся идеальной релаксирующей жидкости в контейнере. Исследованы вопросы локализации, дискретности и асимптотики спектра. Доказаны утверждения о двукратной полноте для системы собственных и присоединённых элементов.

Пусть в сосуде занимающей область Ω ⊂ℝ 3 находится идеальная релаксирующая неоднородная жидкость, полностью заполняющая область Ω0⊂Ω. Обозначим через = 𝜕Ω0 границу области Ω0, ∑ = 𝜕Ω\ внешнюю часть границы области Ω. Предположим, что , ∑ ϵ С2.Пусть единичная нормаль к 𝜕Ω, внешняя относительно области Ω. Введем систему координат Ох1х2х3, жестко связанную с упругим сосудом, таким образом, что ось Ох3 направлена противодействия силы тяжести, а начало координат находится в области Ω. Гравитационное поле тогда запишется в виде:

,

орт оси Ох3, направленный против действия силы тяжести.

Обозначим через отклонение точки xϵΩ упругого тела в момент времени t, а ρ1(х) плотность упругого тела. Аналогично отклонение точки xϵΩ 0 в момент времени t в жидкости. Пусть p(х,t) динамическое давление жидкости (отклонение от равновесного давления), ρ(x,t) — динамическая плотность жидкости (отклонение от плотности ρ 0 = const в состоянии относительного равновесия).

Предполагаем, что упругое тело изотропно, поэтому тензор напряжения этого тела имеет вид

где константы Ляме. Пусть

Уравнения малых (линейных) движений этой механической системы с учетом уравнения состояния жидкости записываются в виде (см. [4]):

(1)

(2)

(3)

(4)

Релаксирующая жидкость моделируется (4) дополнительным уравнением состояния, связывающим динамическое давление p(x,t) и динамическую плотность ρ(х,t), где положительная функция К(t,х) определяет ядро интегрального оператора Вольтерра, а – квадрат скорости звука в неоднородной жидкости. Это наиболее общая модель релаксирующей жидкости в упругом теле. Важный частный случай получается, если определить ядро в форме:

Где К 0 (х) и b(x) положительные функции в области Ω.

Задача о малых движениях идеальной релаксирующей жидкости в упругом теле, заключается в отыскание полей p(x,t) и ρ(x,t) из уравнений (1,2), граничных условий (3), соотношения (4) и при начальных условиях:

(5)

Подобная задача на неподвижном контейнере (при отсутствии силы тяжести и при некоторых модельных ограничениях на граничные условия для динамической плотности) исследовались в [3, с. 390–410]. В работе [4] рассматривалась аналогичная задача при условии, когда действуют гравитационные силы. В отличие от указанных работ, мы рассматриваем релаксирующую жидкость в неподвижном упругом сосуде.

Для этой задачи исследованы вопросы локализации, дискретности и асимптотики спекраю. Доказаны теорема о двухкратной полноте для системы собственных и присоединенных элементов, получено утверждение о существенном спектре задачи.

Литература:

1. Гараджаев А. // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 1. С. 38–47

2. Гараджаев А. // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, № 2. С. 273–278

3. Kopachevcky N. D. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodinamics. Vol.2: Nonself-adjoinz Problems for Viscous Fluids-Bessel-Bosson-Berlin: BirkhauserVerlag, 2003–444 p.

4. Закора Д. А. Задача о малых движениях идеальной релаксирующей жидкости, заполняющей вращающееся упругое тело // Динамические системы. — 2006. — Вып.20. — с.104–112.

Основные термины (генерируются автоматически): релаксирующая жидкость, упругое тело, динамическая плотность, задача, идеальная релаксирующая жидкость, момент времени, неподвижный упругий сосуд, полнота, работа.


Похожие статьи

Задача о дифракции плоской волны на эллиптическом включении

Распространение поперечных волн в бесконечно длинном цилиндрическом слое

Геометрическая нелинейность в задаче расчета напряженно-деформированного состояния оболочек вращения

Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа, вырождающегося внутри области

Задачи для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа, вырождающегося внутри области

Математическая модель динамики вязкой жидкости в проницаемой трубе

Численное решение задачи переноса вещества в двухзонной среде с нелинейной кинетикой

О характеристике неподвижных точек одного класса p-адических нелинейных функций

О свойствах положительно определенных матриц

Свободные колебания упругого пространства, имеющего цилиндрическую полость

Рассмотрим свободные колебания упругого пространства, имеющего цилиндрическую полость.

Похожие статьи

Задача о дифракции плоской волны на эллиптическом включении

Распространение поперечных волн в бесконечно длинном цилиндрическом слое

Геометрическая нелинейность в задаче расчета напряженно-деформированного состояния оболочек вращения

Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа, вырождающегося внутри области

Задачи для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа, вырождающегося внутри области

Математическая модель динамики вязкой жидкости в проницаемой трубе

Численное решение задачи переноса вещества в двухзонной среде с нелинейной кинетикой

О характеристике неподвижных точек одного класса p-адических нелинейных функций

О свойствах положительно определенных матриц

Свободные колебания упругого пространства, имеющего цилиндрическую полость

Рассмотрим свободные колебания упругого пространства, имеющего цилиндрическую полость.

Задать вопрос