Библиографическое описание:

Мальцева Л. С., Колпак Е. П., Иванов С. Е. Нелинейные колебания резиновой мембраны // Молодой ученый. — 2016. — №8. — С. 11-21.



Решается динамическая задача о растяжении нормальным давлением мембраны из резино-подобного материала. Исследуется статическое решение. Строится решение для малых колебаний около статического положения равновесия. Решение нелинейных динамических уравнений строится с применением метода сеток.

Ключевые слова: эластомеры, экспериментальные данные, мембрана, деформации, напряжения, упругий потенциал.

Оболочки используются при решении многих задач строительства и машиностроения. Последние десятилетия широко стали использоваться новые материала при проектировании и создании новых технических структур. Такими материалами, например, являются эластомеры. Они могут испытывать большие упругие деформации. Это вызывает необходимость на стадии проектирования изделий применять нелинейную теорию упругости для расчета напряжений и деформаций. Нелинейная теория тонких оболочек, в которой используются гипотезы Кирхгоффа — Лява, стала разрабатываться еще в первой половине XX века [44].

Для материалов с нелинейными механическими свойствами с учетом экспериментальных данных [20, 22, 38, 39, 42, 48, 62, 65, 66, 73] были разработаны методы учета больших деформаций и методы решения нелинейных краевых задач [12–16, 18, 19, 25, 26, 49, 54, 58, 65, 80]. Это позволило решить конкретные статические задачи по растяжению резиновых мембран [21, 23, 40, 61, 63, 78, 79]. В последние годы теория оболочек нашла свое развитие в работах [2–5, 23, 47, 53, 68, 70, 72]. В дополнение к этому разрабатываются и модели оболочек и мембран, находящихся под давлением агрессивных сред [7, 17, 27–34, 43, 69, 71, 74].

Различные устройства, содержащие резиновые элементы, используются для гашения вибрационных нагрузок. Для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, методы расчета амплитудно-частотных характеристик достаточно хорошо разработаны [8–11, 35–37, 41, 45, 67, 75–77]. В этой области решено много разных задач [1, 6, 46, 51, 52, 55–57, 59–60]. Для больших деформаций оболочек и мембран рассчитать такие характеристики не просто [12, 14, 16, 50, 64]. Это обусловлено не только трудностями построения решения нелинейных краевых задач, но и тем, что они задачи могут иметь и неединственное решение [12, 16, 20, 24, 50, 53]. Если задача имеет несколько решений, то возникают проблемы при построении численного решения таких краевых задач [16, 24].

Упругий потенциал. Внелинейной механике сплошных сред для описания свойств материалов используется потенциальная энергия деформации [13, 20, 42, 48, 65, 66, 73]. Для изотропного упругого материала она определяется как функция главных инвариантов деформации или как функция главных кратностей удлинения , и : . Для несжимаемого материала должно выполнять условие несжимаемости: . На основе экспериментальных исследований по растяжению образцов из резиноподобных материалов предлагались различные варианты упругого потенциала [20, 48, 65]. Как правило, считалось, что при малых деформациях эти потенциалы должны переходить в закон Гука для несжимаемого материала [20]. Образцы из резиноподобных материалов могут испытывать большие упругие деформации. Это должно учитываться в аналитическом выражении упругого потенциала. Поэтому при больших деформациях растяжения упругий потенциал как функция главных кратностей удлинения у разных авторов характеризуются разной степенью роста как функции главных кратностей удлинения [65, 73]. Одним из потенциалов, который обладает такими свойствами, является упругий потенциал [20]

(1)

где — начальный модуль сдвига, а рассматривается как постоянная материала. Этот потенциал представляет собой вариант потенциала Огдена [65]. При он переходит в неогуковский потенциалом [20, 73], при — в потенциал Бартенева-Хазановича [20].

Главные напряжения , и для несжимаемого материала определяются через частные производные от упругого потенциала по кратностям удлинения , и . В теории тонких оболочек используется гипотеза Кирхгофа о равенстве нулю напряжения . С учетом этого предположения напряжения и определяются следующим образом

, .

Уравнения движения мембраны. Рассмотрим в декартовой системе координат плоскую мембрану бесконечно длинную в направлении защемленную по двум сторонам (рис. 1) и нагруженную нормальным давлением [20]. Деформацию считаем не зависящей от координаты . В качестве независимой координаты принимаем . Координаты деформированной срединной поверхности в сечении обозначим через и , а толщину мембраны черз . Угол между осью и нормалью к срединной поверхности обозначим через . Тогда для координат срединной поверхности справедливы уравнения

, ,(2)

в которых — кратность удлинения в направлении дуги меридиана:

.(3)

Поскольку деформации не зависят от , то . С учетом этого из условия несжимемости находится кратность деформационного изменения толщины мембраны .

Рис. 1.

Пусть — сила внутренних напряжений, действующая по касательной к срединной поверхности. Силу внутренних напряжений, действующую по нормали к срединной поверхности, считаем равной нулю. Тогда проекции внутренних сил на координатные оси подсчитываются по формулам

, .(4)

Сила определяется через упругий потенциал

.(5)

Уравнения движения примут вид

(6)

где — проекция поверхностной нагрузки на ось , а — на ось , — плотность материала мембраны. Для нормального равномерного давления интенсивностью , .

Примем, что толщина мембраны не зависит от координаты. Введем обозначения

,

и новые переменные

, , , .

Тогда уравнения (6) с учетом соотношений (2) — (5) примут вид

,(7)

, ,

.

К этим уравнениям добавляются граничные условия

при : , ,(8)

при : , .(9)

Эти условия означают, что край мембраны закреплен неподвижно, а край свободно перемещается в вертикальном направлении.

Статическое решение. Статистические уравнения равновесия получаются из уравнений (7) в предположении, что инерционные слагаемые в первых двух уравнениях равны нулю:

(10)

С учетом граничных условий (8) — (9) отсюда находятся

, , , .(11)

Константы , , , и связаны соотношениями

, , . .(12)

Таким образом, деформированная поверхность мембраны в сечении представляет собой дугу окружности радиуса . Связь между давлением и кратностью удлинения определяется из соотношений (12).

Кратность удлинения при растяжении мембраны должна быть положительной величиной. Поэтому из первого соотношения в (12) следует, что должно выполняться неравенство . Тогда из третьего соотношения в (12) следует, что . Если усилие как функция растет медленнее, чем , тогда давление не может принимать бесконечно большие значения. То есть будет существовать такое критическое значение , что при значениях статические уравнения (10) решений иметь не будут. Зависимость в этом случае должна иметь точку максимума. Для упругого потенциала (1) на рис. 2 показана эта зависимость для значений . В экспериментальных исследваниях по растяжению круглых мембран нормальным давлением такая зависимость реализуется [20, 22, 40, 50, 63, 78, 79].

Рис. 2. Зависимость «давление — максимальный прогиб» для значений параметра в упругом потенциале (1)

Малые колебания около положения равновесия. Усилие в случае статических уравнений является постоянной величиной и не зависит от координаты . Будем считать, что около положения равновесия, которое описывается уравнениями (7), возникают малые колебания. При этом примем, что кратность удлинения и усилие постоянные величины, определяемые из соотношений (11) — (12). Тогда первые два уравнения в (7) с учетом соотношений (11) — (12) приводится к виду

(13)

Периодическое во времени решение этих уравнений ищется в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от , а вторая от :

.

Тогда из (1) и (8) — (9) находим, что функции и должны удовлетворять системе уравнений

(14)

и граничным условиям

, , , .(15)

Решение уравнений (14), удовлетворяющее граничным условиям (15), представляется в виде

, ,

где есть произвольные постоянные, удовлетворяющие системе линейных однородных уравнений

.

Эта система уравнений будет иметь нетривиальное решение, если ее определитель обращается в ноль:

.

Из этого уравнения находятся

и решение уравнений (14), удовлетворяющее условиям (15), представляется в виде

где и — произвольные постоянные. Граничные условия при будут удовлетворены, если выполняется равенство

,

которое и является уравнением для нахождения .

На рис. 3 показана зависимость первых четырех частот собственных колебаний от для неогуковского потенциала, а на рис. 4 — зависимость первой частоты собственных колебаний от для потенциала (1) с , , и .

Рис. 3. Зависимость первых четырех частот собственных колебаний от для неогуковского потенциала

Рис. 4. Зависимость первой частоты собственных колебаний от для потенциала (1) с , , и

Нелинейные уравнения. Всамом общем случае построить аналитическое решение для уравнений динамики (7) не удается. Поэтому для нахождения решения при заданных граничных и начальных условиях использовались численные методы [16, 24, 25]. Динамические уравнения (7) решались с применением метода сеток. Дискретизация уравнений на сетке

осуществлялось как по пространственной, так и по временной переменной конечными разностями: на внутренних узлах пространственной сетки

(16)

, (),

на границе :

.

на границе :

.

Скорости и подсчитывалась следующим образом

, .

Значения , , и в (16) вычисляются в момент времени . Поэтому система уравнений (16) является нелинейной. Ее решение на каждом временном шаге решалась итерационным методом.

При построении решения для случая малых колебаний в окрестности статического положения равновесия, описываемого соотношениям (16), определялся период колебаний в зависимости от прогиба мембраны в точке . Эта зависимость для случая потенциала (1) с , и приведена на рис. 5. Зависимость периода перемещения точки для неогуковского потенциала для случая точного решения и решения линейных уравнений (13) приведена на рис. 6.

Рис. 5. Зависимость изменения периода колебаний точки для потенциала (1) с , и

Рис. 6. Зависимость периода перемещения точки для неогуковского потенциала для случая точного решения и решения линейных уравнений (13)

Решение нелинейных уравнений (16) при начальных условиях

, , ,

строилось при разбиении промежутка интегрирования по пространственной переменной на 100, 500 и 5000 отрезков. Шаг интегрирования по временной переменной выбирался из условия . Некоторые из результатов решения представлены на рис. 7–9 для значения . На рис. 7 показан вид мембраны в сечении в моменты времени . На начальной стадии растяжения мембраны (рис. 7, ) центральная часть мембраны остается «прямолинейной». В момент времени значение функции в точке как функции времени достигает максимального значения. Форма мембраны в этот момент времени близка к цилиндрический. В дальнейшем начинается возвращение мембраны в исходное положение равновесия (рис. 8, ). В окрестности исходного положения равновесия скорость возврата точек центральной части мембраны становится больше, чем в некоторой части внутри промежутка (рис. 8, ). Причиной этого, по-видимому, является то, что скорость перемещений точек мембраны в вертикальном направлении и скорость распространения возмущения вдоль срединной поверхности не одинаковы.

На рис. 9 показана зависимость функций и от времени. Как следует из этого результата в точке достигает своего максимального значения раньше, чем максимальное значение достигнет в этой точке . То есть «подъем» этой точки начинает сопровождаться увеличением толщины мембраны в ее окрестности — возмущение толщины в начальный момент времени в окрестности точки (рис. 8, ) достигает точки раньше, чем прогиб в точке достигнет максимальное значения. Это возмущение в точке отразиться, и начнет распространяться назад к точке . В общей сложности одному «периоду» колебаний мембраны в вертикальном направлении соответствуют два периода колебаний точек мембраны вдоль срединной поверхности. Это и объясняет форму мембраны с двумя экстремумами (рис. 8, ).

Рис. 7. Форма мембраны в моменты времени для неогуковского потенциала

Рис. 8. Форма мембраны в моменты времени для неогуковского потенциала

Рис. 9. Зависимость прогиба мембраны и ее толщины в центре от времени для неогуковского потенциала.

Таким образом, нелинейные динамические модели дают более сложную картину колебаний мембран, чем линейные.

Заключение. Математические модели линейных и нелинейных колебаний мембран могут дать не только количественные отличия в решениях, но и качественные. При малых колебаниях около статического положения равновесия для определения частот собственных колебаний можно использовать линеаризованные решения. Построение численного решения нелинейных уравнений эффективно можно строить с применением сеточных методов, используя технологии параллельных вычислений.

Литература:

  1. Абдулина, К. А., Старков В. Н. Качественное исследование динамики лесной системы с учетом вырубки и вывоза // Процессы управления и устойчивость. — 2014. — Т. 1. — № 1. — С. 82–86.
  2. Гасратова, Н. А. Напряженно-деформированное состояние упругого пространства со сферическим жестким включением // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2009. — № 1. — С. 14–18.
  3. Гасратова, Н. А. Решение некоторых классических пространственных задач теории упругости в напряжениях // Молодой ученый. — 2014. — № 3 (62). — С. 1–6.
  4. Гасратова, Н. А., Шамина В. А. Об одном подходе к решению осесимметричных задач линейной теории упругости // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2007. — № 2. — С. 101–106.
  5. Гасратова, Н. А., Шамина В. А. Решение в напряжениях линейной осесимметричной задачи для сферы и упругого пространства со сферической полостью // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2008. — № 2. — С. 122–128.
  6. Гасратова, Н. А., Гасратов М. Г. Сетевая модель управления запасами для случая количественной конкуренции // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2015. — Т. 18. — № 1. — С. 14–27.
  7. Даль, Ю. М., Пронина Ю. Г Сосредоточенные силы и моменты у границы упругой полуплоскости //Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 1998. — № 5. — С. 78.
  8. Екимов, А. В., Жабко А. П., Смирнов Н. В. Матричный анализ эргодических полу марковских процессов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2004. — № 1–2. — С. 16–29.
  9. Екимов, А. В. Анализ множества достижимости нелинейных управляемых систем // Естественные и математические науки в современном мире. — 2014. — № 15. — С. 8–13.
  10. Екимов, А. В. К вопросу об ограниченности интегральной воронки в билинейных управляемых системах // Системы управления и информационные технологии. — 2014. — Т. 56. — № 2.1. — С. 138–142.
  11. Екимов, А. В. К вопросу об эргодическом поведении полумарковского случайного процесса // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. — 2013. — Т. 46. — № 11. — С. 185–186.
  12. Кабриц, С. А. Некоторые прикладные задачи статики тонких оболочек из эластомеров // диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / Ленинград, 1984.
  13. Кабриц, С. А., Мальков В. М., Мансурова С. Е. Нелинейные уравнения плоского слоя для трех моделей эластомерного материала // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 2001. — № 1. — С. 38.
  14. Кабриц, С. А., Черных К. Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек с учетом поперечного сдвига // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 1996. — № 1. — С. 124.
  15. Кабриц, С. А., Шамина В. А. Изгиб оболочки вращения поперечной силой и моментом // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2014. — № 2. — С. 261–270.
  16. Кабриц, С. А., Колпак Е. П. О численном построении бифуркационных ветвей в нелинейных задачах статики оболочек // В сборнике: Устойчивость и процессы управления Материалы III международной конференции. 2015. — С. 360–361.
  17. Камачкин, А. М., Старков В. Н., Степенко Н. А. Математическая модель загрязнения океанических вод // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. — 2015. — Т. 20. — № 2. — С. 475–479.
  18. Колпак, Е. П. Matlab: методы вычислений учебное пособие / Е. П. Колпак; Санкт-Петербургский гос. ун-т. Санкт-Петербург, 2007.
  19. Колпак, Е. П. Введение в механику сплошных сред учебное пособие / Е. П. Колпак; С.-Петерб. гос. ун-т. СПб. 2004.
  20. Колпак,Е. П. Устойчивость и закритические состояния безмоментных оболочек при больших деформациях // диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук / Санкт-Петербург, 2000.
  21. Мальцева Л. С. Большие деформации резиновых мембран // Молодой ученый. — 2014. — № 16 (75). — С. 78–84 Колпак, Е. П., Мальцева Л. С. Круглая плоская мембрана при больших деформациях // Приволжский научный вестник. — 2014. — № 11–1 (39). — С. 5–10 Колпак, Е. П., Мальцева Л. С Эластомерные мембраны при больших деформациях // В сборнике: Устойчивость и процессы управления Материалы III международной конференции. 2015. — С. 362–363 Матросов, А. В. Вычислительная неустойчивость алгоритма метода начальных функций // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2010. — № 4. — С. 30–39
  22. Матросов, А. В. Расчет балочных перекрытий численно-аналитическим методом // Вестник государственного университета морского и речного флота им. адмирала С. О. Макарова. — 2012. — № 1. — С. 8–15.
  23. Олемской, И. В. Явный метод типа Рунге — Кутты пятого порядка // Вычислительные технологии. — 2005. — Т. 10. — № 2. — С. 87–105.
  24. Пронина, Ю. Г Механохимическая коррозия полого цилиндра из идеального упруго-пластического материала под действием постоянного давления // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2006. — № 3. — С. 121–130.
  25. Пронина, Ю. Г. Влияние поверхностных факторов на напряженно-деформированное состояние твердых тел с отверстиями // диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук / Санкт-Петербургский государственный университет. Санкт-Петербург, 2010.
  26. Пронина, Ю. Г. Краевая дислокация и сосредоточенная сила в упругой полуплоскости с отверстиями и краевыми вырезами // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2012. — № 4. — С. 120–124.
  27. Пронина, Ю. Г. О сосредоточенных воздействиях у границы упругой пластины // Труды ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова. — 2010. — № 53. — С. 117–122.
  28. Пронина, Ю. Г. Равномерная механохимическая коррозия полой сферы из идеального упругопластического материала под действием постоянного давления // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2009. — № 1. — С. 113–122.
  29. Пронина, Ю. Г. Расчет долговечности упругой трубы под действием продольной силы, давления и осесимметричного нагрева в условиях равномерной коррозии // Проблемы прочности и пластичности. — 2009. — № 71. — С. 129–135.
  30. Пронина, Ю. Г. Центры расширения-сжатия в упругой полуплоскости // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2007. — № 2. — С. 140–149.
  31. Пронина, Ю.ГОценка устойчивости упругой трубы под давлением коррозионных сред // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2006. — № 3. — С. 55–63.
  32. Старков, В. Н., Степенко Н. А. Исследование динамики маятниковых систем с переменными параметрами // Естественные и математические науки в современном мире. — 2014. — № 15. — С. 20–36.
  33. Степенко, Н. А. О диссипативности неавтономных систем по нелинейному приближению // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2004. — № 3–4. — С. 160–169.
  34. Степенко, Н. А. О некоторых критериях диссипативности колебательных систем с переменными параметрами // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2004. — № 1. — С. 50–54.
  35. Шиманчук, Д. В. Моделирование орбитального управляемого движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1 // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2010. — № 3. — С. 86–92.
  36. Albrecht, A. B., Ravi-Chandar, K. High strain rate response ofrubbermembranes // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 2014. — V. 64. — P. 377–395.
  37. Balakhovsky, K., Volokh, K. Y. Inflation and rupture ofrubbermembrane // International Journal of Fracture. — 2012. — Т. 177. — С. 179–190.
  38. Balykina, Y. E., Kolpak E. P., Kotina E. D. Mathematical model of thyroid function // Middle East Journal of Scientific Research. — 2014. — Т. 19. — № 3. — С. 429–433.
  39. Chagnon, G., Rebouah, M., Favier, D Hyperelastic Energy Densities for Soft Biological Tissues: A Review // Journal of Elasticity. 2015. — М. 120. — P. 129–160.
  40. Dal' Yu. M., Pronina Yu. G. On concentrated forces and moments in an elastic half-plane // ВестникСанкт-Петербургскогоуниверситета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 1998. — № 1. — С. 57–60.
  41. Donnell, E. H. A new the oryforthebuckling of thin cylinders under axial compression and bending // Transactions of the ASME. — 1934. — V. 56. — P. 795–806.
  42. Ekimov, A. V. Qualitative analyses of attainability set of nonlinear controllable systems // Proc. 20th Int. Workshop Beam Dynamics and Optimization, St. Petersburg, Russia, 2014, p. 51.
  43. Feng, C., Yu L., Zhang W. Dynamic analysis of a dielectric elastomer-based microbeam resonator with large vibration amplitude // International Journal of Non-Linear Mechanics. — 2014. — V. 65. — P. 63–68.
  44. Gasratova, N. A. Study of building an analytical solution of the axisymmetric problem of linear elasticity in stresses as exemplified by finding the stress-strainstate of an ellipsoid cocavityunder the inner pressure // ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences. — 2014. — Т. 9. — № 11. — С. 2259–2267.
  45. Gent, A. N., A new constitutive relation for rubber // Rubber Chem. Technol. — 1996. — V. 69. — P. 59–61.
  46. Hansbo, P., Larson, M.G., Larsson, F. Tangential differential calculus and the finite element modeling of a large deformationelasticmembraneproblem // Computational Mechanics. — 2015. — V. 56. — P. 87–95.
  47. Ingo, Muller Two Instructive Instabilities in Non-Linear Elasticity: Biaxially Loaded Membrane, and Rubber Balloons // Meccanica. — 1996. — V. 31: — P. 387–395.
  48. Ivanov, G. G., Sharlay A. S. On stability of linear homogeneous switched systems // В сборнике: 2015 International Conference «Stability and Control Processes» in Memory of V. I. Zubov (SCP) 2015. — С. 13–15.
  49. Ivanov, S E., Melnikov V. G., On the equation of fourth order with quadratic nonlinearity // International Journal of Mathematical Analysis. — 2015. — Т. 9. — №. 54. — С. 2659–2666.
  50. Kabrits, S. A., Kolpak E. P. Finding bifurcation branches in nonlinear problems of statics of shells numerically // В сборнике: 2015 International Conference «Stability and Control Processes» in Memory of V. I. Zubov (SCP) 2015. — С. 389–391.
  51. Kabrits, S. A., Kolpak E. P. Numerical study of convergence of nonlinear models of the theory of shells with thickness decrease // В сборнике: AIP Conference Proceedings. — 2015. — С. 300005.
  52. Kabrits, S. A., Slepneva L. V. Small nonsymmetric oscillations of viscoelastic damper under massive body action // ВестникСанкт-Петербургскогоуниверситета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 1998. — № 2. — С. 78
  53. Kolpak, E. P., Ivanov S. E. Mathematical and computer modeling vibration protection system with damper // Applied Mathematical Sciences. — 2015. — Т. 9. — № 78. — С. 3875–3885.
  54. Kolpak, E. P., Maltseva L. S., Ivanov S. E., On the stability of compressed plate // Contemporary Engineering Sciences. — 2015. — Т. 8. — № 20. — С. 933–942.
  55. Kolpak, E. P., Kabrits S. A., Bubalo V. The follicle function and thyroid gland cancer // Biology and Medicine. — 2015. — Т. 7 (1). — BM060.15.
  56. Kolpak, E. P., Ivanov S. E. Mathematical and computer modeling vibration protection system with damper // Applied Mathematical Sciences. — 2015. — Т. 9. — № 77–80. — С. 3875–3885.
  57. Kolpak, E. P., Ivanov S. E. Mathematical modeling of the system of drilling rig // Contemporary Engineering Sciences. — 2015. — Т. 8. — № 13–16. — С. 699–708.
  58. Kolpak, E. P., Maltseva L. S., Ivanov S. E. On the stability of compressed plate // Contemporary Engineering Sciences. — 2015. — Т. 8. — № 20. — С. 933–942.
  59. Kolpak, E. P., Maltseva, L. S., 2015, Rubberlike membranes at inner pressure // Contemporary Engineering Sciences. — 2015. — Т. 8. — № 36. –С. 1731–1742.
  60. Landon, M., Kanner M, Cornelius O. Horgan Elastic instabilities for strain-stiffening rubber-like spherical and cylindrical thin shells under inflation // International Journal of Non-Linear Mechanics. — 2007. — № 42. — С. 204. — 215.
  61. Li, Q., Zhu, Y., Xu, D., Hu, J., Min, W., Pang, L. A negative stiffness vibration isolator using magnetic spring combined with rubbermembrane // Journal of Mechanical Science and Technology. –Т. 27. ‑№ 3. — С. 813–824.
  62. Ogden, R. W., Saccomandi G., Sgura I. Fitting hyperelastic models to experimental data // Comput. Mech. — 2004. — № 34. — 484–502.
  63. Paimushin, V. N., Firsov V. A., Gyunal I., Egorov A. G. Theoretical-experimental method for determining the parameters of damping based on the study of damped flexural vibrations of test specimens. 1. Experimental basis // Mechanics of Composite Materials. — 2014. — Т. 50. — № 2. — С. 127–136.
  64. Polyakhova, E. N., Starkov V. N., Stepenko N. A. Solar sailing out of ecliptic plane // В сборнике: 2015 International Conference «Stability and Control Processes» in Memory of V. I. Zubov (SCP) 2015. — С. 65–68.
  65. Pronina, Y. G. Analytical solution for decelerated mechanochemical corrosion of pressurized elastic-perfectly plastic thick-walled spheres // Corrosion Science. — 2015. — Т. 90. — С. 161–167.
  66. Pronina, Y. G. Lifetime assessment for an ideal elastoplastic thick-walled spherical member under general mechanochemical corrosion conditions // Computational Plasticity XII: Fundamentals and Applications — Proceedings of the 12th International Conference on Computational Plasticity — Fundamentals and Applications, COMPLAS 2013. — PP. 729–738.
  67. Pronina, Y. G. Analytical solution for decelerated mechanochemical corrosion of pressurized elastic-perfectly plastic thick-walled spheres // Corrosion Science. — 2015. — Т. 90. — С. 161–167.
  68. Pronina, Y. G. Thermoelastic stress analysis for a tube under general mechanochemical corrosion conditions // В сборнике: Proceedings of the 4th International Conference on Computational Methods for Coupled Problems in Science and Engineering, COUPLED PROBLEMS 2011 2011. — С. 1408–1415.
  69. Pronina, Y. G., Sedova O. S., Kabrits S. A On the applicability of thin spherical shell model for the problems of mechanochemical corrosion // AIP Conference Proceedings. — 2015. — vol. 16–48. — art. no. 300008.
  70. Rivlin, R. S., Large elastic deformations of isotropic materials. VI. Further results in the theory of torsion, shear and flexure // Philos. Trans. R. Soc. London, Ser. A 42 (1949) 173–195.
  71. Sedova, O., Pronina Y. Generalization Of The Lamé Problem For Three-Stage Decelerated Corrosion Process Of An Elastic Hollow Sphere // Mechanics Research Communications. — 2015. — Т. 65. — С. 30–34.
  72. Starkov, V. N., Stepenko N. A., Computer modeling of trajectories in spatially non-uniform gravitational fields, 2014 International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications, ICCTPEA 2014 — Proceedings 6893345, 175–176.
  73. Starkov, V. N., Stepenko N. A. Computer modeling of trajectories in spatially non-uniform gravitational fields // International conference on computer technologies in physical and engineering applications (IVESC-ICEE-ICCTPEA-BDO 2014). June 30-July 4. 2014, Russia, Saint-Petersburg, pp. 179–180.
  74. Starkov, V. N., Stepenko N. A. Simulation of particle motion in the given speed fields // В сборнике: 2015 International Conference «Stability and Control Processes» in Memory of V. I. Zubov (SCP) 2015. — С. 75–77.
  75. Tuzel, V. H., Erbay H. A. Dynamic extension of a compressible nonlinearly elastic membrane // IMA Journal of Applied Mathematics. — 2005. — № 70. — С. 25–38.
  76. Wineman, A. Some results for generalized neo-Hookean elastic materials // International Journal of Non-Linear Mechanics. — 2005. — Т. 40. С. — 271–279.
  77. Zhukova, I. V., Kolpak E. P., Balykina Yu. E. Mathematical Model of Growing Tumor // Applied Mathematical Sciences. — 2014. — Т. 8. — N 29–32. — С. 1455–1466.
Основные термины (генерируются автоматически): Вестник Санкт-Петербургского университета, Journal of, International Journal of, international conference, modeling of, неогуковского потенциала, Conference «Stability and, journal of non-linear, Процессы управления, «stability and control, and control processes», срединной поверхности, положения равновесия, stability of, Прикладная математика, study of, International Conference «Stability, собственных колебаний, Computer modeling of, corrosion of pressurized.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос