Автоматизация решения краевых задач вязкоупругих пластин произвольной конфигурации при различных моделях вязкости в среде системе Maple | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 2 ноября, печатный экземпляр отправим 6 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Садиков Х. С., Исмоилова З. Т., Кушмуротов У. И., Норов Г. М. Автоматизация решения краевых задач вязкоупругих пластин произвольной конфигурации при различных моделях вязкости в среде системе Maple // Молодой ученый. — 2017. — №50. — С. 102-106. — URL https://moluch.ru/archive/184/47197/ (дата обращения: 24.10.2019).



Работа посвящена автоматизации и моделированию решения квазистатических и динамических задач вязкоупругих пластин произвольной конфигурации при различных моделях вязкости в среде системе Maple.

Отметим что, значение вычислительного эксперимента трудно переоценить, особенно, если натурный эксперимент опасен, дорог или просто невозможен. Только разумное сочетание аналитических и численных методов является необходимым условием успеха при решении практических задач.

Как известно, математическая модель данной задачи имеет вид:

Отметим что, если при формулировке основных физических соотношений используем гипотезу о постоянстве коэффициента Пуассона, тогда изгибающие и крутящие моменты вычисляется следующими формулами:

где D- жесткость вязкоупругих пластин; интегральный оператор с ядрами релаксации R(t), т. е. )d — прогиб пластины;

µ — коэффициент Пуассона; q(x,y,t)-интенсивность внешней нагрузки.

Если же используем гипотеза об упругости объемных деформации, тогда для изгибающих и крутящего моментов вычисляется следующими формулами

где G=E/2(1+µ) — модуль сдвига; E — модуль упругости; — интегральный оператор с ядрами сдвиговой релаксации — интегральный оператор, т. е.

K=E/3(1- 2µ) — объемный модуль упругости; h — толщина пластины.

Как известно, уравнение колеблющейся тонкой вязкоупругой плиты имеет вид

где ρh — масса плиты, отнесенная к единице поверхности.

Уравнения (4) решаются при соответствующих граничных и начальных условиях

где — дифференциальные операторы, зависящие от граничных условий; Г — граница области; и — начальные значения.

Решения уравнений (1) и (4) ищем в виде

W(x,y,t)= (6)

где - системы координатных функций (полиномы Чебышева, степенные, тригонометрические, сплайны Шенберга и т. д.) СКФ.

Отметим что, СКФ точно удовлетворяют всех граничных условий, которые строятся с помощью метода R — функций В. Л. Рвачева [1];

— неизвестные функции времени t.

Сначала рассмотрим задачи квазистатического изгиба свободно опертых вязкоупругих пластин, изображенных на рисунке 1. Пусть пластина находится под действием нагрузки (q=1). В качестве ядра сдвиговой релаксации используется ядро R(t)=ε.

Рис. 1.

С целью численного решения поставленной задачи воспользуемся структурой

W(x,y)= ωΦ1- ω2 /2∙ [Φ1(D2ω+μТ2ω)+2D1Φ1 ωΦ2] (7)

В приведенных структурных формулах Ф1 и Ф2 –неопределенные компоненты структуры, которые представляется в виде

Фs=, - неизвестные компоненты, подлежащие определению, полная линейно-независимая система функций; D2, T2-дифференциальные операторы R-функций, ω — нормализованная уравнения границы области.

Присутствие двух и более числа неопределенных функций в структуре создает трудности при решении краевых задач. Примем одну из неопределенных функций равной нулю. Например, в (7) положим Ф1 ≠ 0 и Ф2=0, но нельзя Ф2 ≠ 0 и Ф1=0, так как это обстоятельство приводит к появлению «лишнего» граничного условия [1].

Нормализованное уравнение геометрии области для пластины, представленной на рис.1, имеет вид:

Ω=((Ω 1 (-Ω 2)) (8)

где Ω 1 =(a2-x2)/2a (b2-y2)/2b, Ω 2 =(c2-x2)/2c (y-d)

оператор логический конъюнкции нулевого порядка.

Отметим что, при решение краевых задач используется ортонормированное СКФ по бигармоническому и единичному оператору соответственно и далее для решения автономным систем интегральных и интегро-дифференциальных уравнений применяется численный метод, основанный на использовании квадратурных формул [2].

На рис.2, а показано изменение прогиба W(x,y,t) во времени (пунктирная линия) по оси ОХ и y=0.2, а на рис.2,б — изменение изгибающего и крутящего моментов (пунктирная линия) в той же точке. Cсплошными линиями показано изменение тех же величин для пластины с постоянными во времени коэффициентом Пуассона и ядром релаксации, совпадающим с ядром Rc(t) для рассматриваемой пластины.

Отметим что, когда используется гипотеза о постоянстве коэффициента Пуассона, тогда прогиб не изменяется во времени t.

Рис. 2.

Результаты получены при следующих значениях безразмерных параметров:

Λ=a/b=1; c/a=0.5; d/a=0.2; ε=0.05; β=0.075; µ=0.17

Здесь мы сравнивали полученные результаты на основе двух гипотезы. Численное результаты показывает что, результаты полученные на основе гипотеза об упругости объемных деформации хорошо согласуется с результатами эксперимента,

Далее рассмотрим вынужденные колебания жестко защемленных вязкоупругих пластин (рис.1). Пусть пластина находится под действием нагрузки (q=1) и при следующих начальных условиях W|t=0=0, Wt|t=0=0.

Рис. 3.

Результаты получены при следующих значениях безразмерных параметров:

Λ=a/b=1; c/a=0.5; d/a=0.2; ε=0.05; β=0.075; µ=0.17

На рис.3 показано изменение прогиба пластины W(0.0;0.2;t) полученные на основе двух гипотезы. Для сравнения сплошными линиями показано изменение прогиба пластины W(0.0;0.2;t), полученное на основе гипотезы о постоянстве коэффициента Пуассона.

В табл.1 для c/a=0.5; d/a=0.5 приведены значения частотного параметра λi первых трех тонов колебаний упругих пластин, полученные с помощью степенного полинома. Соответствующие значения частотного параметра wi определяется по формуле wii/a2√D/ρh. Здесь для определения собственных чисел λi применяется QL — метод.

Количество СКФ варьировалось от 15 до 36, при этом наблюдалась хорошая сходимость чисел λi.

Таблица 1

λi

N=15

N=21

N=28

N=36

λ1

10.115

8.562

8.265

7.922

λ2

19.272

18.013

16.284

16.127

λ3

27.822

26.717

22.312.

21.531

Метод R-функции позволяет построить координатные последовательности для областей практически произвольной конфигурации и краевых условий сложного вида. Построен эффективный вычислительный алгоритм для расчета задач наследственной теории вязкоупругости со сложной формой границы на основе комбинации методов R-функции и вариационных методов [3]. На основе предложенного вычислительного алгоритма разработано интеллектуальной алгоритмической системы.

С помощью разрабонной интеллектуальной алгоритмической системы можно решать целый класс задач механики деформируемого твердого тела и легко его обобщить для других задач математической физики.

Литература:

  1. Рвачев В. Л., Курпа Л. В. R-функций в задачах теории пластин. Киев: Наукова думка.1987.176 с.
  2. Бадалов Ф. Б. Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений наследственной теории вязкоупругости. Ташкент. Мехнат.1987.289 с.
  3. Назиров Ш. А., Садиков Х. С. Комплекс программных средств для решения краевых задач вариационными методами./Алгоритмы. Ташкент: РИСО АН Уз.Вып.65.1988.
Основные термины (генерируются автоматически): интегральный оператор, постоянство коэффициента, пластина, ядро релаксации, крутящий момент, вид, гипотеза, задача, формула, решение краевых задач, изменение прогиба пластины, действие нагрузки, частотный параметр, сдвиговая релаксация, пунктирная линия, произвольная конфигурация, интеллектуальная алгоритмическая система, функция.


Похожие статьи

Численное моделирование задач изгиба и колебаний вязкоупругих...

крутящий момент, пластина, основа гипотезы, интегральный оператор, сдвиговая релаксация, пунктирная линия, изменение прогиба пластины, объемный модуль упругости, качество ядра, сложная форма.

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов...

Затем может быть определен момент M. При помощи интегрального преобразования Фурье задача сводится к следующему интегральному уравнению ( ) [3]

где символ ядра имеет вид. (2). Здесь In(u), Kn(u) ― модифицированные функции Бесселя [10].

Численное моделирование задач о флаттере вязкоупругих систем

где — модуль упругости; — коэффициент Пуассона; символ (xy) указывает, что остальные соотношения получаются круговой перестановкой индексов; — интегральный оператор с ядром релаксации .

Распространение волн в вязкоупругих пластинках переменной...

произвольная функция времени; — ядро релаксации; — мгновенный модуль упругости; — коэффициент Пуассона, предлагается, что постоянная величина; принимаем интегральные члены в (5) малыми, тогда функции , где – медленно меняющаяся функция времени...

О непараметрическом оценивании взаимно неоднозначных...

Рассматривается задача восстановления функции по наблюдениям со случайными ошибками.

Для решения задач идентификации на этом уровне априорной информации

параметр размытости, определяющий размер носителя и «дельтаобразность» ядра Ф(v) [5,6].

О распространении гармонических волн в деформируемой...

-произвольная функция времени; -ядро релаксации; -мгновенной модуль упругости; -коэффициент Пуассона, которая предлагается, что постоянная величина. Если пренебречь инерцией поворота нормали...

К расчету пластин переменной жесткости | Статья в журнале...

Предлагается алгоритм расчета прямоугольных пластин переменной жесткости при различных краевых условиях. Задача сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка при переменных коэффициентах с помощью метода...

Параллельный вычислительный алгоритм для анализа...

Описанный выше алгоритм для численного решения системы уравнений (2) по формулам (4), (5), реализован в виде параллельной программы.

На рис. 1 приведены линии уровня касательного напряжения в разные моменты времени для задачи с начальными данными

Решение задач строительной механики по определению...

Изучая изопериметрические свойства коэффициента формы и интегральных физических

‒ по опорным решениям найти неопределенные параметры К и n

Найденные решения для задач поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок приведены в таблице 1.

Похожие статьи

Численное моделирование задач изгиба и колебаний вязкоупругих...

крутящий момент, пластина, основа гипотезы, интегральный оператор, сдвиговая релаксация, пунктирная линия, изменение прогиба пластины, объемный модуль упругости, качество ядра, сложная форма.

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов...

Затем может быть определен момент M. При помощи интегрального преобразования Фурье задача сводится к следующему интегральному уравнению ( ) [3]

где символ ядра имеет вид. (2). Здесь In(u), Kn(u) ― модифицированные функции Бесселя [10].

Численное моделирование задач о флаттере вязкоупругих систем

где — модуль упругости; — коэффициент Пуассона; символ (xy) указывает, что остальные соотношения получаются круговой перестановкой индексов; — интегральный оператор с ядром релаксации .

Распространение волн в вязкоупругих пластинках переменной...

произвольная функция времени; — ядро релаксации; — мгновенный модуль упругости; — коэффициент Пуассона, предлагается, что постоянная величина; принимаем интегральные члены в (5) малыми, тогда функции , где – медленно меняющаяся функция времени...

О непараметрическом оценивании взаимно неоднозначных...

Рассматривается задача восстановления функции по наблюдениям со случайными ошибками.

Для решения задач идентификации на этом уровне априорной информации

параметр размытости, определяющий размер носителя и «дельтаобразность» ядра Ф(v) [5,6].

О распространении гармонических волн в деформируемой...

-произвольная функция времени; -ядро релаксации; -мгновенной модуль упругости; -коэффициент Пуассона, которая предлагается, что постоянная величина. Если пренебречь инерцией поворота нормали...

К расчету пластин переменной жесткости | Статья в журнале...

Предлагается алгоритм расчета прямоугольных пластин переменной жесткости при различных краевых условиях. Задача сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка при переменных коэффициентах с помощью метода...

Параллельный вычислительный алгоритм для анализа...

Описанный выше алгоритм для численного решения системы уравнений (2) по формулам (4), (5), реализован в виде параллельной программы.

На рис. 1 приведены линии уровня касательного напряжения в разные моменты времени для задачи с начальными данными

Решение задач строительной механики по определению...

Изучая изопериметрические свойства коэффициента формы и интегральных физических

‒ по опорным решениям найти неопределенные параметры К и n

Найденные решения для задач поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок приведены в таблице 1.

Задать вопрос