О точном решении задачи движения вязкой сжимаемой жидкости в канале прямоугольной формы | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Физика

Опубликовано в Молодой учёный №9 (32) сентябрь 2011 г.

Статья просмотрена: 364 раза

Библиографическое описание:

Васильева Е. И. О точном решении задачи движения вязкой сжимаемой жидкости в канале прямоугольной формы // Молодой ученый. — 2011. — №9. — С. 7-10. — URL https://moluch.ru/archive/32/3666/ (дата обращения: 21.10.2018).

Найдено точное решение одной модели движения жидкости в канале прямоугольной формы. Это решение может быть использовано для проверки работоспособности численных алгоритмов.

Постановка задачи о стационарном течении вязкой сжимаемой жидкости в канале прямоугольной формы.

Пусть в области с границами протекает вязкая сжимаемая жидкость. Ширина канала слева, куда втекает жидкость, имеет размер

Рисунок 1 – Область определения задачи

Для вывода уравнений, описывающих течение, примем за основу уравнение движения в напряжениях [1]:

(1)

где - тензор напряжений в жидкости,

- скорость,

- плотность.

Для замыкания (1) запишем определяющее соотношение, представляющее собой зависимость между девиаторами напряжений и деформаций или скоростей деформаций. Вид конечных уравнений будет определяться выбором определяющего соотношения.

Определяющее выражение для имеет следующий вид:

(2)

где

- символ Кронекера,
- динамический коэффициент вязкости,
- объёмный коэффициент вязкости,
р – постоянная, имеющая размерность давления.

Система уравнений движения (1) не содержит давление. Для вязкой сжимаемой жидкости используется дополнительное соотношение (2), в которое давление входит явно.

Давление не связано с деформациями и не совершает работу при движении жидкости. Это не позволяет использовать вариационные принципы аналитической динамики для получения разрешающих уравнений и граничных условий в давлениях. Таким образом, будем рассматривать модель жидкости со специальным определяющим уравнением, связывающим все компоненты напряжений со скоростями деформаций:

(3)

Заметим, что для реальных жидкостей [2] давление намного больше касательных напряжений, а дивергенция скорости мала. Поэтому в уравнении (3) коэффициент , определяющий давление, должен быть намного больше коэффициента вязкости .

Подставив определяющее соотношение в уравнение движения (1), и воспользовавшись определением тензора скоростей деформации в виде , получим уравнения:

(4)

или

(5)

Целью гидродинамического расчёта является нахождение полей скоростей. Плотность и вязкость, входящие в уравнения, считаются известными.

С математической точки зрения, полученные уравнения (4), (5) относятся к классу нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Их нелинейность, обусловленная наличием конвективных членов ускорения, приводит к вычислительным трудностям при решении [3]. Поэтому поставим задачу в таком виде, чтобы можно было сохранить не все конвективные члены и не все члены, учитывающие вязкость.

Аналитический метод решения одно- и двумерной задачи.

Рассмотрим одномерную модель течения вязкой сжимаемой жидкости. Движение жидкости в канале (рисунок 1) установившееся [4], следовательно, все производные по времени равны нулю. Так как модель одномерная, то равны нулю и компоненты скорости по осям Y, Z. Таким образом, исходное уравнение с граничными условиями будет иметь вид:

(6)

где – давление, - объёмная вязкость, - плотность, - длина канала.
Общее решение имеет вид:

(7)

Учитывая граничные условия, находим С1 , С2 и подставляем их в решение. Таким образом, точное решение имеет вид:

(8)

Рисунок 2 – Распределение скорости по длине канала


Рассмотрим двумерную модель течения вязкой сжимаемой жидкости. Предположим, что течение плоское, т.е. . Тогда имеем:

(9)

В результате требуется решить в указанной области (рисунок 1) уравнение движения жидкости (9) со следующими граничными условиями:

Введём параметр в задачу [5]. Строить решение будем в виде суммы ряда по степеням малого параметра :

(10)

Подставляя выражение (10) в (9) и раскрывая скобки, получаем после группировки членов с одинаковыми степенями :

Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях , получаем последовательность линейных краевых задач:

(11)

Решив все уравнения (11) с учётом граничных условий и подставив выражения для , , в (10), получаем искомое решение двумерной задачи. Так, при сохранении трех слагаемых ряда (10) имеем:

(12)


Рисунок 3 – Распределение скорости по ширине канала

В результате получено распределение скорости по ширине канала (рисунок 3). Рассмотренная модельная задача одно- и двумерного течения вязкой сжимаемой жидкости может быть использована для тестирования численной схемы интегрирования уравнений (1).


Литература:
  1. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред [Текст] / Дж.Мейз. – М.: ЛКИ, 2007. – 320 с.

  2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа [Текст] / Л.Г. Лойцянский. – М.: Наука, 1970. – 904 с.

  3. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика [Текст] / К.С. Басниев, Н.М. Дмитриев, Г.Д. Розенберг. – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. – 544 с.

  4. Биркгоф Г. Гидродинамика [Текст] / Г. Биркгоф. – М.: ИЛ, 1963. – 244 с.

  5. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механики жидкости [Текст] / М. Ван-Дайк. - М.: Мир, 1967. – 296 с.

Основные термины (генерируются автоматически): вязкая сжимаемая жидкость, распределение скорости, определяющее соотношение, уравнение, прямоугольная форма, точное решение, двумерная задача, движение жидкости, длина канала, скорость деформаций.


Похожие статьи

Сопряжённый теплообмен при движении вязкой несжимаемой...

по координате y; u, v — размерные продольная и поперечная составляющая скорости движения жидкости соответственно; T0, v0– начальные размерные значения температуры и скорости. Решена система уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока-вихрь...

Возможные методы решения математических задач...

В настоящей работе мы коснемся некоторых аспектов другой задачи из этого списка — проблемы решения системы уравнений Навье-Стокса. Поскольку система Навье-Стокса описывает движение жидкости...

К вопросу определения скорости фильтрации и времени...

Наличие у жидкости релаксационных свойств определяет характер сопротивления при движении в пористой среде. Поскольку релаксирующая жидкость реагирует на изменение условий с некоторым запаздыванием...

Об устойчивости неизотермического микроконвективного течения...

1. Постановка задачи и определяющие уравнения. Пусть жидкость заполняет плоский вертикальный канал ширины 2a (рис. 1). Границы канала – неподвижные твердые стенки. Рис. 1. Схема течения.

Эйлеровы методы моделирования потоков со свободной...

Для решении многих задач гидротехники, мелиорации и водоснабжения необходимо определять форму и положение границы раздела потока движущейся жидкости. Характерными случаями такого типа являются такие нестационарные задачи как...

Об одном из методов решения уравнения Навье — Стокса

Что касается задач динамики вязкой жидкости, то здесь наибольшие успехи связаны с применением метода конечных разностей.

Перейдем теперь от общих вопросов к выяснению численного решения уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости.

Исследование влияния соотношения сторон прямоугольного...

В данной работе исследовано влияние соотношения сторон прямоугольного сопла (L) [3] и соотношение между исходными значениями скорости струи и спутного потока m , а также влияние начальных значений

Численное исследование двухфазной жидкости.

Математическая модель динамики вязкой жидкости...

Для решения поставленной задачи рассмотрим движение вязкой жидкости при учете расхода через пористости стенок и гидравлического сопротивления, пропорционального первой степени расхода

Расчет стабилизированного изотермического течения жидкости...

Выполним расчет течения жидкости в круглой цилиндрической трубе. Согласно f˗модели: (3). (4). В уравнении движения (3) и уравнении (4) переноса безразмерной функции величины: , — плотность; — давление; — динамическая вязкость; — вектор скорости...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Сопряжённый теплообмен при движении вязкой несжимаемой...

по координате y; u, v — размерные продольная и поперечная составляющая скорости движения жидкости соответственно; T0, v0– начальные размерные значения температуры и скорости. Решена система уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока-вихрь...

Возможные методы решения математических задач...

В настоящей работе мы коснемся некоторых аспектов другой задачи из этого списка — проблемы решения системы уравнений Навье-Стокса. Поскольку система Навье-Стокса описывает движение жидкости...

К вопросу определения скорости фильтрации и времени...

Наличие у жидкости релаксационных свойств определяет характер сопротивления при движении в пористой среде. Поскольку релаксирующая жидкость реагирует на изменение условий с некоторым запаздыванием...

Об устойчивости неизотермического микроконвективного течения...

1. Постановка задачи и определяющие уравнения. Пусть жидкость заполняет плоский вертикальный канал ширины 2a (рис. 1). Границы канала – неподвижные твердые стенки. Рис. 1. Схема течения.

Эйлеровы методы моделирования потоков со свободной...

Для решении многих задач гидротехники, мелиорации и водоснабжения необходимо определять форму и положение границы раздела потока движущейся жидкости. Характерными случаями такого типа являются такие нестационарные задачи как...

Об одном из методов решения уравнения Навье — Стокса

Что касается задач динамики вязкой жидкости, то здесь наибольшие успехи связаны с применением метода конечных разностей.

Перейдем теперь от общих вопросов к выяснению численного решения уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости.

Исследование влияния соотношения сторон прямоугольного...

В данной работе исследовано влияние соотношения сторон прямоугольного сопла (L) [3] и соотношение между исходными значениями скорости струи и спутного потока m , а также влияние начальных значений

Численное исследование двухфазной жидкости.

Математическая модель динамики вязкой жидкости...

Для решения поставленной задачи рассмотрим движение вязкой жидкости при учете расхода через пористости стенок и гидравлического сопротивления, пропорционального первой степени расхода

Расчет стабилизированного изотермического течения жидкости...

Выполним расчет течения жидкости в круглой цилиндрической трубе. Согласно f˗модели: (3). (4). В уравнении движения (3) и уравнении (4) переноса безразмерной функции величины: , — плотность; — давление; — динамическая вязкость; — вектор скорости...

Задать вопрос