Анализ больших деформаций решетчатой пластины глаза | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 22 августа, печатный экземпляр отправим 9 сентября.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Анализ больших деформаций решетчатой пластины глаза / Ю. В. Скородумова, А. А. Иванова, С. А. Кулагина [и др.]. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 27 (317). — С. 23-30. — URL: https://moluch.ru/archive/317/72390/ (дата обращения: 08.08.2020).



В работе рассмотрена устойчивость осесимметричных форм равновесия однородных изотропных пластин, моделирующих решетчатую пластинку диска зрительного нерва человека. В предположении, что несимметричная составляющая решения носит периодический характер, численным методом определено наименьшее значение нагрузки, при которой появляются волны в окружном направлении. Исследовано влияние различных условий закрепления пластины, наличия и размеров отверстия в центре пластины на величину критической нагрузки и форму потери устойчивости.

Ключевые слова: биомеханика глаза, круглая пластина, потеря устойчивости.

Введение. В данной работе была рассмотрена задача о потере устойчивости симметричной формы равновесия однородной круглой пластины. Такая пластина может быть простейшей моделью решетчатой пластины диска зрительного нерва человека [6]. Были поставлены две задачи: исследовать влияние условий закрепления края на величину критической нагрузки; рассмотреть задачу о возникновении неосесимметричных состояний у кольцевой пластины.

Впервые вопрос о существовании несимметричных решений у симметрично загруженной круглой пластины был рассмотрен в [1]. Исследуя большие прогибы пластины, загруженной постоянным давлением, авторы получают решение, соответствующее несимметричным формам равновесия.

Строгое доказательство существования несимметричного решения для симметрично нагруженной пластины было проведено в [2], а его единственность доказана в работе [3].

В работах [4], [5] для пологой сферической оболочки и круглой пластины при различных условияx закрепления и нагружения определены значения критической нагрузки, при которой происходит переход от симметричной формы равновесия к неосесимметричной.

Постановка задачи. Рассмотрим круглую изотропную пластину, защемленную по краю и находящуюся под действием равномерно распределенного давления. Запишем систему уравнений в виде [7]:

(1)

где w(r, θ) , F(r, θ) — неизвестные функция нормального прогиба и функция усилий; D = Eh 3 / 12(1-ν 2 ) — цилиндрическая жесткость пластины, E — модуль упругости пластины, R — радиус пластины, h — толщина пластины, ν — коэффициент Пуассона материала пластины, p — нормальное давление, действующее на пластину; r и θ — полярные координаты срединной поверхности пластины: 0 ≤ r R , 0 ≤ θ ≤ 2 π ; оператор Лапласа Δ и дифференциальный оператор L имеют вид:

Функция F(r,θ) связана с возникающими при деформации усилиями в пластине, по следующим формулам [7]:

Предположим, что точки края r = R закреплены от поворотов, но свободно смещаются в радиальном и окружном направлениях. В этом случае растягивающее ( T r ) и сдвигающее ( S ) усилия на контуре полагаем равными 0:

(2)

Введем безразмерные переменные

Тогда система уравнений (1) примет следующий вид (знак * в дальнейшем опускаем):

(3)

Граничные условия сохраняют вид (2).

Для сплошной пластины граничные условия (2) должны быть дополнены условиями ограниченности решений в центре

Метод поиска несимметричного решения. Нам нужно найти критическое значение нагрузки p = p cr , при котором возможна бифуркация пластины в неосесимметричное состояние. При значениях нагрузки p меньше критического значения система (3), дополненная необходимыми граничными условиями, имеет только симметричное решение. Несимметричное решение этой системы появляется при возрастании нагрузки.

Будем искать решение в виде

(4)

где функции w s , F s описывают докритическое симметричное решение, а функции w ns (r, θ) = w n (r) cos(nθ) , F ns (r, θ) = F n (r) cos(nθ) — закритическое состояние пластины (здесь n — число волн в окружном направлении, образовавшихся после потери устойчивости).

После разделения переменных (4) исходная система (1)–(2) распадается на нелинейную для нахождения симметричного решения w s (r) , F s (r) и линейную относительно w n (r) , F n (r) , так как функции w ns , F ns полагаются малыми сразу после перехода пластины в неосесимметричное состояние.

Подставляя (4) в (3), с учетом обозначений получаем систему уравнений для симметричного решения задачи:

(5)

Граничные условия (2) с учетом ограниченности решений в центре пластины примут вид

(6)

Для несимметричного решения после разделения переменных получим линейную систему уравнений относительно w n (r) и F n (r)

(7)

где и граничные условия

(8)

Учитывая ограниченность искомых решений, в центре пластины полагаем

(9)

Для каждого числа волн n будем искать такие значения нагрузки p n , при которых существуют отличное от нуля решение системы (7)-(9) при условии (5)-(6). Под критической нагрузкой p cr будем понимать наименьшее значение нагрузки p n , т. е. p cr = min n (p n ).

Схема численного решения задачи состоит из двух этапов и аналогична методу, описанному в работах [4], [5]. На первом этапе решается симметричная задача (5)-(6). Для заданных p и n вычисляются w s , F s и их производные. Затем с помощью метода конечных разностей проверяется существование решения несимметричной задачи.

Пластина с упруго-заделанным краем . Нелинейная задача теории пластин и оболочек допускает различные варианты граничных условий на краю пластины. Рассмотрим случай наличия по краю пластины упругой связи (пружины), препятствующей ее свободному смещению в радиальном направлении, тогда проекция вектора перемещения u на ось r и тангенциальное усилие T r на внешнем крае взаимосвязаны, т. е. k u u + T r = 0, где k u коэффициент упругости заделки.

Таким образом, система уравнений (1) сохраняется, а граничные условия запишутся в виде

(10)

Чтобы выразить компоненту перемещения u(r, θ) через искомые функции w , F , воспользуемся представлением компонент деформации ε r , ε θ , ω через компоненты вектора перемещения u , v , w, с одной стороны, и усилий T r , T θ , S , с другой:

(11)

После разделения переменных (4) граничные условия для симметричной задачи (5) запишутся в виде

(12)

Для системы (7), описывающей несимметричное решение, граничные условия примут вид

(13)

где

Случай кольцевой пластины . В случае кольцевой пластины вместо условий ограниченности решений в центре пластины необходимо задать граничные условия. Одним из возможных вариантов закрепления внутреннего края ( r = δ ) может быть свободное перемещение точек края в радиальном и окружном направлении при ограничении поворотов. Тогда необходимо принять равным нулю поперечное реактивное усилие, складывающееся из поперечной силы и производной от крутящего момента. В терминах нормального перемещения w и функции усилий F граничные условия запишутся в следующем виде:

(14)

На внешнем крае пластины r = 1 в общем случае можно задать условия упругой заделки (10). Тогда система уравнений, описывающая симметричное равновесное состояние, примет вид

(15)

с граничными условиями

Результаты. Были проведены серии расчетов для находящейся под давлением однородной пластины, а также для пластины с упруго-заделанным краем, для кольцевой пластины и для пластины, совмещающей эти свойства.

Для однородной сплошной пластины с краем, который может свободно смещаться в радиальном направлении, наименьшее критическое значение нагрузки p cr 0 и соответствующее ему волновое число n , найденные в результате решения системы (7)-(8), оказались равны p cr 0 = 67236 и n = 13. Полученные результаты для n = 10, 11, …, 20 представлены в таблице 1.

Таблица 1

Значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для однородной сплошной пластины.

n

10

11

12

13

14

15

p cr

114751

77425

69387

67236

67587

69335

n

16

17

18

19

20

p cr

71998

75331

79197

83512

88223

В случае упругой связи по краю пластины, с ростом жесткости пружины k u пластина переходит в неосесимметричное состояние при более высоких величинах критической нагрузки и с образованием большего числа волн в окружном направлении, что можно увидеть в таблице 2. В таблице 3 представлены минимальные критические нагрузки для рассмотренных k u .

Таблица 2

Значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для однородной сплошной пластины с упруго-заделанным краем.

k u

n

0.001

0.01

0.05

0.1

0.15

0.2

0.3

10

170170

11

80908

94485

12

69107

77457

139087

13

65527

72240

115036

241263

14

65088

71111

106897

191116

420604

15

66296

72026

104650

173081

315936

748190

16

68538

74184

105413

166377

277496

524978

17

71514

77205

108021

165256

261119

444182

18

75058

80883

111909

167447

255179

407551

19

79074

85098

116770

171866

255211

390838

1177638

20

83501

89776

122424

177927

259124

385084

1007669

Таблица 3

Минимальные значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для однородной сплошной пластины с упруго-заделанным краем

k u

0.001

0.01

0.05

0.1

0.15

0.2

0.3

n

14

14

15

17

18

20

24

p cr 0

65088

71111

104650

165256

255179

385084

839714

Значения критических нагрузок и соответствующих им волновых чисел, полученных в результате вычислений для кольцевой пластины при различных значениях радиуса отверстия δ , показаны в таблице 4. Наименьшие значения нагрузки для каждого δ представлены в таблице 5.

Таблица 4

Значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для однородной кольцевой пластины

δ

n

0.01

0.05

0.1

0.15

0.2

10

132711

100303

87653

84136

85533

11

78075

74328

73353

75429

80280

12

67938

67746

69631

73746

80285

13

64952

66238

69583

74971

82766

14

64827

67024

71400

77817

86740

15

66242

69133

74378

81740

91765

16

68639

72133

78183

86470

97613

17

71743

75800

82636

91857

104156

18

75401

80006

87633

97815

111317

19

79521

84676

93111

104286

119048

20

84047

89761

99027

111238

127318

Таблица 5

Минимальные значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для однородной кольцевой пластины.

δ

0.01

0.05

0.1

0.15

0.2

n

14

13

13

12

11

p cr 0

64827

66238

69583

73746

80280

В случае наличия у кольцевой пластины упруго-заделанного края, так же, как и в случае сплошной пластины, при увеличении жесткости пружины k u переход в неосесимметричное состояние происходит при более больших значениях критической нагрузки и с образованием большего числа волн. Результаты расчетов можно увидеть в таблице 6. В таблице 7 показаны наименьшие критические значения нагрузки и соответствующие им волновые числа для каждого рассмотренного δ и k u = 0.001, 0.01, 0.05.

Таблица 6

Значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для кольцевой пластины с упруго-заделанным краем

k u

n

0.001

0.01

0.05

0.001

0.01

0.05

δ = 0.01

δ = 0.0 5

10

187592

108171

11

80840

76321

115819

12

69235

88269

68813

83346

13

65769

76222

66944

75778

14

65409

72546

67536

73822

15

66680

72050

69521

74342

16

68978

73228

72430

76274

17

72005

75459

149816

76024

79143

137269

18

75599

78436

127516

80167

82704

126009

19

79663

81988

120868

84780

86817

122550

20

84136

86013

119003

89809

91397

122395

δ = 0. 1

δ = 0. 15

10

91445

86641

154917

11

74842

97850

76640

93552

12

70514

81970

74512

84222

13

70191

77731

75510

82227

14

71846

77397

78211

83253

15

74713

79029

82028

85959

16

78433

81874

154570

86672

89773

149685

17

82813

85574

134873

91984

94408

139630

18

87746

89935

129286

97870

99704

137238

19

93161

94843

128379

104273

105564

138238

20

99017

100227

129883

111156

111927

141206

δ = 0. 2

10

87448

120305

11

81323

95204

12

80970

89635

13

83250

89427

14

87086

91755

15

92003

95611

177220

16

97760

100533

155426

17

104220

106282

149991

18

111300

112720

149921

19

118951

119761

152622

20

127138

127351

157069

Таблица 7

Минимальные значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для кольцевой пластины с упруго-заделанным краем

k u

δ

0.001

0.01

0.05

n

p cr 0

n

p cr 0

n

p cr 0

0.01

14

65409

15

72050

20

119003

0.05

13

66944

14

73822

20

122395

0.1

13

70191

14

77397

19

128379

0.15

12

74512

13

82227

18

137238

0.2

12

80970

13

89427

18

149921

Для k u = 0.1, 0.2, 0.3, рассмотренных в случае сплошной пластины, значения критических нагрузок оказываются очень большими при большом числе образующихся волн. Пример для случая k u = 0.1 приведен в таблице 8.

Таблица 8

Минимальные значения критических нагрузок и соответствующих волновых чисел для кольцевой пластины с упруго-заделанным краем при k u = 0.1

δ

0.01

0.05

0.1

0.15

0.2

n

31

30

29

29

28

p cr 0

1165458

1153910

1190263

1444323

1488912

Заключение. В данной работе представлены результаты численного исследования потери устойчивости осесимметричных форм равновесия однородных сплошных и кольцевых пластин при различных условиях закрепления внешнего края.

Показано, что при увеличении жесткости пружины, ограничивающей перемещение края пластины в радиальном направлении, как в случае сплошной, так и в случае кольцевой пластины переход в неосесимметричное состояние происходит при значительно больших критических нагрузках и с образованием большего числа волн в окружном направлении. Показана зависимость значений критической нагрузки от размеров отверстия в центре в случае кольцевой пластины.

Литература:

  1. Панов Д. Ю., Феодосьев В. И. О равновесии и потере устойчивости пологих оболочек при больших прогибах // ПММ. Т.XII. 1948. С. 389–406.
  2. Морозов Н. Ф. К вопросу о существовании несимметричного решения в задаче о больших прогибах круглой пластины, загруженной симметричной нагрузкой // Изв. Высш. Уч. Заведений. Математика. 1961. № 2. С. 126–129.
  3. Piechocki W. On the non-linear theory of thin elastic spherical shells // Arch. Mech. Stos. 1969. N21. P. 81–101.
  4. Huang N. C. Unsymmetrical buckling of thin shallow spherical shells // J. Appl. Mech. 1964. N31. P. 447–457.
  5. Cheo L. S., Reiss E. L. Unsymmetric wrinkling of circular plates // Quart. Appl. Math. 1971. N31. P. 75–91.
  6. Bauer S. M., Voronkova E. B. On the deformation of the Lamina Cribrosa under intraocular pressure // Russian Journal of Biomechanics. 2001. Vol. 5. N1. P. 73–82.
  7. Бауэр С. М., Воронкова Е. Б. О потере устойчивости симметричных форм равновесия круглых пластин под действием нормального давления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012. Вып. 1. С. 80–85.
Основные термины (генерируются автоматически): кольцевая пластина, упруго-заделанный край, критическая нагрузка, окружное направление, неосесимметричное состояние, несимметричное решение, система уравнений, таблица, центр пластины, однородная сплошная пластина.


Ключевые слова

биомеханика глаза, круглая пластина, потеря устойчивости

Похожие статьи

К вопросу расчета пластин и оболочек с нарушениями регулярности

Вариационные методы решения дифференциальных уравнений в теории пластин и оболочек являлись по сути аналитическими. К ним относятся методы Ритца, Бубнова-Галеркина и Тимошенко. Численные методы по определению являются приближенными.

Исследование устойчивости конечно разностных схем для...

прямоугольная мембрана, балка, прямоугольная пластина, колебания системы, управление, интеграл энергии. Исследование устойчивости конечно разностных схем для численного решения уравнений колебаний прямоугольной мембраны и прямоугольной пластины.

Об устойчивости сжатых пластин | Статья в журнале...

Решается задача об устойчивости сжатой эластомерной пластины в рамках теории тонких пластин и оболочек.

Итерационные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений не обеспечивают сходимость к искомому решению в окрестности таких точек.

К решению краевых задач пространственных стержней при...

Ключевые слова: Система дифференциальных уравнений, метод Канторович — Власова, упруго-пластическая деформация, центральная

; Цель задач — исследование численной сходимости. Поэтому в таблице приводятся экстремальные значения решения краевых задач...

Нелинейные колебания резиновой мембраны | Статья в журнале...

Решение нелинейных динамических уравнений строится с применением метода сеток.

Гасратова, Н. А. Напряженно-деформированное состояние упругого пространства со сферическим жестким включением

Об устойчивости сжатых пластин | Статья в журнале...

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Пример 1. Рассмотрим однородное уравнение (10) и пусть начальное отклонение задаётся как , скорость распространения будет .

Исследование устойчивости решений дискретных систем (разностных уравнений) является одной из важнейших задач.

К вопросу о колебаниях упругозакрепленного корпуса при...

Поэтому, проведя линейное однородное преобразование координат.

получим дифференциальные уравнения колебаний корпуса в главных координатах

Решается задача об устойчивости сжатой эластомерной пластины в рамках теории тонких пластин и оболочек.

Автоматизация решения краевых задач вязкоупругих пластин...

Нормализованное уравнение геометрии области для пластины, представленной на рис.1, имеет вид

Далее рассмотрим вынужденные колебания жестко защемленных вязкоупругих пластин (рис.1). Пусть пластина находится под действием нагрузки (q=1) и при следующих...

Расчет пластин на действие локальных нагрузок аналитическим...

. Подставим данные выражения для нагрузок в уравнение прогиба для тонкой пластины: Решение уравнения будем искать методом Власова-Канторовича, сводя краевую задачу для уравнения в частных производных к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением

Система разрешающих уравнений, описывающая колебания бесконечно длинной в направлении

Связь между усилием и кратностью удлинения задается с помощью упругого потенциала для

Если края арки-полоски соединены так, что , , так система уравнений (2)...

Похожие статьи

К вопросу расчета пластин и оболочек с нарушениями регулярности

Вариационные методы решения дифференциальных уравнений в теории пластин и оболочек являлись по сути аналитическими. К ним относятся методы Ритца, Бубнова-Галеркина и Тимошенко. Численные методы по определению являются приближенными.

Исследование устойчивости конечно разностных схем для...

прямоугольная мембрана, балка, прямоугольная пластина, колебания системы, управление, интеграл энергии. Исследование устойчивости конечно разностных схем для численного решения уравнений колебаний прямоугольной мембраны и прямоугольной пластины.

Об устойчивости сжатых пластин | Статья в журнале...

Решается задача об устойчивости сжатой эластомерной пластины в рамках теории тонких пластин и оболочек.

Итерационные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений не обеспечивают сходимость к искомому решению в окрестности таких точек.

К решению краевых задач пространственных стержней при...

Ключевые слова: Система дифференциальных уравнений, метод Канторович — Власова, упруго-пластическая деформация, центральная

; Цель задач — исследование численной сходимости. Поэтому в таблице приводятся экстремальные значения решения краевых задач...

Нелинейные колебания резиновой мембраны | Статья в журнале...

Решение нелинейных динамических уравнений строится с применением метода сеток.

Гасратова, Н. А. Напряженно-деформированное состояние упругого пространства со сферическим жестким включением

Об устойчивости сжатых пластин | Статья в журнале...

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Пример 1. Рассмотрим однородное уравнение (10) и пусть начальное отклонение задаётся как , скорость распространения будет .

Исследование устойчивости решений дискретных систем (разностных уравнений) является одной из важнейших задач.

К вопросу о колебаниях упругозакрепленного корпуса при...

Поэтому, проведя линейное однородное преобразование координат.

получим дифференциальные уравнения колебаний корпуса в главных координатах

Решается задача об устойчивости сжатой эластомерной пластины в рамках теории тонких пластин и оболочек.

Автоматизация решения краевых задач вязкоупругих пластин...

Нормализованное уравнение геометрии области для пластины, представленной на рис.1, имеет вид

Далее рассмотрим вынужденные колебания жестко защемленных вязкоупругих пластин (рис.1). Пусть пластина находится под действием нагрузки (q=1) и при следующих...

Расчет пластин на действие локальных нагрузок аналитическим...

. Подставим данные выражения для нагрузок в уравнение прогиба для тонкой пластины: Решение уравнения будем искать методом Власова-Канторовича, сводя краевую задачу для уравнения в частных производных к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением

Система разрешающих уравнений, описывающая колебания бесконечно длинной в направлении

Связь между усилием и кратностью удлинения задается с помощью упругого потенциала для

Если края арки-полоски соединены так, что , , так система уравнений (2)...

Задать вопрос