Библиографическое описание:

Тиллабоев Е. К., Дадамирзаев М. Г., Абдулхафизов Б. Х. Об одном из методов решения уравнения Навье — Стокса // Молодой ученый. — 2015. — №6. — С. 7-12.

In this article was presented solving the equations of Nave — Stocks with the help of actually packs activity. Discussed the analyses of speed epicures.

Ключевые слова: MathCAD, численные методы, Навье-Стокс, движения, скорость.

 

В последние время появились многие пакетные программы, с помощью появились возможность решения математических задач (в том числе и других задач науки, описывающее такими же математическими моделями) без составления компьютерных программ. В учебном процессе (иногда и в научных учреждениях) с помощью использованием таких систем как MathCAD, Maple, Mat lab, Mathematic и. т.д занятия становятся интереснее, осмысление содержания занятия более быстрое и глубокое а также на укрепление излагаемых понятий и на решение задач остаётся достаточно много времени. Из выше указанных систем, MathCAD — более проще чем остальные и она предназначено для технических вузов, а остальные, можно сказать, для профессиональных математиков. Именно в MathCAD задача формулируется в наиболее естественном математическом виде, а в других математических системах шаги алгоритма решения задачи записываются с помощью команд системы.

В численных методах, ориентированных на задачи гидрогазодинамики, к настоящему времени определился ряд направлений. Среди них выделяются методы конечных разностей, крупных частиц, конечных элементов, интегральных соотношений, сеточно-вариационные и другие. Что касается задач динамики вязкой жидкости, то здесь наибольшие успехи связаны с применением метода конечных разностей. Этот метод выделяется простотой и своей универсальностью и может обеспечить высокую точность результатов.

Перейдем теперь от общих вопросов к выяснению численного решения уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости. Поскольку эти уравнения содержат оператор Лапласа от проекций скорости, то сами уравнения относятся к эллиптическому или параболическому типам, соответственно для стационарных или нестационарных задач.

Движения несжимаемой жидкости с очень малыми скоростями или в тонких капиллярах, или, наконец, при движении очень вязких жидкостей является так называемое ламинарное (слоистое), при котором линии тока прямые линии, параллельные оси трубы.

Направим ось по оси трубы и будем предполагать трубу бесконечно длинной, а поток — направленным вдоль оси трубы, так что из трех компонент скорости u, v, w остается лишь одна w, а остальные две равны нулю. Отвлекаясь от действия объемных сил и считая поток изотермическим, а следовательно, плотность  и коэффициент вязкости  постоянными, будем иметь, согласно уравнениям Навье -Стокса [1], систему уравнений:

                                                        (1)

Из последнего уравнения этой системы следует, что w представляет собой функцию только x и y, а из первых двух- что p- функция только z. Иными словами, если провести нормальные к оси трубы сечения, то во всех таких сечениях распределения скоростей одинаковы, а давление меняется только от сечения к сечению, сохраняя в данном сечении одинаковое значение. Такие движения называют установившимися.

Предыдущая система равенств сводится к одному

                                                                                                   (2)

Уравнение (2) сводится к линейному уравнению в частных производных второго порядка в плоскости (уравнению Пуассона)

                                                                                        (3)

Рассмотрим задачу о протекании несжимаемой вязкой жидкости сквозь трубу прямоугольного сечения. Обозначим высоту прямоугольника, параллельную оси Oy, через 2h, а основание, параллельное оси Ox, 2h, где —  любая положительная постоянная. Ось Oz проведем через центр прямоугольника и направим вниз по потоку, для удобства выбираем безразмерное уравнения и граничные условия [1]:

                                                                                                        (4)

 и при . () (5)

Известно что, таких как уравнения (4) в теории разностных схем принято кратко и обобщенно записывать математическую формулировку дифференциальной задачи, включая граничное условия, в виде:

L*w*=f                                                                                                                          (6)

где L-дифференциальный оператор, w* и f -соответственно искомая функция непрерывного аргумента и заданная правая часть.

Аналогично, разностная задача, поставленная в соответствие дифференциальной (аппроксимирующая последнюю), может быть записана в виде

Lh*w*(h)=f (h)                                                                                                                   (7)

где Lh — разностный оператор, w*(h) — сеточная функция, f (h)- заданная правая часть, h-шаг сетки [1].

В MathCAD идея решения дискретной задачи Lh*w*(h)=f (h) очень проста и естественна:

w*(h)= 1/Lh*f (h).

Как известно в MathCAD задачи решаются следующими способами [2]:

-          с помощью внутренних функций MathCAD;

-          с помощью математического алгоритма решения задачи;

-          с помощью алгоритма решения задачи, реализованного, во внутренним языке MathCAD.

Для численного решения уравнения (4) в областей  вводим конечно-разностную схему следующим образом. Построим сетки , для этого в области - проводим параллельные прямые на оси координат , где , , , ,  (n, k- число узловые точки). Для построения конечно — разностного уравнения, частные производные заменим следующим образом:

 

Подставляя их уравнению (4) получим следующее алгебраическое уравнение:

                                                               (8)

где  , ,

граничные условии:

 

Полученное уравнение решается методом Зейделя с помощью MathCAD.

Вводим следующее команды в окне MathCAD.

 


Выведем таблицу значений приближённого решения:

 

Из полученных результатов можно увидеть, что течение Пуазейловское (максимальное значение скорости в центре) и граничные условия выполняются.

Выведем графики приближённого решения:

Рис. 1. Эпюра скорости (внешний вид)

 

Рис. 2. Эпюра скорости (внутренний вид)

 

В статье рассмотрен один из методов решения уравнения Навье -Стокса, с помощью MathCAD. Проанализированы эпюры скорости в табличном и графических видах. Видно, что в графическом виде отображение эпюр скорости удобнее и представления свойства течения показательнее. Это происходит благодаря с возможностями программы MathCAD.

 

Литература:

 

1.                   Л. Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа. Москва, Наука — 1987г.-840 с.

2.                   Охарзин.В. А. Прикладная математика в системе Mat CAD. СПб, Лань, 2008г. -352с.

Основные термины (генерируются автоматически): решения уравнения, алгоритма решения задачи, оси трубы, решения уравнения Навье, несжимаемой жидкости, численного решения уравнения, решения уравнения колебаний, вязкой жидкости, параллельные оси трубы, решения уравнений Навье, решения математических задач, конечных разностей, несжимаемой вязкой жидкости, Стокса несжимаемой жидкости, безразмерное уравнения и граничные, конечно — разностного уравнения, Движения несжимаемой жидкости, параллельное оси ox, параллельную оси oy, последнего уравнения.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос